高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課后提升作業(yè)(二十三)3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)

課后提升作業(yè)二十三(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1。已知函數(shù)f(x),x∈R，且在x=1處,f(x)存在極小值,則()A.當(dāng)x∈(—∞,1)時(shí)，f′(x)〉0;當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)〈0B.當(dāng)x∈(—∞，1)時(shí)，f′(x)〉0;當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)>0C。當(dāng)x∈(-∞，1)時(shí)，f′(x)〈0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0D。當(dāng)x∈(—∞,1)時(shí),f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0【解析】選C。因?yàn)閒(x)在x=1處存在極小值，所以x<1時(shí)，f′(x)<0,x〉1時(shí)，f′(x)>0.2。函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A.1個(gè)B。2個(gè)C。3個(gè)D。4個(gè)【解析】選A。從f′(x)的圖象可知f(x)在(a，b)內(nèi)從左到右單調(diào)性依次為增→減→增→減，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可知在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn).3。下列說(shuō)法正確的是()C。函數(shù)f(x)=|x|只有一個(gè)極小值【解析】選C.函數(shù)的極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，單調(diào)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上沒(méi)有A.4B。3C.-3D.-4【解析】選A.y′=3x2—6,令y′〉0，得所以當(dāng)x=-時(shí)，函數(shù)取得極大值4.fx)=2-x2-x3的極值情況是()A.有極大值,沒(méi)有極小值【解析】選D。f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.當(dāng)x〈—時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)—〈x<0時(shí),f′(x)>0；xf′(x)<0,f(x)取得極小值。xx為()【解析】選C。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,所以f′(1)=12—2a—2b=0,即a+b=6,則+=(a+b)=aba=2b=4時(shí)取“=”);6.(2016·沈陽(yáng)高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)=x2-2bx+3a值范圍是()A。(-∞,1)B。(1,+∞)≥=(當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取C。(0,1)D?！窘馕觥窟xC.f′(x)=2x-2b=2(x—b)，令f′(x)=0,解得x=b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)〈b〈1，當(dāng)0<x〈b時(shí),f′(x)<0;當(dāng)b<x〈1時(shí),f′(x)〉0，符合題意.7.(2016·廣州高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π)，則函數(shù)f(x)的各極大值之和為()A.B。CD。f′(x)=(ex)′(sinx—cosx)+ex(sinx-cosx)′x所以x∈(2kπ,2kπ+π)時(shí)f(xx∈(2kπ+π，2kπ+2π)時(shí),f(x)遞減,f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)—cos(2kπ+π)]kπ又0≤x≤2015π,所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為π3π5π2015πS=eπ3π5π2015π=8。已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且滿足f(x)+xf′(x)=，f(e)=,則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)有極大值無(wú)極小值B.f(x)有極小值無(wú)極大值C.f(x)既有極大值又有極小值D。f(x)沒(méi)有極值【解析】選D.因?yàn)閒(x)+xf′(x)=，所以[xf(x)]′=，所以xf(x)=(lnx)2+c.又因?yàn)閒(e)=,所以e·=(lne)2+c,解得c=，所以f(x)=[(lnx)2+1]·，f′(x)==≤0，所以函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，二、填空題(每小題5分,共10分)9。(2016·銀川高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=x3-x4在區(qū)間上的極值點(diǎn)為?！窘馕觥恳?yàn)閒(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2—x3=-x2(x-1)，令f′(x)=0，則x=0或x=1,因?yàn)閤∈，所以x=1，并且在x=1左側(cè)f′(x)〉0,右側(cè)f′(x)〈0，所以函數(shù)f(x)=x3-x4在區(qū)間上的極值點(diǎn)為1.答案:1數(shù)的極值點(diǎn)都是其導(dǎo)數(shù)等于0的根,但須注意導(dǎo)數(shù)等于0的根不一定都是極值10.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,給出下列判斷:①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;⑤當(dāng)x=—時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極大值。則上述判斷中正確的是。x=-3時(shí)取得最小值,當(dāng)x=-時(shí)取得極大值,當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取得極小值，綜上可知①②③⑤正三、解答題(每小題10分，共20分)11。(2016·銀川高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x3—x2-2x+c， (1)求函數(shù)f(x)的極值.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】f′(x)=3x2-x-2。(1)令f′(x)=3x2—x-2=0，即(3x+2)(x—1)=0，所以x=-或x=1。當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如表，xf′(x)f(x)+-0值0-+0-值xfxcxf(x)有極小值,極小值為c-.(2)由(1)可知f(x)的遞增區(qū)間為和(1，+∞),遞減區(qū)間為.(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值。 (2)求函數(shù)f(x)的極值?！窘忸}指南】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率0,從而得到關(guān)于a的方程,求解其值。(2)首先計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1—，通過(guò)討論a的取值范圍得到導(dǎo)數(shù)值不同的正負(fù)【解析】(1)由f(x)=x—1+，得f′(x)=1—。由函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸,得f′(1)=1—=0,解得a=e. (2)f′(x)=1—①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù),f(x)無(wú)極值.②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得ex=a,x=lna,所以x∈(-∞，lna)，f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0，所以f(x)在(—∞，lna)上單調(diào)遞減,在(lna，+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在x=lna處取得極小值,且極小值為f(lna)=lna,無(wú)極大值.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a〉0時(shí),所以f(x)在x=lna處取得極小值lna，無(wú)極大值.(1)令g(x)=f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx－2ax+2a，xx所以g′(x)=1－2a1－2xx當(dāng)a≤0，x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)〉0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.當(dāng)a>0，x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，2ax∈(1,)時(shí),g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.2a綜上:當(dāng)a≤0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).當(dāng)a>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)2a.函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(12a. (2)由(1)知f′(1)=0.①當(dāng)a≤0，f′(x)單調(diào)遞增，所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)〉0,f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意。②當(dāng)0<a〈1，1>1時(shí)，由(1)知f′(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，22a2a所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)〈0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(1，1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，2a所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.③當(dāng)a=1,1=1時(shí)，f′(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以22ax∈(0,+∞)時(shí),f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減，不合題意.④當(dāng)a〉1,0<1<1時(shí)，x∈(1,1)，f′(x)〉0,f(x)單調(diào)遞增,22a2a所以f(x)在x=1處取得極大值,符合題意。綜上可知a>.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·梅州高二檢測(cè))已知函數(shù)x=2對(duì)稱. (1)求b的值.(2)若函數(shù)f(x)無(wú)極值,求c的取值范圍。xxbxc因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,fxxbxcx線2 (2)由(1)知,f(x)=x-6x2f′(x)=3x2-12x+2c=3(x—2)2+2c-12,當(dāng)2c-12≥0,即c≥6時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值。【能力挑戰(zhàn)題】(1)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn).(2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M-m≥1時(shí)k的取值范圍.【解析】(1)f′(x)==，由題意知f′(—c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因?yàn)閏≠0,所以k≠0.由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0，由根與系數(shù)的關(guān)系知另一個(gè)極值點(diǎn)為x=1(或x=c-)。(2)由(*)式得k=，即