微觀經(jīng)濟學數(shù)學分析方法

關于微觀經(jīng)濟學數(shù)學分析方法第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一凸集定義

第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例子

1維空間：單個點2維空間：直線、射線、線段圓、橢圓、矩形、梯形、三角形等第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一三維空間呢？第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一總結(jié)“沒有任何孔，邊緣不能有縮進”

——蔣中一第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一意義經(jīng)濟分析中，常假設可行集合（約束集）為凸集。約束條件下可行集是凸集保證最優(yōu)解唯一的必要條件。第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一問題經(jīng)濟學分析中，有哪些約束集合？第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一練習題：判斷下列集合是否為凸集第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一凹函數(shù)（concave）第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一凹函數(shù)的定義以最簡單的單變量函數(shù)為例來定義：，和是定義域中的兩個量，

令

，如果滿足

則稱為凹函數(shù)（小于等于，凸函數(shù)）

若

則稱為嚴格凹函數(shù)（小于，嚴格凸函數(shù)）第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一直觀圖形嚴格凹函數(shù)ABCD第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一直觀圖形非嚴格凹函數(shù)第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一總結(jié)兩點間的曲線（?。┡c兩點間的直線重合，或在其之上。第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一用一階導數(shù)來定義第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一xf(x)圖示第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一總結(jié)該曲線與其切線重合或者位于其切線的下方。過曲線上任何一點的做切線，該曲線均在切線或切線下方。第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一凹函數(shù)的定義對雙變量函數(shù)來說：

第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一圖示ABCDzy第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一總結(jié)在曲面上，任何兩點的連線均在對應的曲線的下方，則稱為凹函數(shù)。第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一一階導數(shù)的定義當且僅當：即：做任何一個切面，函數(shù)值均在切面或切面之下。第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一對于多變量函數(shù)第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一凹函數(shù)的二階導數(shù)的判定方法若函數(shù)存在二階連續(xù)偏微分，則：第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一與上述判定方法等價的方法：引入海塞矩陣多變量函數(shù)：該函數(shù)的一階全微分表示為：第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階全微分表達式第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一簡化表達第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一海塞矩陣（二階導數(shù)矩陣）第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階全微分的簡潔表達（引入海塞矩陣）第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階導數(shù)的判定方法當且僅當海塞矩陣為負半定時，該函數(shù)為凹函數(shù)。

負半定：即順序主子式值正負交替變化，一階小于等于零，二階大于等于零……當（非當且僅當）海塞矩陣為負定時，該函數(shù)為嚴格凹函數(shù)。

負定：即即順序主子式值正負交替變化，一階小于零，二階大于零……第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一順序主子式值正負交替變化第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階導數(shù)的判定方法當且僅當海塞矩陣為正半定時，該函數(shù)為凸函數(shù)。

正半定：即順序主子式值全部大于等于零當（非當且僅當）海塞矩陣為正定時，該函數(shù)為嚴格凸函數(shù)。

正定：即即順序主子式值全部大于零第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一練習檢驗下列函數(shù)的凹凸性：第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一（使用順序主子式方法檢驗）第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一擬凹函數(shù)（quasiconcave）第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一定義第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一定義第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一圖示N函數(shù)圖形上任意一段弧MN,使N點高于M點，如果除M和N點外，該弧段上的點均高于或等于M點，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。AB第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一思考：與凹函數(shù)的關系？凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)，但擬凹函數(shù)不一定是凹函數(shù)。擬凹性是比凹性要弱的條件。第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一典型圖示Xf(x)第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一上等值集判定方法如果該函數(shù)的上等值集是凸集，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。上等值集的定義：第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一例子：

第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一一階導數(shù)定義第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一擬凹函數(shù)的二階必要條件第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一加邊海塞矩陣第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一擬凹函數(shù)的充分條件第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一擬凸函數(shù)的充分條件第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一練習第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一無約束條件下的極值問題第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一最優(yōu)化的一階條件第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一滿足一階條件是極值的必要條件？充分條件？第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一雙變量的情形第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一A第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一A第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階條件第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一二階必要條件第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一回憶：關于凹函數(shù)第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一等式約束條件下的最優(yōu)化問題第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一自由極值、約束極值在無約束的最優(yōu)化問題中，決策變量之間是彼此獨立的。但是當存在約束條件時，決策變量之間就要受到相互影響。第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一xyz自由極值約束極值第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一多約束條件下：約束條件的數(shù)量應少于決策變量的數(shù)量第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一約束條件下求極值的方法拉格朗日乘數(shù)法目標函數(shù)：約束條件：構(gòu)造一個新函數(shù)：

第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第六十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一面臨多個約束時的一階條件第六十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一面臨多個約束時的一階條件第六十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一拉格朗日乘數(shù)的含義第七十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一單個等式約束情形下極值的二階條件第七十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一極大值的二階充分條件：用海塞加邊行列式注意：與前面自由極值不同，所加的邊是約束條件函數(shù)的一階導數(shù)，而非目標函數(shù)的一階導數(shù)；二階矩陣是關于新函數(shù)F的二階導數(shù)。第七十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一負定第七十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一多重等式約束的二階條件：略，參見蔣中一P504第七十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期一第七十五頁，共七十八頁，編輯于202