演示文稿多目標(biāo)規(guī)劃模型

演示文稿多目標(biāo)規(guī)劃模型當(dāng)前1頁(yè)，總共91頁(yè)。（優(yōu)選）多目標(biāo)規(guī)劃模型當(dāng)前2頁(yè)，總共91頁(yè)。多目標(biāo)決策的基本概念多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解多目標(biāo)決策建模的應(yīng)用實(shí)例

當(dāng)前3頁(yè)，總共91頁(yè)。

用LINGO軟件求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題當(dāng)前4頁(yè)，總共91頁(yè)。1.求解方法概述LINGO（或LINDO）不能直接求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但可以通過(guò)逐級(jí)求解線性規(guī)劃的方法，求得目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的滿意解。當(dāng)前5頁(yè)，總共91頁(yè)。2.示例例1

用LINGO求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題當(dāng)前6頁(yè)，總共91頁(yè)。解：首先對(duì)應(yīng)于第一優(yōu)先等級(jí)，建立線性規(guī)劃問(wèn)題：用LINGO求解，得最優(yōu)解＝0，最優(yōu)值為0。具體求解過(guò)程如下：當(dāng)前7頁(yè)，總共91頁(yè)。啟動(dòng)LINGO軟件，窗口如圖1所示。圖1當(dāng)前8頁(yè)，總共91頁(yè)。在LINGO工作區(qū)中錄入以下程序（參見(jiàn)圖2）model:min=d1;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;END其中x1、x2分別代表決策變量、；d1_、d1分別代表偏差變量、。當(dāng)前9頁(yè)，總共91頁(yè)。圖2當(dāng)前10頁(yè)，總共91頁(yè)。在菜單LINGO下點(diǎn)選“Solve”，或按復(fù)合鍵“Ctrl+S”進(jìn)行求解。LINGO彈出求解結(jié)果報(bào)告（參見(jiàn)圖3）：

詳細(xì)信息如下圖3當(dāng)前11頁(yè)，總共91頁(yè)。

對(duì)應(yīng)于第二優(yōu)先等級(jí)，將＝0作為約束條件，建立線性規(guī)劃問(wèn)題：用LINGO求解，得最優(yōu)解＝0，，最優(yōu)值為6。具體LINGO程序及輸出信息如下：LINGO程序?yàn)椋▍⒁?jiàn)圖4）：當(dāng)前12頁(yè)，總共91頁(yè)。model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END當(dāng)前13頁(yè)，總共91頁(yè)。圖4當(dāng)前14頁(yè)，總共91頁(yè)。LINGO運(yùn)算后輸出為（參見(jiàn)圖5）：

圖5當(dāng)前15頁(yè)，總共91頁(yè)。

對(duì)應(yīng)于第三優(yōu)先等級(jí)，將＝0，作為約束條件，建立線性規(guī)劃問(wèn)題：用LINGO求解，得最優(yōu)解是，，最優(yōu)值為7。具體LINGO程序及輸出信息如下（參見(jiàn)圖6）：當(dāng)前16頁(yè)，總共91頁(yè)。model:min=d3_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;x2+d3_-d3=7;d1=0;d2_=6;END當(dāng)前17頁(yè)，總共91頁(yè)。圖6當(dāng)前18頁(yè)，總共91頁(yè)。LINGO運(yùn)算后輸出為：（參見(jiàn)圖7）圖7當(dāng)前19頁(yè)，總共91頁(yè)。因此，＝0，就是目標(biāo)規(guī)劃的滿意解。當(dāng)前20頁(yè)，總共91頁(yè)。第一部分

多目標(biāo)決策的基本概況

當(dāng)前21頁(yè)，總共91頁(yè)。本章將從多目標(biāo)決策（也稱多目標(biāo)規(guī)劃）方法的作用出發(fā)，通過(guò)分析簡(jiǎn)單的多目標(biāo)決策問(wèn)題的幾個(gè)案例，闡述多目標(biāo)決策的基本概念。任何決策問(wèn)題的解決主要依賴于所謂的決策者和分析者。決策者一般指有權(quán)挑選行動(dòng)方案，并能夠從中選擇滿意方案作為最終決策的人員。政府官員、企業(yè)行政管理人員均為某類問(wèn)題的決策者。決策者的作用是：評(píng)價(jià)和判斷各目標(biāo)的相對(duì)重要性；根據(jù)目標(biāo)的當(dāng)前水平值以及主觀的判斷和經(jīng)驗(yàn)，提供關(guān)于決策方案的偏好信息。分析者一般指能夠提供可行方案和各目標(biāo)之間的折中信息的人或機(jī)器，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)家、工程師、系統(tǒng)分析員、社會(huì)學(xué)家、計(jì)算機(jī)等。當(dāng)前22頁(yè)，總共91頁(yè)。只有一個(gè)目標(biāo)的決策問(wèn)題稱為單目標(biāo)決策（或單目標(biāo)規(guī)劃）問(wèn)題，相應(yīng)的解題方法稱為單目標(biāo)方法。具有2個(gè)或2個(gè)以上目標(biāo)的決策問(wèn)題稱為多目標(biāo)決策問(wèn)題，相應(yīng)的求解方法稱為多目標(biāo)方法。從方法的特點(diǎn)來(lái)看，單目標(biāo)方法強(qiáng)調(diào)分析者的作用，忽視決策者的作用。而多目標(biāo)方法則由決策者探尋和確定備選的可行方案范圍，評(píng)價(jià)目標(biāo)的相對(duì)價(jià)值。從求解過(guò)程來(lái)看，單目標(biāo)方法采用統(tǒng)一的單一度量單位，向決策者提供唯一的最優(yōu)方案。當(dāng)前23頁(yè)，總共91頁(yè)。由于模型的不準(zhǔn)確性和單一目標(biāo)的片面性，這種所謂最優(yōu)的方案并不一定是決策者滿意的。自然，用這種最優(yōu)方案作為決策者的最終決策具有強(qiáng)迫性質(zhì)，往往難以為決策者接受。另一方面，多目標(biāo)方法向決策者提供經(jīng)過(guò)仔細(xì)選擇的備選方案（多種方案）。這樣使得決策者有可能利用自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)這些方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和判斷，從中找出滿意方案或給出偏好信息以及尋找更多的備選方案。概括起來(lái)，多目標(biāo)決策方法處理實(shí)際決策問(wèn)題有三個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：（1）加強(qiáng)了決策者在決策過(guò)程中的作用；（2）可以得到范圍更為廣泛的備選決策方案；（3）決策問(wèn)題的模型和分析者對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)將更加現(xiàn)實(shí)。當(dāng)前24頁(yè)，總共91頁(yè)。多目標(biāo)決策問(wèn)題的案例及特點(diǎn)我們介紹兩個(gè)日常生活中常見(jiàn)的決策問(wèn)題。第一個(gè)是顧客到商店購(gòu)買衣服。對(duì)于顧客而言，購(gòu)買衣服就是一個(gè)決策問(wèn)題，顧客本人是決策者，各種各樣的衣服是行動(dòng)方案集。該決策問(wèn)題的解就是顧客最終買到一件合適的衣服（或選擇一個(gè)滿意的方案）。那么，一件衣服（即一個(gè)方案）合適否（滿意否）應(yīng)該根據(jù)幾個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)，比如衣服的質(zhì)量、價(jià)格、大小、式樣、顏色等。因此，顧客購(gòu)買衣服的問(wèn)題是多目標(biāo)決策問(wèn)題。又如，公務(wù)人員外出辦事總要乘某種交通工具。這也是一個(gè)決策問(wèn)題，決策者是公務(wù)員，備選方案是可利用的交通工具。公務(wù)員為了選擇合適的交通工具，需要考慮幾個(gè)指標(biāo)，比如：時(shí)間、價(jià)格、舒適性、方便程度等。顯然這也是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。當(dāng)前25頁(yè)，總共91頁(yè)。

在生產(chǎn)系統(tǒng)、工程系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，多目標(biāo)決策問(wèn)題更是屢見(jiàn)不鮮。比如在煉油廠的生產(chǎn)計(jì)劃中，基本的決策問(wèn)題是如何根據(jù)企業(yè)的外部環(huán)境與內(nèi)部條件，制定出具體的作業(yè)計(jì)劃。該計(jì)劃應(yīng)能使企業(yè)的各種主要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。這些指標(biāo)包括：利潤(rùn)、原油量、成本、能耗等。其他企業(yè)一般也有類似的多目標(biāo)計(jì)劃決策問(wèn)題。多目標(biāo)決策問(wèn)題有兩個(gè)共同的特點(diǎn)，即各目標(biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性。所謂目標(biāo)的不可公度性指各目標(biāo)之間沒(méi)有統(tǒng)一的量綱，因此難以作相互比較。當(dāng)前26頁(yè)，總共91頁(yè)。

目標(biāo)之間的矛盾性是指，如果改進(jìn)某一目標(biāo)的值，可能會(huì)使另一個(gè)或一些目標(biāo)變差。正因?yàn)楦髂繕?biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性，多目標(biāo)決策問(wèn)題不能簡(jiǎn)單的作為單目標(biāo)問(wèn)題來(lái)處理。必須深入研究其特征，特別是解的性質(zhì)。單目標(biāo)決策一般有最優(yōu)解，且往往是唯一的，有時(shí)可能存在無(wú)限多個(gè)解。但是這里的“最優(yōu)”往往帶有片面性，不能全而準(zhǔn)確的反映決策者的偏好信息。多目標(biāo)決策問(wèn)題不存在所謂的“最優(yōu)”解，只存在滿意解。滿意解指決策者對(duì)于有關(guān)的所有目標(biāo)值都認(rèn)為滿意。當(dāng)前27頁(yè)，總共91頁(yè)。對(duì)于單目標(biāo)決策問(wèn)題的解一般具有全序最優(yōu)性，而多目標(biāo)決策問(wèn)題的可行方案集中的各方案只有部分序而非全序，并且一般不存在滿足最優(yōu)性的可行解，而只有矛盾性，即，盡管某一個(gè)可行解能使n個(gè)目標(biāo)中的某個(gè)目標(biāo)最優(yōu)，但不可能使其他的n-1個(gè)目標(biāo)同時(shí)最優(yōu)。各目標(biāo)之間的這種矛盾性是多目標(biāo)問(wèn)題的基本特性，不具有這種特性的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題?？尚薪獾姆橇有哉嵌嗄繕?biāo)問(wèn)題矛盾性所引起的。當(dāng)前28頁(yè)，總共91頁(yè)。非劣性的意義可解釋為：設(shè)某一可行解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為，若不存在其他可行解既能在的基礎(chǔ)上改進(jìn)某一目標(biāo)的值，同時(shí)又不至于使任何別的目標(biāo)的值變差。在不同的研究方向，非劣性可能有不同的說(shuō)法，比如，數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家又稱之為“有效性”或“最優(yōu)性”。下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明非劣性。當(dāng)前29頁(yè)，總共91頁(yè)。例試分析下表所示四個(gè)方案的非劣性。方案目標(biāo)函數(shù)方案的性質(zhì)F1(x)F2(x)X11021非劣X(jué)21418非劣X(jué)31216劣X(jué)4820劣當(dāng)前30頁(yè)，總共91頁(yè)。

解：因

故。同理，。因此四個(gè)方案的優(yōu)劣性見(jiàn)表。

當(dāng)前31頁(yè)，總共91頁(yè)。

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來(lái)說(shuō)，①的f2

目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1

比②小，因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣性可以用下圖說(shuō)明。圖多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解當(dāng)前32頁(yè)，總共91頁(yè)。第二部分多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解當(dāng)前33頁(yè)，總共91頁(yè)。

一、多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型（一）任何多目標(biāo)決策問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個(gè)約束條件。（二）對(duì)于多目標(biāo)決策問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：式中：為決策變量向量。當(dāng)前34頁(yè)，總共91頁(yè)。縮寫形式：有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，m個(gè)約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，

(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

當(dāng)前35頁(yè)，總共91頁(yè)。多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?biāo)。對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿意的解決？當(dāng)前36頁(yè)，總共91頁(yè)。如上例的各個(gè)方案之間，④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好。圖多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解當(dāng)前37頁(yè)，總共91頁(yè)。

而對(duì)于方案⑤、⑥、⑦之間則無(wú)法確定優(yōu)劣，而且又沒(méi)有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會(huì)存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解。當(dāng)前38頁(yè)，總共91頁(yè)。

效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型

目標(biāo)規(guī)劃模型二、多目標(biāo)決策的非劣解的求解方法

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。當(dāng)前39頁(yè)，總共91頁(yè)。是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

思想：規(guī)劃問(wèn)題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：但困難是要確定合理的權(quán)系數(shù)，以反映不同目標(biāo)之間的重要程度。當(dāng)前40頁(yè)，總共91頁(yè)。在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值i來(lái)反映原問(wèn)題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：當(dāng)前41頁(yè)，總共91頁(yè)。方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:規(guī)劃決策者對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過(guò)比較實(shí)際值

fi

與期望值fi*

之間的偏差來(lái)選擇問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，

是與第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對(duì)角矩陣。當(dāng)前42頁(yè)，總共91頁(yè)。理論依據(jù)：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：方法三約束模型（極大極小法）

當(dāng)前43頁(yè)，總共91頁(yè)。方法四目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值fi*

，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，L個(gè)優(yōu)先級(jí)(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：式中：

di+

和di－分別表示與fi

相應(yīng)的、與fi*

相比的目標(biāo)超過(guò)值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；

pl表示第l個(gè)優(yōu)先級(jí)；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級(jí)pl

中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。當(dāng)前44頁(yè)，總共91頁(yè)。1.基本思想：給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。三、目標(biāo)規(guī)劃方法當(dāng)前45頁(yè)，總共91頁(yè)。假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(jí)(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級(jí)pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+

、kl-

，則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為：2.目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束當(dāng)前46頁(yè)，總共91頁(yè)。在以上各式中，kl+

、kl-

分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k

個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，gk為第k個(gè)目標(biāo)的預(yù)期值，xj為決策變量，dk+

、dk-

分別為第k個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對(duì)約束非負(fù)約束當(dāng)前47頁(yè)，總共91頁(yè)。目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-

。其中，正偏差變量表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因?yàn)闆Q策值不可能既超過(guò)目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+×d-

=0成立。(2)

絕對(duì)約束和目標(biāo)約束

絕對(duì)約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問(wèn)題的所有約束條件都是絕對(duì)約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。當(dāng)前48頁(yè)，總共91頁(yè)。

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問(wèn)題的需要將絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。當(dāng)前49頁(yè)，總共91頁(yè)。

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子

pl

的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與權(quán)系數(shù)

一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1

，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2

，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl

比pl+1

有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1

級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)p1

級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。當(dāng)前50頁(yè)，總共91頁(yè)。(4)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過(guò)目標(biāo)值，也就是超過(guò)量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：對(duì)每一個(gè)具體目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可根據(jù)決策者的要求和賦于各目標(biāo)的優(yōu)先因子來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)前51頁(yè)，總共91頁(yè)。（1）目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的形式有：線性模型、非線性模型、整數(shù)模型、交互作用模型等；（2）一個(gè)目標(biāo)中的兩個(gè)偏差變量di-、di+至少一個(gè)等于零，偏差變量向量的叉積等于零：d－×d＋=0；

（3）一般目標(biāo)規(guī)劃是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)寫成一個(gè)由偏差變量構(gòu)成的函數(shù)求最小值，按多個(gè)目標(biāo)的重要性，確定優(yōu)先等級(jí)，順序求最小值；

（4）按決策者的意愿，事先給定所要達(dá)到的目標(biāo)值。當(dāng)期望結(jié)果不超過(guò)目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求正偏差變量最小；當(dāng)期望結(jié)果不低于目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求負(fù)偏差變量最小；當(dāng)期望結(jié)果恰好等于目標(biāo)值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)求正負(fù)偏差變量之和最小。評(píng)注：當(dāng)前52頁(yè)，總共91頁(yè)。（5）由目標(biāo)構(gòu)成的約束稱為目標(biāo)約束，目標(biāo)約束具有更大的彈性，允許結(jié)果與所制定的目標(biāo)值存在正或負(fù)的偏差；如果決策者要求結(jié)果一定不能有正或負(fù)的偏差，這種約束稱為系統(tǒng)約束；（6）目標(biāo)的排序問(wèn)題。多個(gè)目標(biāo)之間有相互沖突時(shí)，決策者首先必須對(duì)目標(biāo)排序。排序的方法有兩兩比較法、專家評(píng)分等方法，構(gòu)造各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)，依據(jù)權(quán)系數(shù)的大小確定目標(biāo)順序；（7）合理的確定目標(biāo)數(shù)。目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中包含了多個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)于具有相同重要性的目標(biāo)可以合并為一個(gè)目標(biāo)，如果同一目標(biāo)中還想分出先后次序，可以賦予不同的權(quán)系數(shù)，按系數(shù)大小再排序。當(dāng)前53頁(yè)，總共91頁(yè)。（8）多目標(biāo)決策問(wèn)題．多目標(biāo)決策研究的范圍比較廣泛，在決策中，可能同時(shí)要求多個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)．例如，企業(yè)在對(duì)多個(gè)項(xiàng)目投資時(shí)期望收益率盡可能最大，投資風(fēng)險(xiǎn)盡可能最小，屬于多目標(biāo)決策問(wèn)題，本章的目標(biāo)規(guī)劃盡管包含有多個(gè)目標(biāo)，但還是按單個(gè)目標(biāo)求偏差變量的最小值，目標(biāo)函數(shù)中不含有決策變量，目標(biāo)規(guī)劃只是多目標(biāo)決策的一種特殊情形．本章不討論多目標(biāo)規(guī)劃的求解方法，只給出利用lingo軟件求解線性多目標(biāo)規(guī)劃的簡(jiǎn)單程序。當(dāng)前54頁(yè)，總共91頁(yè)。引例1生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題

甲乙資源限額材料2324工時(shí)3226單位利潤(rùn)43

現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場(chǎng)等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：（1）根據(jù)市場(chǎng)信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢(shì)，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢(shì)，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用工時(shí)，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃利潤(rùn)30元。現(xiàn)在的問(wèn)題是：在原材料不能超計(jì)劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實(shí)現(xiàn)？當(dāng)前55頁(yè)，總共91頁(yè)。解：（1）決策變量：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2

偏差變量：對(duì)于每一目標(biāo)，我們引進(jìn)正、負(fù)偏差變量。如對(duì)于目標(biāo)1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對(duì)于目標(biāo)1，可將它表示為等式約束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目標(biāo)約束)

同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于可利用工時(shí)和高于可利用工時(shí)，即加班工時(shí)的偏差變量，則對(duì)目標(biāo)2，有3x1+2x2+d2--d2+=26

對(duì)于目標(biāo)3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于計(jì)劃利潤(rùn)30元和高于計(jì)劃利潤(rùn)30元的偏差變量，有：當(dāng)前56頁(yè)，總共91頁(yè)。4x1+3x2+d3--d3+=30（2）約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束資源約束：2x1+3x2≤24

目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束（3）目標(biāo)函數(shù)：三個(gè)目標(biāo)依次為：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

因而該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表述如下：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30當(dāng)前57頁(yè)，總共91頁(yè)。例某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設(shè)備，關(guān)于產(chǎn)品的贏利與使用設(shè)備的工時(shí)及限制如下表所示。問(wèn)該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能達(dá)到下列目標(biāo)：甲乙設(shè)備的生產(chǎn)能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515贏利（元/件）200300四、多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題求解的LINGO程序當(dāng)前58頁(yè)，總共91頁(yè)。（1）力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于1500元；（2）考慮到市場(chǎng)需求，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應(yīng)盡量

保持1:2；（3）設(shè)備A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用；（4）設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，設(shè)備B是設(shè)備C的3倍。建立相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型并求解。甲乙設(shè)備的生產(chǎn)能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515贏利（元/件）200300當(dāng)前59頁(yè)，總共91頁(yè)。解：設(shè)備A是剛性約束，其余是柔性約束。首先，最重要的指標(biāo)是企業(yè)的利潤(rùn)，因此，將它的優(yōu)先級(jí)列為第一級(jí)；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級(jí)；再次，設(shè)備C,B的工作時(shí)間要有所控制，列為第三級(jí)。在第三級(jí)中，設(shè)備B的重要性是設(shè)備C的三倍，因此，它們的權(quán)重不一樣，設(shè)備B前的系數(shù)是設(shè)備C

前系數(shù)的3倍。由此得到相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型。設(shè)甲乙的產(chǎn)量分別為。當(dāng)前60頁(yè)，總共91頁(yè)。當(dāng)前61頁(yè)，總共91頁(yè)。求第一級(jí)目標(biāo)。LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dminus(1);2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));end求得dminus(1)=0，即目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為0，第一級(jí)偏差為0。當(dāng)前62頁(yè)，總共91頁(yè)。求第二級(jí)目標(biāo)，LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dplus(2)+dminus(2);!二級(jí)目標(biāo)函數(shù);2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一級(jí)目標(biāo)約束;@for(variable:@gin(x));end求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為0，即第二級(jí)的偏差仍為0。當(dāng)前63頁(yè)，總共91頁(yè)。求第三級(jí)目標(biāo)，LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);!三級(jí)目標(biāo)函數(shù);2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一級(jí)目標(biāo)約束;dplus(2)+dminus(2)=0;!二級(jí)目標(biāo)約束;end目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為29，即第三級(jí)偏差為29。當(dāng)前64頁(yè)，總共91頁(yè)。分析計(jì)算結(jié)果，。因此，目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解為。最優(yōu)利潤(rùn)為1600。當(dāng)前65頁(yè)，總共91頁(yè)。多目標(biāo)規(guī)劃的LINGO通用程序model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/11,22,33,34/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=??0;b=12;g=150001615;a=22;c=2003002-14005;wplus=0131;wminus=1130;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));end當(dāng)前66頁(yè)，總共91頁(yè)。當(dāng)程序運(yùn)行時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)對(duì)話框。在做第一級(jí)目標(biāo)計(jì)算時(shí)，ctr輸入1，goal(1)和goal(2)輸入兩個(gè)較大的值，表明這兩項(xiàng)約束不起作用。求得第一級(jí)的最優(yōu)偏差為0，進(jìn)行第二輪計(jì)算。在第二級(jí)目標(biāo)的運(yùn)算中，ctr

輸入2。由于第一級(jí)的偏差為0，因此goal(1)的輸入值為0，goal(2)輸入一個(gè)較大的值。求得第二級(jí)的最優(yōu)偏差仍為0，進(jìn)行第三級(jí)計(jì)算。在第三級(jí)的計(jì)算中，ctr輸入3。由于第一級(jí)、第二級(jí)的偏差均是0，因此，goal(1)和goal(2)的輸入值也均是0。最終結(jié)果是：，最優(yōu)利潤(rùn)是1600元，第三級(jí)的最優(yōu)偏差為29。當(dāng)前67頁(yè)，總共91頁(yè)。第三部分多目標(biāo)決策建模的應(yīng)用實(shí)例

當(dāng)前68頁(yè)，總共91頁(yè)。例１考慮資源消耗如表1所示。x1、x2、x3分別為甲、乙、丙的產(chǎn)量。使企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)總利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃模型為：

產(chǎn)品

資源甲乙丙現(xiàn)有資源設(shè)備A312200設(shè)備B224200材料C451360材料D235300利潤(rùn)（元/件）403050表1當(dāng)前69頁(yè)，總共91頁(yè)。最優(yōu)解X＝（50，30，10），Z＝3400當(dāng)前70頁(yè)，總共91頁(yè)。

現(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實(shí)際情況和市場(chǎng)需求，需要重新制定經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，其目標(biāo)的優(yōu)先順序是：（1）利潤(rùn)不少于3200元；（2）產(chǎn)品甲與產(chǎn)品乙的產(chǎn)量比例盡量不超過(guò)1.5；（3）提高產(chǎn)品丙的產(chǎn)量使之達(dá)到30件；（4）設(shè)備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班；（5）受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料不能再購(gòu)進(jìn)。解：設(shè)甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3。如果按線性規(guī)劃建模思路，最優(yōu)解實(shí)質(zhì)是求下列一組不等式的解當(dāng)前71頁(yè)，總共91頁(yè)。通過(guò)計(jì)算不等式無(wú)解，即使設(shè)備加班10小時(shí)仍然無(wú)解．在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中生產(chǎn)方案總是存在的，無(wú)解只能說(shuō)明在現(xiàn)有資源條件下，不可能完全滿足所有經(jīng)營(yíng)目標(biāo)．這種情形是按事先制定的目標(biāo)順序逐項(xiàng)檢查，盡可能使得結(jié)果達(dá)到預(yù)定目標(biāo)，即使不能達(dá)到目標(biāo)也使得離目標(biāo)的差距最小，這就是目標(biāo)規(guī)劃的求解思路，對(duì)應(yīng)的解稱為滿意解．下面建立例1的目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型．當(dāng)前72頁(yè)，總共91頁(yè)。設(shè)d－為未達(dá)到目標(biāo)值的差值，稱為負(fù)偏差變量，d+為超過(guò)目標(biāo)值的差值，稱為正偏差變量，

d－≥0、d＋≥0．(1)設(shè)d1－未達(dá)到利潤(rùn)目標(biāo)的差值,d1+

為超過(guò)目標(biāo)的差值當(dāng)利潤(rùn)小于3200時(shí),d1－＞０且d1＋＝0,有40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立當(dāng)利潤(rùn)大于3200時(shí)，d1＋＞０且d1－＝０，有40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立當(dāng)利潤(rùn)恰好等于3200時(shí)，d1－=０且d1+=0,有40x1+30x2+50x3=3200成立實(shí)際利潤(rùn)只有上述三種情形之一發(fā)生，因而可以將三個(gè)等式寫成一個(gè)等式40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=3200當(dāng)前73頁(yè)，總共91頁(yè)。（2）設(shè)分別為未達(dá)到和超過(guò)產(chǎn)品比例要求的偏差變量,則產(chǎn)量比例盡量不超過(guò)1.5的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

（3）設(shè)d3ˉ、d3＋分別為產(chǎn)品丙的產(chǎn)量未達(dá)到和超過(guò)30件的偏差變量，則產(chǎn)量丙的產(chǎn)量盡可能達(dá)到30件的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：利潤(rùn)不少于3200理解為達(dá)到或超過(guò)3200，即使不能達(dá)到也要盡可能接近3200,可以表達(dá)成目標(biāo)函數(shù)｛d1－｝取最小值，則有當(dāng)前74頁(yè)，總共91頁(yè)。（4）

設(shè)d4ˉ

、d4+為設(shè)備A的使用時(shí)間偏差變量,d5ˉ、d5+為設(shè)備B的使用時(shí)間偏差變量，最好不加班的含義是d4+

和d5+同時(shí)取最小值，等價(jià)于d4+

+d5+取最小值，則設(shè)備的目標(biāo)函數(shù)和約束為：（5）材料不能購(gòu)進(jìn)表示不允許有正偏差，約束條件為小于等于約束．由于目標(biāo)是有序的并且四個(gè)目標(biāo)函數(shù)非負(fù)，因此目標(biāo)函數(shù)可以表達(dá)成一個(gè)函數(shù)：當(dāng)前75頁(yè)，總共91頁(yè)。式中：Pj（j=1,2,3,4）稱為目標(biāo)的優(yōu)先因子，第一目標(biāo)優(yōu)于第二目標(biāo)，第二目標(biāo)優(yōu)于第三目標(biāo)等等，其含義是按P1、P2、…的次序分別求后面函數(shù)的最小值.則問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：當(dāng)前76頁(yè)，總共91頁(yè)。約束實(shí)際偏差目標(biāo)1C13220=32002C2－2=03C330=304C4164=2005C5216=2006C6242－118<=3607C7266－34<=3001X1282X2203X3304d1-05d1+206d2-27d2+08d3-09d3+010d4-3611d4+012d5-013d5+16滿意解：約束分析：當(dāng)前77頁(yè)，總共91頁(yè)。例2車間計(jì)劃生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均需經(jīng)過(guò)A、B、C三道工序加工．工藝資料如表2所示．

產(chǎn)品工序產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙每天加工能力(小時(shí))A22120B12100C2.20.890產(chǎn)品售價(jià)(元/件)5070產(chǎn)品利潤(rùn)(元/件)108（1）車間如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使產(chǎn)值和利潤(rùn)都盡可能高;（2）如果認(rèn)為利潤(rùn)比產(chǎn)值重要，怎樣決策。表2當(dāng)前78頁(yè)，總共91頁(yè)。解：設(shè)x1、x2分別為產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的日產(chǎn)量，得到線性多目標(biāo)規(guī)劃模型：當(dāng)前79頁(yè)，總共91頁(yè)。（1）將模型化為目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題．首先，通過(guò)分別求產(chǎn)值最大和利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃最優(yōu)解．產(chǎn)值最大的最優(yōu)解：X(1)＝（20，40），Z1＝3800利潤(rùn)最大的最優(yōu)解：X(2)

＝（30，30），Z2＝540目標(biāo)確定為產(chǎn)值和利潤(rùn)盡可能達(dá)到3800和540，得到目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：當(dāng)前80頁(yè)，總共91頁(yè)。．,等價(jià)于（2）給d2-

賦予一個(gè)比d1-的系數(shù)大的權(quán)系數(shù),如