2020高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪專題探究課2三角函數(shù)與解三角形中高考熱點問題Word版含解析

二三角函數(shù)與解三角形中的高考熱門問題(對應(yīng)學(xué)生用書第67頁)[命題解讀]從近五年全國卷高考試題來看，解答題第1題(全國卷T17)交替考察三角函數(shù)、解三角形與數(shù)列，本專題的熱門題型有：一是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二是解三角形；三是三角恒等變換與解三角形的綜合問題，中檔難度，在解題過程中應(yīng)發(fā)掘題目的隱含條件，注意公式的內(nèi)在聯(lián)系，靈巧地正用、逆用、變形應(yīng)用公式，并側(cè)重轉(zhuǎn)變思想與數(shù)形聯(lián)合思想的應(yīng)用．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)要進(jìn)行五點法作圖、圖像變換，研究三角函數(shù)的單一性、奇偶性、周期性、對稱性，求三角函數(shù)的單一區(qū)間、最值等，都應(yīng)先進(jìn)行三角恒等變換，將其化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，而后利用整體代換的方法求解．(2017·浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．2π(1)求f3的值；(2)求f(x)的最小正周期及單一遞加區(qū)間．2π32π1[解](1)由sin3＝2，cos3＝－2，2π321231得f3＝2－－2－23×2×－2，2π因此f3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6，因此f(x)的最小正周期是π.ππ3π由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ，k∈Z，π2π解得6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z，因此

f(x)的單一遞加區(qū)間是

π2π6＋kπ，3＋kπ(k∈Z)．[規(guī)律方法]求函數(shù)的單一區(qū)間，應(yīng)先經(jīng)過三角恒等變換把函數(shù)化為y＝Asinωx＋φ的形式，再把“ωx＋φ”視為一個整體，聯(lián)合函數(shù)y＝sinx的單一性找到“ωx＋φ”對應(yīng)的條件，經(jīng)過解不等式可得單一區(qū)間.ππ[追蹤訓(xùn)練](2018·北京海淀區(qū)期末練習(xí))已知函數(shù)f(x)＝sin2xcos5－cos2xsin5.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在0，π2上的最大值.【導(dǎo)學(xué)號：79140141】πππ[解](1)f(x)＝sin2xcos5－cos2xsin5＝sin2x－5，2π因此f(x)的最小正周期T＝2＝π，π由于y＝sinx的對稱軸方程為x＝kπ＋2，k∈Z，ππ令2x－5＝2＋kπ，k∈Z，7π1得x＝20＋2kπ，k∈Z，7π1f(x)的對稱軸方程為x＝20＋2kπ，k∈Z.π(2)由于x∈0，2，因此2x∈[0，π]，因此

π2x－5∈

π4π－5，5，因此當(dāng)

ππ2x－5＝2，即

7πx＝20時，f(x)在

π0，2上的最大值為

1.解三角形(答題模板)從近幾年全國卷來看，高考命題加強認(rèn)識三角形的考察力度，側(cè)重考察正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的重點是邊角互化，聯(lián)合三角恒等變換進(jìn)行化簡與求值．(本小題滿分12分)(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a2a，b，c.已知△ABC的面積為3sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．1a21a[規(guī)范解答](1)由題設(shè)得2acsinB＝3sinA，即2csinB＝3sinA.2分1sinA由正弦定理得2sinCsinB＝3sinA.2故sinBsinC＝3.5分1(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－2，即cos(B＋C)＝－12.2ππ因此B＋C＝3，故A＝3.7分1a2由題設(shè)得2bcsinA＝3sinA，a＝3，因此bc＝8.9分由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.11分故△ABC的周長為3＋33.12分[閱卷者說]易錯點防備舉措仔細(xì)剖析已知與所求的差別，一定消去三角形面積公式的選用，若采用2與sinA才能求出sinBsinC的值．因a11△＝bcsinA，就不可以達(dá)到消此采用公式S△ABC＝或△ABC＝SABCacsinB2元的目的，以致解題受阻.12absinC．[規(guī)律方法]解三角形問題要關(guān)注正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，要合時、適量進(jìn)行“角化邊”或“邊化角”，要抓住能用某個定理的信息.一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特點都不顯然時，則兩個定理都有可能用到.[追蹤訓(xùn)練](2018·福州質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ctanC＝3(acosB＋bcosA)．(1)求角C；(2)若c＝23，求△ABC面積的最大值.【導(dǎo)學(xué)號：79140142】[解](1)∵ctanC＝3(acosB＋bcosA)，sinCtanC＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，sinCtanC＝3sin(A＋B)＝3sinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，tanC＝3，∴C＝60°.(2)∵c＝23，C＝60°，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，∴ab≤12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝23時，等號建立．1∴S△ABC＝2absinC≤33.∴△ABC面積的最大值為33.三角恒等變換與解三角形的綜合問題以三角形為載體，三角恒等變換與解三角形交匯命題，是近幾年高考試題的一大亮點，主要考察和、差、倍角公式以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的重點是依據(jù)題目供給的信息，適合地實行邊角互化．(2018·石家莊一模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且sinC＝a＋bsinA－sinBa－c.(1)求角B的大?。弧?2)點D知足BD＝2BC，且線段AD＝3，求2a＋c的最大值．sinCa＋b[解](1)∵sinA－sinB＝a－c，a＋b由正弦定理可得a－b＝a－c，c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，即a2＋c2－b2＝ac.2221又∵a＋c－b＝2accosB，∴cosB＝2.π∵B∈(0，π)，∴B＝3.(2)法一：在△ABD中，由余弦定理知，π，c2＋(2a)2－2·2a·c·cos＝323(2a＋c)2－9＝3·2a·c.2a＋c2∵2a·c≤2，232∴(2a＋c)－9≤4(2a＋c)，(2a＋c)2≤36，即當(dāng)且僅當(dāng)2a＝c時，等號建立，即a＝3，c＝3時，2a＋c的最大值為6.2法二：由正弦定理知2a＝c＝3＝23，sin∠BADsin∠ADBπsin3∴2a＝23sin∠BAD，c＝23sin∠ADB，∴2a＋c＝23sin∠BAD＋23sin∠ADB＝23(sin∠BAD＋sin∠ADB)2π＝23sin∠BAD＋sin3－∠BAD＝2333sin∠BAD＋2cos∠BAD2＝6312sin∠BAD＋2cos∠BADπ＝6sin∠BAD＋6.2πππ5π∵∠BAD∈0，3，∴∠BAD＋6∈6，6，πππ即當(dāng)且僅當(dāng)∠BAD＋6＝2，即∠BAD＝3時，2a＋c的最大值為6.[規(guī)律方法]1.以三角形為載體，實質(zhì)考察三角形中的邊角轉(zhuǎn)變，求解的重點是抓住邊角間的關(guān)系，恰入選擇正、余弦定理.2.解三角形常與三角變換交匯在一同以解三角形的某一結(jié)論作為條件，此時應(yīng)第一確立三角形的邊角關(guān)系，而后靈巧運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式化簡轉(zhuǎn)化.[追蹤訓(xùn)練](2018·濟南一模)已知函數(shù)f(x)＝23sinxcosx－cos(π＋2x)．(1)求f(x)的單一增區(qū)間；(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若f(C)＝1，c＝3，a＋b＝23，求△ABC的面積．[解](1)f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，πππ令－2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ，k∈Z，ππ解得－3＋kπ≤x≤6＋kπ，k∈Z，∴f