上海八年級下平面向量知識點(diǎn)總結(jié)說課講解

<<<<<<精品資》》平面向量●重難突破向量加法的運(yùn)算及其幾何意義。對向量加法定義的理解。向量的減法運(yùn)算及其幾何意義。對向量減法定義的理解。實(shí)數(shù)與向量積的意義。實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。兩個向量共線的等價條件及其運(yùn)用。對向量共線的等價條件的理解運(yùn)用?！衩空n記一、求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進(jìn)行：(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；(2)用已知長度的向量表示待求向量的模，有時還要利用模的重要性質(zhì)。二、1.向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作

AB

=a，

=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=

AB

+=。求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。2.向量加法的法則：（1）向量加法的三角形法則<<<<<<精品資》》DCDC<<<<<<精品資》》在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法則用這一法則時要特別注意“首尾相接”即第二個向量要以第一個向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)則由第一個向量的起點(diǎn)指向第二個向量的終點(diǎn)的向量即為和向量位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則如圖4，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角OC是a與b的和我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。3.向量a，b的加法也滿足交換律和結(jié)合律：對于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a=a兩個數(shù)相加其結(jié)果是一個數(shù)對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點(diǎn)在數(shù)軸上的兩個向量相加，它們的和仍是一個向量，對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段。當(dāng)a，b不共線時，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊)；當(dāng)a，b共線且方向相同時，|a+b|=|a|+|b|當(dāng)，b線且方向相反時，|a+b|=|a|-|b|(|b|-|a|)。其中當(dāng)向量長度大于向量b的長度時，|a+b|=|a|-|b|當(dāng)向量a長度小于向量b長度時，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我們有|a+b|≤|a|+|b|。④如圖5，作

AB

=a，

=b，以AB.AD為鄰邊作ABCD，則=b，=a。因?yàn)锳B+ADAC=AD+DC=b+a所以a+b=b+a。如圖6，因?yàn)?CD=(+BCCD，=+BDBCCD)=a+(b+c)，所以a+b)+c=a+(b+c)。綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。<<<<<<精品資》》BCBCBCBC<<<<<<精品資》》特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法。用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，最后回扣物理問題，解決問題。向量也有減法運(yùn)算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此和-a互為相反向量。于是-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0所以，如果a、b是互為相反的向量，那么，b=-a，a+b=0。1.平行四邊形法則圖1如圖1量=bAC=aAD向量減法的定義AE=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我們得到a-b的作圖方法。圖22.三角形法則<<<<<<精品資》》<<<<<<精品資》》如圖2，已a(bǔ)、b，在平面內(nèi)任取一O，作=a，OB=b，則

B

=a-b，a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義。（1）定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似，我們規(guī)定，與長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。（2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。五、我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：|λa|=|λ||a|；當(dāng)λ＞0時λa的方向與a的方向相同當(dāng)λ＜0時λa的方向與a的方向相反。由(1)可知，λ=0時，λa=0。根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。向量共線的等價條件是如果a(a≠0)與b共線那么有且只有一個實(shí)數(shù)λ使b=λa。共線向量可能有以下幾種情況：有一個為零向量；兩個都為零向量；同向且模相等；同向且模不等；<<<<<<精品資》》<<<<<<精品資》》反向且模相等；反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個向量向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定大小由|λ|·|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小向量的平行與直線的平行是不同的直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況又包含兩個向量在同一條直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、，恒有λ(b)=λa±λb。21●經(jīng)典題例1化簡：(1)BC+

(2)+BC(3)AB++CD+BC+解：

FABCAB=+BC=AC+CD+BC=BC+CD+DB+CDDB+DB(3)AB+DF+CD+BC+FA+BC++DF+FA=+CD+DF+=ADDF=AF+解析：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量。例2若，=a-b①當(dāng)a.b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？<<<<<<精品資》》<<<<<<精品資》》②當(dāng)a.b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？③當(dāng)a.b滿足什么條件時，a+b平分a與b夾的角？④a+b與a-b可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、DB恰為平行四邊形的對角線。由平行四邊形法則，得

=a+b，

=

AB

-

=a-b。由此問題就可轉(zhuǎn)換為：①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時