坐標(biāo)變換在擺線針輪行星傳動(dòng)嚙合方程中的應(yīng)用

“矩陣論”課程研究報(bào)告科目：矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用教師：姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：機(jī)械設(shè)計(jì)類別：上課時(shí)間：考生成績：閱卷評(píng)語：閱卷教師(簽名)坐標(biāo)變換在擺線針輪行星傳動(dòng)嚙合方程中的應(yīng)用摘要：擺線針輪行星傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大和傳動(dòng)效率高等突出的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械、礦山、冶金、化工、紡織、國防工業(yè)等領(lǐng)域。近年來在精密傳動(dòng)領(lǐng)域中受到了廣泛關(guān)注。本報(bào)告根據(jù)齒輪嚙合原理、由圓柱針齒及給定的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用矩陣論中的與坐標(biāo)變換相關(guān)的知識(shí)，建立行星輪共軛嚙合齒廓的通用方程。從而表示標(biāo)準(zhǔn)擺線針輪行星傳動(dòng)的嚙合方程式。問題描述如圖1所示。件1為針輪，件2為行星輪。在針輪和行星輪的中心分別建立于之相固連的動(dòng)坐標(biāo)系以及，在針輪中心建立整體固定坐標(biāo)系。在初始位置，軸與軸重合，軸與軸平行。針齒中心分布圓半徑為，針齒的半徑為。針輪與行星輪的齒數(shù)分別為和，兩輪中心距，即輸入轉(zhuǎn)臂軸承的偏心距為。為了簡化問題的討論，采用轉(zhuǎn)臂（曲柄）固定法。將行星輪繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，針輪也將隨行星輪繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角。求出行星輪的齒廓方程。圖1坐標(biāo)系的建立方法簡述問題中要求出行星輪，即擺線輪的齒廓方程。換而言之要求出短幅外擺線的曲線。一般以內(nèi)擺法形成短幅擺線；而短幅擺線和針齒滿足齒廓嚙合定律以及連續(xù)傳動(dòng)條件。與漸開線等齒輪共軛嚙合傳動(dòng)的理論大致相同。在該問題中，可以用方程式表達(dá)出針齒齒廓的方程，再根據(jù)針齒齒廓與行星輪齒廓共軛的條件，最后求出行星輪齒廓方程，即與針齒相嚙合的曲線方程。在通過針齒齒廓求解出行星輪齒廓的過程中，由于針輪與行星輪存在偏心距，即兩者所處的坐標(biāo)不同，這樣會(huì)導(dǎo)致嚙合過程中，不能根據(jù)齒輪嚙合原理直接變換。在此，運(yùn)用矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識(shí)，完成坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換過程。涉及到的矩陣知識(shí)有：坐標(biāo)變換公式以及坐標(biāo)的基本變換。坐標(biāo)變換公式設(shè)，在基，，之下的坐標(biāo)為，在基，，之下的坐標(biāo)為，即采用矩陣形式寫法，便有由于在基，，之下的坐標(biāo)是唯一的，因此有或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果嚙合方程針齒齒廓在坐標(biāo)中的方程為（1）式中：為角參量。根據(jù)齒輪嚙合原理的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，嚙合方程為（2）其中，為針齒嚙合點(diǎn)處的法線矢量，在坐標(biāo)軸和山的投影為，，為嚙合點(diǎn)處針齒與行星輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量，式中，，，。以上各式中，，分別為坐標(biāo)軸，，的單位矢量。將相關(guān)的表達(dá)式帶人（2）式，計(jì)算化簡后得到嚙合函數(shù)（3）其中為系數(shù)，且行星輪的齒廓方程在坐標(biāo)系中，與針齒齒廓相共軛的行星輪齒廓由下式確實(shí)：（5）式中，為從到的坐標(biāo)變化矩陣。由到的變換矩陣為（6）由到的坐標(biāo)矩陣為（7）令，由，可得，于是（8）根據(jù)三角函數(shù)公式解嚙合函數(shù)（3），有（9）將（1），（8），（9）式帶人（5）式得到行星輪的齒廓方程的一般表達(dá)式（10）其中（11）其中，行星輪齒廓的方程式為式（10）的表達(dá)式。結(jié)果分析和說明根據(jù)過程三中得出的結(jié)果，針齒齒廓的表達(dá)式為式（1）中的，該方程的表達(dá)式是在坐標(biāo)系的表達(dá)式；而與之相嚙合的擺線輪的表達(dá)式為式（10）中的，該方程的表達(dá)式則是在坐標(biāo)系的表達(dá)式。由此可見，與針齒共軛嚙合的曲線獲得的行星輪齒廓方程，是短幅擺線的等距曲線。當(dāng)式（10）中的針齒半徑=0時(shí)，將得到理論短幅擺線；當(dāng)針齒齒數(shù)大于擺線輪齒數(shù)時(shí)，式（11）中，等號(hào)右邊取正，短幅擺線向內(nèi)等距，獲得短幅外擺線的等距線，形成普通的擺線針齒行星傳動(dòng)，見圖2；當(dāng)針齒齒數(shù)小于擺線輪齒數(shù)時(shí)，式（11）中，等號(hào)右邊取負(fù)，短幅擺線向外等距，獲得短斧內(nèi)擺線的等距線，可行成內(nèi)擺線針輪行星傳動(dòng)，見圖3。圖2與圖3中的參數(shù)為：=90，=7，=4，=33，=34，=1.511圖2短幅外擺線的等距線圖3短幅內(nèi)擺線的等距線參考資料[1]李新,何傳江.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用.重慶大學(xué)出版社,2005(8):2-11.[2]陳兵奎,房婷婷,李朝陽.擺線針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論.軸承,2008,38(1):148-160.[3]李特文.齒輪嚙合原理.第2版.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,