ch微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

xx第三章分中值理導(dǎo)數(shù)的用本章內(nèi)容是上一章的延續(xù)要是利用導(dǎo)數(shù)與微分這一方法來分析和研究函數(shù)的性質(zhì)及其圖形和各種形態(tài)一切的理論基礎(chǔ)即為在微分學(xué)中占有重要地位的幾個微分中值定理.在分析、論證過程中，中值定理有著廣泛的應(yīng)用一教目與本求（一）知識1.記住羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件和結(jié)論；2.記住泰勒公式及其拉格朗日余項的表達(dá)式；3.記住e,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+xN階麥克勞林公式；4.知道極限的末定式及其常見的幾種類型的求法；5.知道函數(shù)的極值點(diǎn)、駐點(diǎn)的定義以及它們之間的關(guān)系；6.知道曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的定義；7.知道弧微分的定義與弧微分公式；8.知道光滑曲線、曲率和曲率半徑的定義；9.知道求方程的近似解的基本方法.（二）領(lǐng)會1.領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理的幾何意義；2.領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之間的聯(lián)系；3.領(lǐng)會洛必達(dá)法則；4.領(lǐng)會函數(shù)的單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；5.領(lǐng)會函數(shù)的極值與一、二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；6.領(lǐng)會函數(shù)的極值和最值的定義以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；7.領(lǐng)會曲線的凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系（三）運(yùn)用1.會用中值定理證明等式和不等式；2.會用洛必達(dá)法則求末定式的極限；3.會求一些函數(shù)的泰勒公式和利用泰勒公式求函數(shù)的極限及一些函數(shù)的近似值；4.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；5.會用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；6.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)；7.會求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線，會描繪函數(shù)的圖形；8.會求一些最值應(yīng)用問題；9.會求曲率和曲率半徑；10.會用二分法和切線法求一些方程實根的近似值（四）分析綜合1.綜合運(yùn)用中值定理介值定理和函數(shù)的單調(diào)性等證明方程實根的存在性和惟一性；2.綜合運(yùn)用中值定理、函數(shù)的最（極）值和凹凸性等方面的知識及構(gòu)造性方法證明等式和不等式；3.綜合運(yùn)用洛必達(dá)法則，泰勒公式和其他方法求末定式的極限；4.綜合運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性和極值等方面的知識描繪函數(shù)的/

圖形.二教內(nèi)及時配根據(jù)教學(xué)實踐，建議本章的教學(xué)課數(shù)可一般控制在18學(xué)時（含習(xí)題課）左右，各節(jié)的學(xué)時分配大致如下：第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)泰勒公式

學(xué)時2時2時第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性學(xué)時第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值學(xué)時第六節(jié)函數(shù)圖形的描述第七節(jié)曲率

2時1時第八節(jié)

方程的近似解

1時（選講

）三本重及點(diǎn)1、三個中定理及泰勒公式2、洛必達(dá)則3、函數(shù)的調(diào)性，曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4、函數(shù)的值概念及求法5、函數(shù)的值問題6、函數(shù)圖的描繪、

弧微分、曲率的概念及計算、曲率半徑四本教內(nèi)的化拓１．２．３．

柯西中值定理的幾何意義以及運(yùn)用洛必達(dá)法則函數(shù)極值在實踐中的運(yùn)用五教方及意項本章的內(nèi)容比較多要學(xué)好它大家一定要抓住其中心內(nèi)容和主要特點(diǎn)對本章中的思想方法要融會貫通，加深理解.首先掌握中值定理的條件和結(jié)論，它是本章內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，它建立了導(dǎo)數(shù)通向應(yīng)用的橋梁.中值定理無論是在理論研究中還是在實際應(yīng)用中都具有十分重要的作用.其要掌握中值定理證明的思想方法構(gòu)造性證明方.此方法是一個十分常用的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅在中值定理的證明中而且在不等式的證明方程根的存在性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中都具有廣泛的應(yīng)用它為我們提供了求未定型的極限的一種重要方法大家一定要將前面所介紹過的求極限的方法與洛必達(dá)法則結(jié)合起來融會貫通真正掌握和靈活使用洛必達(dá)法則.第四要熟悉和掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)等，對它們的研究，最基本的方法是用它們的定義和判定定理，這是很重要要注意所研究的問題與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，并加以比較導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題的求法比較規(guī)范，步驟明確，簡單易懂，但在求解過程中要特別注意列表法的使用.注意要點(diǎn)：1．羅爾定理拉格朗日定理柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)并且知道它們之間的關(guān)系羅爾定理是拉格朗日定理的特例拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例2．注意羅爾拉格朗日柯西中值定理的中值定理的中值點(diǎn)是開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)非區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)或指定一點(diǎn)言之三個中值定理都定/

100010003．

性”地指出了中值點(diǎn)的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值.結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后各章節(jié)的應(yīng)用復(fù)體會這些定理在微積分學(xué)的意義與作用六思題習(xí)第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)

習(xí)題3—127，8，，，習(xí)題3—214習(xí)題3—313，4，習(xí)題3—413，4，7，8，習(xí)題3—512，4，5，8，，習(xí)題3—612，3習(xí)題3—713，5七教方（段本章主要采用講授新課的方式第節(jié)微中定一：內(nèi)容要點(diǎn)1．費(fèi)馬理:在x可，且在某個域)內(nèi)0fn)(x)f(x)(或fx)f(f.n!2．中值定：羅爾中值定理：[b](a,)且f(a)=f(b),b),得f拉格朗日中值定理：[b](a))使得

f()()b

f

).3．推論f

柯西中值定理fgC[ab]b)且f(bf(af使得.(()(xI)f()(I)

a),二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解費(fèi)爾馬引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理.1.會用中值定理證明簡單的不等式和證明方程解的存在性學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1.要注意羅爾拉格朗日柯西中值定理的條件與論中的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)并且知道它們之間的關(guān)系爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例2.要注意羅爾格朗日西中值定理的中值點(diǎn)是開區(qū)a,b）內(nèi)的某一點(diǎn)，而非區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)或指定一.換之，這三個中值定理都僅“定性“地指出了中值ξ的存在性，而非”定量“地指明ξ的具體數(shù)值3.要結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后章節(jié)中的應(yīng)用，反復(fù)體會這些定理在微積分學(xué)中意義與作用第節(jié)/

泰公

n+100nn0nn+100nn0nn00n0nx一：內(nèi)容要點(diǎn)：1泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含的某個開區(qū)a,b內(nèi)具有直到0(n+1)階導(dǎo)數(shù)，即D那么對于x∈(a,b),有相應(yīng)的泰勒公式f()f()f0

1)(x)f2!

)00

2

1n!

f0其中Rn

n(n)!

，ξ是xx之間0的某個值.當(dāng)x=0）式稱為帶有拉格朗日余項的麥克勞林01公式，即(x)(0)f)2!1fnxn!n1)!

n2.帶有佩亞諾余項的泰勒公式如果函數(shù)f(x)在有x的開區(qū)間（a,b0內(nèi)有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則對于(a,b)有f()f()f0

1)(x)f2!

)00

21fn!

x0

(x)0當(dāng)x=02）式稱為帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，即01f()(0)f)f2!1n!

n

x

)二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：1理解泰勒中值定理.了解e,sinx,cosx,ln(1+x)等函數(shù)的麥克勞林公式會用定理證明一些相關(guān)的命題.2．學(xué)習(xí)注點(diǎn)：（1）要懂得泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步的推廣，即拉格朗日中值定理是泰勒中值定理當(dāng)n=0的特例；并懂得函數(shù)在一點(diǎn)x附近的近似表達(dá)式比起函數(shù)的依次近似高階泰勒多項式有更好0的近似精度.（2）記住基本初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：第節(jié)洛達(dá)則一：內(nèi)容要點(diǎn)在求0/0或∞/∞型未定式極限時一定的條件下可以用洛必達(dá)法則.10/0型

′(x)/g(x))(xx)0/

00002/型(x)/g(x))(xx)0以上x→x的極限過程改為x→xxx－0x→∞,→+∞或x→－00∞時，公式仍然成立二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：會用洛必達(dá)法則求各種類型的未定式極限，基本類型是？和？，而1.對0*∞，∞±型未定式，可通過取倒數(shù)、通分等恒等變形化為0/0型或∞∞型.2.對0

∞

，∞等冪指型未定式，可取對數(shù)化0*∞型，然后化為0/0型或∞∞型.學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1.要懂得洛必達(dá)法則是求0/0型與∞∞型未定式極限的一種比較有效的方法，但也有一定的使用范圍：只有滿足條件——lim(f(x)/g′(x))(xx)存在或為∞（這時我們稱lim(f(x)/g0(x))(x→)有確義用法求的限0Limit(f(x)/g(x))才是正確的，洛必達(dá)法則的條件是未定式存在極限的充分而非必要條件，換言之，當(dāng)lim(f′(x)/g(x))(x→x)不存在或也不為∞時，Limit(f(x)/g(x))仍然可能是確定的02.應(yīng)注意洛必達(dá)法則不是0/0型或與∞/∞型未定式的唯一方法.者在計算時應(yīng)該結(jié)合使用等價無窮小的替換帶有佩亞諾余項的泰勒公式等方法，以使計算簡便、準(zhǔn)確3.在每一次使用洛必達(dá)法則前都要驗證以下所求極限是否為0/0∞/∞型未定式，否則就會出錯第節(jié)函的調(diào)與線凹性一：內(nèi)容要點(diǎn)1．函數(shù)單性的判別法2．函數(shù)的性極其判別法（1）定義（2）判別法1.別法2.（3）通常用f(x)=0的點(diǎn)（函數(shù)的駐點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間f

(x)=0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分并討論函數(shù)的凹凸區(qū)間二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：1．掌握用數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法2．會用導(dǎo)判斷函數(shù)的凹凸性3．會利用數(shù)單調(diào)性與凹凸性證明某些不等式學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：在討論函數(shù)形態(tài)（單調(diào)性與凹凸性）時，要注意一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)各自所起的作用，并進(jìn)行比較以加深理解第節(jié)函的值最值最值一：內(nèi)容要點(diǎn)1.函數(shù)的極值極其判別法(1)函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的定義/

″″(2)函數(shù)極值的判別法必要條件若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)且除了某些點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則可疑極值點(diǎn)為駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn).第一充分條件第二充分條件2.最大值與最小值(1)某些優(yōu)先問題可歸結(jié)為求函數(shù)f(x)區(qū)間I上的最大值與最小值，求連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]最大（?。┲档囊话悴襟E是：（（（

123

）））

求出f(x)在內(nèi)的全部的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)xx2,...n,;計算出函數(shù)值f(xf(x),…以及f(a)與1n比較上述值的大小.(2有關(guān)最大（小）值的應(yīng)用問題，其關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)該函數(shù)的實際意義下的定義域稱為約束集或可行域若在約束I內(nèi)的駐點(diǎn)唯一，又根據(jù)問題的實際意義知f(x)的最大（?。┲荡嬖?，則該駐點(diǎn)即為最大（小）值點(diǎn)，不必另行判定二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)教學(xué)要求：1．理解函的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法2．根據(jù)實問題，會建立目標(biāo)函數(shù)與約束集，從而解決有關(guān)的優(yōu)化問題.學(xué)習(xí)注意點(diǎn)：1．要將極（極?。┲蹬c最大（最?。┲祷鞛橐徽劊盟鼈兊膮^(qū)別和聯(lián)系.2．不要將值點(diǎn)與駐點(diǎn)混為一談，要清楚駐點(diǎn)是對可導(dǎo)函數(shù)而言的，二極值點(diǎn)對不可導(dǎo)函數(shù)、甚至對不連續(xù)函數(shù)也是有意義的，只有可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)才是駐點(diǎn)；而可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)僅是可疑極值點(diǎn).3．要學(xué)會極值判定條件來求函數(shù)的極值，但又要知道極值的判定條件是充分而不必要的.第六節(jié)函數(shù)圖形的描述一：內(nèi)容要點(diǎn)：函數(shù)的圖形為我們提供了函數(shù)的直觀的幾何形象，這對于研究函數(shù)很有幫助，以前作函數(shù)圖形的基本方法是描點(diǎn)法，這種方法的最大缺陷在于選點(diǎn)的盲目性不能把握整個圖形的特點(diǎn)和趨勢.面我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)給出了一套研究函數(shù)性態(tài)的方法，將其應(yīng)用于函數(shù)作圖上，就可以得到一種遠(yuǎn)比秒點(diǎn)法更有效的作圖方法——微分作圖法.應(yīng)微分作圖法去作函數(shù)圖形，是前幾節(jié)所講知識的綜合性應(yīng)用，二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)函數(shù)作圖的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否有奇偶性，周期性；（2）求出y′

，y

，并求出使f

(x)=0；f

(x)=0在定義域內(nèi)的所有點(diǎn)及y

，y

不存在點(diǎn)；（3）這些點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間，在各小區(qū)間內(nèi)確定y

，y

的符號，由此確定每個區(qū)間上函數(shù)圖像的單調(diào)性，凹凸性，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)./

（4）確定函數(shù)的漸進(jìn)線；（5）求出極值點(diǎn)，拐點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo)，必要時可再補(bǔ)充一些特殊點(diǎn)；（6）描點(diǎn)并根據(jù)上述結(jié)果繪出函數(shù)的圖形.第節(jié)率一：內(nèi)容要點(diǎn)1．光滑曲上一點(diǎn)M處的曲率的定義：圓的曲率為該圓半徑的倒數(shù)k=1/R；直線的曲率為0.2．曲率公：3．曲率半、曲率圓與曲率中心曲率半徑：設(shè)曲線C在點(diǎn)M的曲率半徑為ρ在M處作法線取C的凹向的一側(cè)的法線上一點(diǎn)D，滿足ρ,則D曲率中心；D為中