2023新教材數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)-專題七數(shù)列求和、數(shù)列的綜合

2023新高考數(shù)學(xué)第一輪專題練習(xí)

7.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)一數(shù)列求和

L（2M浙江J。,4分舊知數(shù)列區(qū)>滿足a,=l,一』（nC.記數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為S”則（）

3

A.5<S】OO<3B.3<SI（JO<4

99

C.4<Sioo<-D."<S）（?<5

答案A

2.（2020山東仿真聯(lián)考3）已知正項(xiàng)數(shù)列瓜｝滿足a““〉2a,S,是｛a.｝的前n項(xiàng)和，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

k

A.a0“〉2"aiB.S2k>（l+2）Sk

C.S?<2a-a,（n32）【）.（等，是遞增數(shù)列

答案D

3.（2020浙江,11,4分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題,如數(shù)列｛的羅｝就是二階等差數(shù)列.

數(shù)列｛絲/卜n6N*）的前3項(xiàng)和是.

答案10

4.（2022屆T8聯(lián)考，⑻設(shè)等差數(shù)列｛a?）的前n項(xiàng)和為S,,已知a產(chǎn)3,S3=5a,.

（1）求數(shù)列仿』的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)bn=l+-,數(shù)列｛b“｝的前n項(xiàng)和為T..定義[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù),例如。3]=0,[1.5]=1.當(dāng)[T」+[T[+...+[T.l=63時(shí),

求n的值.

解析（D設(shè)等差數(shù)列⑸｝的公差為d,因?yàn)閍尸3,所以S3=3a,+3d=9+3d.

又因?yàn)镾s=5a產(chǎn)15,所以9+3d=15,得d=2.

所以數(shù)列｛a,j的通項(xiàng)公式是④=3+2（n-l）=2n+l.

（2）因?yàn)镾“=3n+M：%2=1?+21\所以b?=l+y-=1r=1

2Snn（n+2）nn+2

所以T,=n+（1-撲仁-3嗎~>“+（三~磊AG-^i）=n+1+-

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當(dāng)nW2時(shí),因?yàn)樗訹T」=n.

32n+ln+2

當(dāng)n》3時(shí),因?yàn)?<1-4T-T7<I>所以[%]=n+l.

2n+1n+22

因?yàn)閇TJ+[%]+...+[T“]=63,

所以1+2+4+5+...+(n+1)=63,

即3年生產(chǎn)曲=63,即n)3nT30=0,即(nTO)?(n+13)=0.

因?yàn)閚CM,所以n=10.

5.(2022屆華中師范大學(xué)瓊中附中月考，17)已知等差數(shù)列｛a.｝中,a產(chǎn)3,a<+a6=18.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛院滿足b.“=2b”并且b,=aF..試求數(shù)列版｝的前n項(xiàng)和S..

解析⑴設(shè)數(shù)列｛&J的公差為d,根據(jù)題意得'解得仁1=l，..a=&+(n-l)d=2nT.

+oa—lo,ia=Z,

(2)*.*bn+l=2bn,

???數(shù)歹II｛bj是公比為2的等比數(shù)列，

又bi=ao=2x5-l=9,

「(1一29(1-2")

=-9+9x2".

''1-q1-2

4

6.(2022屆長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考，17)已知數(shù)歹(J｛an｝中,a尸1,a2=3,其前n項(xiàng)和S.滿足Sn..+Sn.=2Sn+2(n22,nGN).

(1)求數(shù)列E"的通項(xiàng)公式；

(2)若卜=a+26,求數(shù)列｛b..｝的前n項(xiàng)和T,..

解析(1)由題意得Sn.i-Sn=Sn-Sn-i+2(n^2),即a0「a產(chǎn)2(1122),又a2-a】=3T=2,所以an.-an=2(neN*).所以數(shù)列⑸｝是以1為首

4

項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以an=2n-l(nGN).

(2)b“=a“+2%=2n-l+2"'=2n-l+1?4",所以T“=[l+3+5+...+(2n-l)]4x(4+42+43+...+4")=n'+^y1^.

7.(2022屆廣東深圳七中月考)已知等比數(shù)列｛a,｝中,&=1,且2a」是a，和4a,的等差中項(xiàng).等差數(shù)列(b?)滿足b,=l,b；=13.

⑴求數(shù)列圓：，的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列⑶也)的前n項(xiàng)和T”.

解析⑴設(shè)數(shù)列瓜｝的公比為q,由題意可得2x2aka「4ai,即4aq=ad+4a〃又ami,所以q=2,則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為3tl=2"'.

⑵設(shè)數(shù)列ib?｝的公差為d,由題意可得br-b,=12=6d,即<1=2,則數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式為b.=l+(n-l)x2=2n-l.

,n,,1

a,,-b?=2"--(2n-l)>則T?=(2°-l)+(2'-3)+...+[2-(2n-l)]=(2°+2+...+2")-(H-3+...+2n-l))干(“2；T)?叱牙十隹

8.(2022屆河北秦皇島青龍8月測(cè)試,1屆已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S..,且滿足S,=2a.-1(n￡N*).

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(1)求數(shù)列瓜｝的通項(xiàng)公式an及Sn；

(2)若數(shù)列｛bj滿足b產(chǎn)S?-15|,求數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和T”.

解析⑴當(dāng)n=l時(shí),Si=2a-1,即a)=l,

由Sn=2a,-1得SI1.i=2a,H-1,兩式相減得a?,1=2aIl+-2a?,即an,1=2a,l,即數(shù)列｛aj是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則a產(chǎn)2'、則

⑵由⑴知片12T6|,則吐卷二;:鼠［)'記⑵-⑹的前n項(xiàng)和為人,則A產(chǎn)(2”+…

+2°)-16n-2.)一[6n=2”'T6n-2.

1-2

貝！J當(dāng)lWnW4時(shí),T?=-A?=16n-2n，'+2.

當(dāng)n>4時(shí),當(dāng)(16-2')+(16-22)+...+(16-2')+(26-16)+(2"-16)+...+(2--16)=-4+人「4=人"-2Al=2-T6n+66,則

(16n-2n+1+2(1<n<4),

“一(2"+i-16n+66(n>4).

9.(2021浙江“山水聯(lián)盟"開(kāi)學(xué)考)已知數(shù)列｛aJ滿足:an,皿=±;數(shù)列｛b.｝是等比數(shù)列，并滿足片2,且bT,b“b「l成等

ann+l

差數(shù)列.

(1)求數(shù)列?｝,｛b,J的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列ib..i的前n項(xiàng)和是S”數(shù)列｛c.｝滿足CF—噢+：,求證：Cl+C2+...+C<^.

。計(jì)?2(5九+2)n2

解析⑴由于apl,na”=(n+l)a“.i,所以｛na#是常數(shù)歹!),所以na=l?ai=l,故a,=-.

tln

設(shè)(bn)的公比是q,由已知得2bt=(b「l)+出廠1),所以4q-2q',所以q=2,故設(shè)20.

⑵證明:由⑴得s產(chǎn)2(：一個(gè))=2"'-2,

1—Z

|7|||二ana-n+l=九+2

Qn+2(Sn+2)n(n+l)-2n+1

_1_______]

—Q-S+D”]，

nil111111?1X1111

則C'+C2+???+c/近肯+雙落膏+..J育同A，所以c,+c2+...+c?=--(n+i)2?+1<-.

10.(2020天津，19,15分)已知瓜｝為等第5列，瓜｝為等比數(shù)列,由=5=1,或=5(a1-a3),bs=4(b「b3).

⑴求｛a,｝和｛bj的通項(xiàng)公式;

⑵記｛a.｝的前n項(xiàng)和為S..,求證:S.驅(qū)璃+i(nCN*);

(3a”-2"“，n為奇數(shù),

(3)對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)c,尸內(nèi)1即+2求數(shù)列匕卜的前2n項(xiàng)和.

然,n為偶數(shù)

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解析⑴設(shè)等差數(shù)列!aj的公差為d,等比數(shù)列瓜｝的公比為q.由a尸1,a5=5(a.-a3)，可得d=l,從而｛&J的通項(xiàng)公式為a?=n.由

2nl

bi=l,b5=4(b-b3),又qWO,可得q~4q+4=0,解得q=2,從而｛b?｝的通項(xiàng)公式為bn=2.

⑵證明:由⑴可得S產(chǎn)寫2故SSF;Mn+l)?(n+2)(n+3),S33(n+DTn+Z)；從而S.SxS常=[(n+l)(n+2)〈0,所以

S“S”2〈S'

*即一2)%?-2""—[—2"]2“一]而為偶數(shù)時(shí)甘煞=*

(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),c?=-

dnOn+2n(n+2)n+2n

(22k22k~2\22n如二32fc-l1352n-l^

對(duì)任意的正整數(shù)n,有fC2尸E(礪-g)方h和評(píng)/ih喬中

k=lk=l

1n1327i—32n-l

由①得研審…②

1-

,"1222n-l4kPfJ12n-l.,"56n+5m"4n6n+54

由①-②得%/產(chǎn)=了下+...14“4“I=下=一“不打，從而得Ec*=鼠藪產(chǎn)因此,產(chǎn)=2n+l9X4"W

4n6n+54

所以,數(shù)列的前2n項(xiàng)和為

Xg,g.

Z/liJ.7XT7

考點(diǎn)二數(shù)列的綜合

1.(2020福建泉州線上測(cè)試)已知｛aj是公差為3的等差數(shù)列.若即用a.成等比數(shù)列，則｛aj的前10項(xiàng)和&。=()

A.165B.138C.60D.30

答案A

2.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤,如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想:F“=22”+l(n=0,1,2,…)是質(zhì)數(shù).直1732年才被

善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出I-5=641X6700417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)a?=log2(F-l),n=l,2,....S,表示數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和.則使不

等式//+...+~一〈心成立的最小正整數(shù)n的值是()

A.11B.10C.9D.8

答案C

4

3.(2022屆浙江"山水聯(lián)盟”開(kāi)學(xué)考,20)已知數(shù)列(a,J的前n項(xiàng)和為S”2sli=(2n+Da“-2n"nWN),數(shù)列｛b.｝滿足E=a"nbxah.

⑴求數(shù)列區(qū))和｛bj的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列ic“滿足:5=4,c”產(chǎn)c,「詈(neN)若不等式入，嚅》c“(neM)恒成立,求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

如2

解析⑴當(dāng)n=l時(shí),2ai=3a-2,.0.ai=2.

22

當(dāng)n22時(shí),由(2：+D72n得2^_(2n4-i)an-(2n-l)a?-i-2n+2(n-1),即a/a-i=2,

(2S『i=(2n-1)QL1-2(n-I)2

..數(shù)列｛aj是公差為2的等差數(shù)列，

==

.,3.I2,.*.an2n.

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由條件得b,=2,nb...=2nb?,.-.b?.,=2b?,即數(shù)列｛b?｝是公比為2的等比數(shù)列,.?.b“=2”.

(2)由⑴得■新號(hào),設(shè)數(shù)列尚的前n項(xiàng)和為L(zhǎng),貝!|T.=l+|+玄*+...+泰,

1123n-1n

??科T/+/+…/r+產(chǎn)

1111九_(tái)1一9九_(tái)、n+2

加王呼…刃寸中=2T

F=4-肖由c*cW得am吟,所以…一尸票,,C2-CF-^,累力口得cn-Ci=-Tn-i,即(%-4=一4+苔3，二。二蘆3，「?入2

n+13n+9、仔

―^2--7-二萬(wàn)r對(duì)任意n￡N怛成L,

n—4n—5——n+6

令f(n)=可貝!|f(n+l)-f(n)二n=nT，

2n+l27

/.f(l)<f⑵<...<f(6)=f(7),f(7)>f(8)>...,

.'-f(n)Mf(6)=f⑺=三,.,入2,

6464

故人的取值范圍是底，+8)

4(2022屆校際聯(lián)合考試)我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝,在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中,用如圖的三角形解釋二項(xiàng)

和的乘方規(guī)律，此圖稱為"楊輝三角”.在此圖中，從第三行開(kāi)始，首尾兩數(shù)為1,其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和.

⑴把“楊輝三角"中第三斜列的各數(shù)取出,按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：1,3,6,10,15，…,寫出a,與a“T(neN[n>2)的遞推關(guān)

系，并求出數(shù)列｛aJ的通項(xiàng)公式；

⑵已知數(shù)列d｝滿足b,+Lgb：,+../b.=2a.(neM),設(shè)數(shù)列｛cJ滿足c產(chǎn)普匕數(shù)列｛c』的前n項(xiàng)和為L(zhǎng),若T“<J■入(neW)

23nbnbn+in+1

恒成立,試求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

解析⑴由題意可知ai=l,n22時(shí),a..-an-i=n,

/、/、/、/八.n(n+l)n(n+l)

——-

以an—(怎-an-l)+(cln-l3n-2)+???+(32Hl)+a|—fl+(fl1)+...+2+1=~Hn=-?

(2)數(shù)歹(]｛bj滿足匕臼)43+..一片/+上①

LDn

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當(dāng)n>2時(shí),b亭亭+…3b-n-D,②

①-②得;b“=2n,故b0=2n“n>2)，又n=l時(shí)亦成立,所以b?=2n2(nGN,).

數(shù)列履滿足c產(chǎn)仍苧既+-1=4n21(n++l%)z=；[4-=(n+l)z?J]，

則Tq1J-/1+/1-71+…+商1一為1球Irlf[1-麗1斗1由,邛石n人、(，neN__)恒__成__乂

*1-房整理得人〉黑，因?yàn)檠竟?1+與在曲.上單調(diào)遞減，故當(dāng)n=i時(shí),(需)W，即尾，所

5.(2022屆長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考，18)已知數(shù)列⑸｝滿足a.「2a產(chǎn)0,aa=8.

⑴求數(shù)列瓜;的通項(xiàng)公式；

T)

(2)設(shè)b?=-,數(shù)列]｛b,.｝的前n項(xiàng)和為T...若2T,.>m-2021對(duì)nWN'恒成立,求正整數(shù)m的最大值.

an

解析⑴由2a,=0得a”,=2即則瓜｝是以2為公比的等比數(shù)列，

又@3=8,即4a尸8,解得a1=2,所以an-21.

⑵由⑴可信b?=—=^H,則0=537宗+…+酒/，=/左次+…+歷T'兩式相減可信尹，=5+/+/+…+產(chǎn)?產(chǎn)T=-^f--西T，

化簡(jiǎn)可得T“=2昔(ndN*),因?yàn)門“「T.=2黃-2+甯=霜>0,所以｛TJ逐項(xiàng)遞增,T,最小,為今所以2xl>ra-2021,解得m<2

022,又mGN,所以m的最大值為2021.

6.(2021南京三模，18)已知等差數(shù)列｛aj滿足:a,+3,a*a,成等差數(shù)列,且a?a%a.成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵在任意相鄰兩項(xiàng)小與為“(k=1,2,...)之間插入牙個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成f新的數(shù)列0｝,記S0為數(shù)列｛b?)的前n項(xiàng)

和,求滿足SX500的n的最大值.

解析⑴設(shè)等差數(shù)列fa..｝的公差為d,

由題意知ai+3+a4=2a3,

即2a1+3+3d=2ai+4d,解得d=3,

又a1alFQ,，即&?(a】+7x3)=(a+2x3)2,

解得小=4,故an=3n+l.

⑵因?yàn)閎?>0,所以⑸｝是單調(diào)遞增數(shù)列,又因?yàn)閍~前的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為卜+2醫(yī)2+...+2』+2s2,

/\CG-c3ck、k(4+3k+l)c2(1-293k2+5k八皿,

,3k2

所以kS+2k+i-2=(a3+a2+...+ak)+2(2+2-+2+...+2)---------+2x一二一'----2k-4.

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當(dāng)k=6時(shí),Sw=321<500;當(dāng)k=7時(shí),S2M=599>500,

令Sw+ar+2(nT33)<500,即321+22+2(n-133)<500,

解得n<211.5,所以滿足SX500的n的最大值為211.

7.(2020遼寧葫蘆島興城高中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2,過(guò)點(diǎn)C,(1,0)作x軸的垂線1"交函數(shù)f(x)的圖象于點(diǎn)飛,以A.為切點(diǎn)作函

數(shù)f(x)圖象的切線交x軸于點(diǎn)G,再過(guò)G作x軸的垂線L,交函數(shù)f(x)的圖象于點(diǎn)由，……,以此類推得點(diǎn)A.?記A.的橫坐標(biāo)為

a,?nGN,.

⑴證明數(shù)列瓜｝為等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)直線I.與函數(shù)g(x)=logix的圖象相交于點(diǎn)B,?記b?=d7n?OBn(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求數(shù)列限｝的前n項(xiàng)和S?.

2

解析(1)以點(diǎn)Am(a.7,雇_p(n22)為切點(diǎn)的切線方程為廠屋_1=2@口(X-&Q.

當(dāng)y=0時(shí)，x=1atl-i,即

又.an,..數(shù)列圓｝是以1為首項(xiàng),g為公比的等比數(shù)列,?.&二(；)’1.

⑵由題意，得,n—1),

3甌甌?，(曠.6D”(曠，

?'s"=ixG)+2XG)+-+nxG),

精lx(J+2x(J+...+nx()

兩嫡成，嗓小削土?+(—1_nxG)n=^^-nx(4)n,

化簡(jiǎn),得(得+即職乳溪?

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

A組

考法一錯(cuò)位相減法求和

1.(2022屆全國(guó)學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和為S”且滿足d,S?,a“成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列⑸;的通項(xiàng)公式；

(2)請(qǐng)從以下三個(gè)條件中任意選擇一個(gè),求數(shù)列匕｝的前n項(xiàng)和T,,.

條件①:設(shè)數(shù)列也｝滿足bn=(-l)"a?;

條件②:設(shè)數(shù)列｛b?｝滿足條2a-a”;

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條件③??設(shè)數(shù)列｛bJ滿足收I—,廠

Van+1+Van

解析⑴因?yàn)榇_Sn,an成等差數(shù)列，所以2s產(chǎn)嫌+a,”當(dāng)n22時(shí),2Sn-1=a^_1+an-；,兩式作差化簡(jiǎn),得(an+aQ?(a「arT)=0.

因?yàn)樵摂?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,所以為+-W0,

———

所以a.n3n-i1-0,即anan-i—1,

所以數(shù)列瓜｝是公差為1的等差數(shù)列，

又當(dāng)n=l時(shí),2akQ：+a,解得aj=l,

所以a產(chǎn)n(n￡N)

n

(2)選擇條件①:數(shù)列｛bj滿足b產(chǎn)(-l)an=(-1)h

所以L=-l+2-3+4-5+6-...+(-l)"n,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),T?=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+...+[-(n-1)+n]=^x1=2；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),T”=(T+2)+(-3+4)+(-5+6)+...+[-(n-2)+(nT)]-n=E—xl-n=-g2

'9，n為偶數(shù)

所以叫？

-手，n為奇數(shù).

V.乙

選擇條件②:數(shù)列｛bj滿足b?=2°??&=n?2",

RrltT?=lx2'+2x22+...+n?2",①

2T?=lx22+2x23+...+n?2"”,②

?-@(S-T?=2+22+23+...+2n-n?2n,l=2^-^)n?2"*'=(l-n)?2"”-2,

1—2

則T.=(n-D?2"*'+2.

選擇條件③:數(shù)列｛b,｝滿足b“=^_+1-石,則T?=(V2-1)+(V3-V2)+...+(Vn+1-Vn)7n+IT.

2.(2022屆山東德州夏津一中入學(xué)考試)設(shè)數(shù)列｛aJ是等差數(shù)列，數(shù)列｛bj是公比大于0的等比數(shù)列，已知

ai=l,bi=3,b2=3&3,b3=12a2+3.

(1)求數(shù)列和數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列滿足c.=￡'n~\,求數(shù)列｛aq｝的前n項(xiàng)和T?.

%_5,n>6,

(3q=3(1+2d),(d=1,

解析⑴設(shè)等差數(shù)列瓜｝的公差為d,等比數(shù)列瓜｝的公比為q(q>0),根據(jù)題意得J?Ac：,義解得&或

(3q=12(1+d)+3,=3

rd=—1

；(舍)，所以a?=l+(n-l)xl=,b?=3?3"'=3n.

(q=—1n

第8頁(yè)共22頁(yè)

⑵當(dāng)n<5時(shí),Cn=l,所以Tn刊+&+…+④-1+2+…+n=n*l).當(dāng)n26時(shí),g=b*3聯(lián):所以I=Ts+&b+a7b2+...+a?5+6x3'+7x32+...

+n?3再令M=6x3'7x32+...+n?3n'3,則3M=6x32+7x33+...+(n-l)-3n-5+n?3田,兩式相減得-2M=6x3'+(32+3

+3巧-n-n?37整理得?37所以T.苧竽-3叫

1-34444

(n(n+l)l

級(jí)印產(chǎn)'332n-l4

—+——?3n~4,n>6.

144

3.(2022屆山東泰安月則摸底考試)已知數(shù)列｛a“｝各項(xiàng)均為正數(shù)a,=l,｛確為等差數(shù)列,公差為2.

⑴求數(shù)列a：的通項(xiàng)公式.

⑵求$.=2憂+2同+2犍+...+2"4

解析(1),產(chǎn)1,.,曷=1,又；｛確為等差數(shù)歹！J,公差為2,...%=a；+(n-l)x2=2n-l,X-.-a?>0,；.a1T2n-1.

(2)S(1)WS?=lx2+3x22+5x23+...+(2n-l)?2",2S?=lx22+3x23+5x24+...+(2n-l)?2②

n，23nn

兩式相減得-S.=1X2+2X22+2X2，...+2?2"-(2n-l)-2?*'=2+2-2-(2n-l)?2"=-6-(2n-3)?2叱.6=6+(2n-3)-2".

9

4.(2021浙江,20,15分)已知數(shù)歹(J｛&.｝的前n項(xiàng)和為S“,ak7,且4S,“=3S「9(neN').

(1)求數(shù)列⑶：的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列h：,滿足3b?+(n-4)a,=0(neN'),記｛b,,｝的前n項(xiàng)和為T?,若丁占入也對(duì)任意neN?恒成立,求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

3

解析⑴解法一：由4S?.,=3S-9,得45?-9(》2),兩式相減,得4a“=3為,則a?,,=-a?(n>2).

11li4

又由4Sn口=3S「9,得4S2=3S-9,gp4(a,+a2)=3a-9,

9273

又ai=二,所以a=--,貝[Ja>=-a.i,

41624

所以數(shù)列｛a,J是以V9為首項(xiàng),93為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列(aj的通項(xiàng)公式為k.?。"工?g)?，.

解法二:由4smi=3Sn-9,得SnT=jSn；,則Sn，l+9=^Sn-^+9=^Sn+^=^(Sn+9),又S1+9二卷+9=gwo,所以數(shù)列｛Sn+9｝是以g為首項(xiàng),,為

44444444444

公比的等比數(shù)列，則SJ9寧?(曠=9'(J,所以S.=9?(I)%.

當(dāng)G2時(shí),a?=S-S.,=[9-g)"-91[9--可=-3?弓)：當(dāng)n=l時(shí),a產(chǎn)?也滿足上式,所以數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式為

k3.聯(lián)

⑵由⑴知a?=-3?弓)-由3b?+(n-4)a?=0,

gn-4/、/3

得bn=——an=(n-4)

第9頁(yè)共22頁(yè)

則T.=(-3)x%(-2)x(|)2+(T)x(J+0x(J+...+(n-5)e),(聯(lián)4噌),①

3

因此I=(-3)xg)\(-2)xg)+(-l)x(滬0x(滬..+65)(滬(鵬)(滬:②

由①-②,得

箝-3怖(滬(滬(滬--力(曠

所以T『-4nCy”.

由T.W入b”得-4噌)-W人(n-4)恒成立,即入(n-4)23n恒成立.

當(dāng)n<4時(shí),入W-3;,設(shè)f(n)=-^■=-3'i_三,當(dāng)n<4且n€N時(shí)f(n)*.=f⑴=1,所以入W1;

n-4n-4n-4

當(dāng)n=4時(shí),不等式恒成立；

當(dāng)n>4時(shí),入2-設(shè)f(n)=-?二-3+-^,當(dāng)n>4且nGN\n~+8時(shí)，f(n)-*-3,所以入2-3.

n—4n—4n-4

綜上所述,實(shí)數(shù)人的取值范圍是13.11.

5.（2021全國(guó)乙文,19,12分）設(shè)瓜｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列瓜:滿足b,=等.已知a?3a?9a成等差數(shù)列.

⑴求凡｝和｛bj的通項(xiàng)公式；

⑵記S,和T,分別為⑸｝和｛bj的前n項(xiàng)和.證明:T.今.

解析（D設(shè)等比數(shù)列⑸｝的公比為q.

,-,ai,3a2,9a3成等差數(shù)列,「.6a2二a1+9a3,

又?「｛aj是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,??.6ag=aj+9a4,

2

.'.9q-6q+l=0,解得qi=q2=1,

.?…（曠，

⑵證明:?.$為｛a?）的前n項(xiàng)和，

&*部-（捫

F為瓜｝的前n項(xiàng)和，

.■.T?=bi+b2+...+b?=lx+2x（9+…+'G），①

第10頁(yè)共22頁(yè)

扣1、(J+2x(護(hù)…'Gf.②

+1

①一②可得|T暫聯(lián)+(31n.(J+i=3°：)]0.g)"=-gn+I)(典,???辛-(1+I)(泥,

??.T..-=-1n?r.T有

6.(2020課標(biāo)TH理，17,12分)設(shè)數(shù)列｛晨滿足&=3,ae”=3a,-4n.

⑴計(jì)算a2>a3,猜想fa,)的通項(xiàng)公式并加以證明：

⑵求數(shù)列⑵闔的前n項(xiàng)和S”

解析(l)a2=5,as=7.

猜想su=2n+l.由已知可得

a,?-(2n+3)=3[a?-(2n+l)],

a?-(2n+l)=3[an-i-(2n-l)],

a?-5=3(ai-3).

因?yàn)閍i=3,所以a?=2n+l.

⑵由⑴得2a=(2n+D2",

所以S?=3x2+5x22+7x2s+...+(2n+D*2".①

從而2S?=3X22+5X23+7X24+...+(2n+l)x2n，1.②

①-②得-S“=3x2+2x22+2x23+...+2x2"-(2n+l)x2"1.

所以S?=(2n-l)2n*'+2.

7.（2017山東文,19,12分）已知｛a』是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且小+為=6,a?尸a”

（1）求數(shù)列⑸｝的通項(xiàng)公式;

⑵h｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為S..已知S*,產(chǎn)b.b..“求數(shù)列囿的前n項(xiàng)和T,,.

n

解析⑴設(shè)以｝的公比為q,由題意知ai（Hq）=6,Q2aq',又an>0,所以解得ap2,q=2,所以a?=2.

+

（2）由題意知S2n-0，+1）（1+—+1）_（2n+l）bn.i,又S?"產(chǎn)bb”，*70,所以bn=2n+l.令a二紅，貝Uc“二勺牡.因此Tn=ci+c2...

3572n-l2n+l3572n-l2n+l=—十口以3/111\2n+l

+C尸療2n’又打產(chǎn)/京三+…'2"，2計(jì)1’兩式相減將尹寶（5+/+…+尹）f，所CC1以M

2九+5

V5

8.（2017天津理,18,13分）已知E｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為SKnWW）,他｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于

+

0,b2b3=12,b;i=ai-2ai,Sii=llb<.

第11頁(yè)共22頁(yè)

⑴求瓜｝和｛b“｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列區(qū)11bMJ的前n項(xiàng)和(nC求).

解析⑴設(shè)等差數(shù)列｛a.｝的公差為d,等比數(shù)列｛b?｝的公比為q.由已知也+%=12,得b,(q+q2)=12,因?yàn)閎,=2,所以q,+q-6=0,解得

q=2或q=-3,又因?yàn)閝>0,所以q=2.所以,b”=2".由b^a-231,可得3d-a尸8①.由S“=llb+,可得a1+5d=16②，聯(lián)立①②,解得

ai=l,d=3,由此可得a?=3n-2.

所以,數(shù)列瓜)的通項(xiàng)公式為a?=3n-2,數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式為b“=2”.

(2)設(shè)數(shù)列｛aM｝的前n項(xiàng)和為T?,由a2?=6n-2,bze=2x4叫得a2?b2?-,=(3n-l)x4",

?fT?=2x4+5x42+8x43+...+(3n-l)x4",

4T?=2x4J+5x43+8x4'+...+(3n-4)x4"+(3n-1)x4n",

上述兩式相減，得

-3T?=2x4+3x42+3x43+...+3x4n-(3n-l)x4n'=-4-(3n-l)x4""=-(3n-2)x4n，1-8.

1—4

得T“=等x4”'g.

所以數(shù)列⑸』的前n項(xiàng)和為等x4""+!

9.(2018浙江,20,15分)已知等比數(shù)列l(wèi)aj的公比q>l,且a：,+a,+a,=28,a,+2是a”a、的等差中項(xiàng).數(shù)列限｝滿足h=l,數(shù)列

｛(b?.,-b?)?a.)的前n項(xiàng)和為2n2+n.

⑴求q的值；

(2)求數(shù)列ih：的通項(xiàng)公式.

解析⑴由a?+2是a：“@5的等差中項(xiàng)得a：；+a5=2ai+4,所以a+&+a5二3a+4二28,解得aF8.

由a3+a5=20得8(q+3)=20,解得q=2或

因?yàn)閝>l,所以q=2.

(2)設(shè)Cn=(bn「bn)3n,數(shù)歹(J｛c.,｝的前H項(xiàng)和為S?.

rSpn=1.,

由Cn=lCC”、解得Cn=4n-1.

_3n_］，nN/,

由⑴可知

所以bn「bn=(4nT)?(g),

故況一加尸(4n-5)?(5),n22,

/i\n-2/i\n-31

所以brbi=(比一*)+(弧-】一卜-2)+...+(13：］也)+他一131)二(411一5)?(5)+(4n-9)?(5)+...+7x,+3.

?T?=3+7xi+l1xg)2+...+(4n-5)?G)“二心2,

第12頁(yè)共22頁(yè)

則扣3+7x(護(hù)…+(4n-9)?(y+(40)?(曠,

所以扣3+吟4x(步“+4.(曠2?-5).(丁：

因此T“=14-(4n+3)?Q)'1；n》2,

又E=l,所以b。=15-(4n+3)?(；).

10.(2021浙江嘉興教學(xué)測(cè)試,20)已知數(shù)列［a.)的前n項(xiàng)和為S”S產(chǎn)2a『n,neN\

(1)求數(shù)列口：的通項(xiàng)公式；

⑵令b?=2na?,求數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和L.

解析(1)當(dāng)n=l時(shí),S尸ai=2aT,得小=1;

當(dāng)n》2時(shí),由S?=2a?-n,得S,vi=2a?r(n-l),兩式相減得a?=2a?4+l,變形得a?+l=2(a?,+1),

二數(shù)列瓜+1｝是等比數(shù)列,且公比為2.又；ai+l=2,.?.a.+l=2",.?.a“=2"T.

(2)bn=2na?=2n(2"-l)=n,2"*'-2n,

3234,

于是L=b1+b2+...+bll=(1x2J2)+(2x2-4)+...+(nx2"*'-2n)=(lx2+2x2+...+nx2")-2(l+2+...+n),

令A(yù)EX22+2x2"...+n?2n",即T產(chǎn)A「n(n+1).

A?=lx22+2x2:i+...+(n-l)?2"+n?2?①

2A?=lx23+2x2'+...+(n-l)?2"'+n?2"您,②

①-②得-4=2423+...+2""-11?"2"=-4+2""-n"2'"2=-(n-l)?2n，2-4,

1—2

.■.A?=(n-1)?2m?+4,

,?.T?=(n-1)?2"<2+4-n2-n.

考法二裂項(xiàng)相消法求和

1.(2020長(zhǎng)沙明德中學(xué)3月月考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列⑸｝中，若a產(chǎn)2,且a.=64,則數(shù)列~需一百)的前n項(xiàng)和

是()

11

A.1-^TTj—B.1——-

2"+-2n+l

答案A

2（多選）（2021遼寧百校聯(lián)盟質(zhì)檢,10）已知數(shù)列fa,,｝滿足a2=4,n（n-1）a”產(chǎn)（n-Da-na,-,（n>l且nWN）,數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為

權(quán),則（）

A.aj+a3=2

第13頁(yè)共22頁(yè)

B.ai+a3=4

C.2O2OS20211a2020=8080

D.2021Sz02i~d2O2O=4040

答案AC

n1

3.(2017課標(biāo)n,15,5分)等差數(shù)列底｝的前。項(xiàng)和為機(jī)人=36=10,則￡—=

k=lSk

小心2n

答案~77

n+1

1「11

4.(2020浙江麗水四校聯(lián)考,14)已知數(shù)列瓜｝滿足:a3,“用［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則1+—-+…+

2n1。1+1TQ2+I

—的值等于

0-2012+1」

答案1

5.(2022屆河北邢臺(tái)入學(xué)考試)在①23+%=18,②(a-,)的前n項(xiàng)和S?=n'+pn,③a,+a,=a；這三個(gè)條件中任選f,補(bǔ)充在下面的問(wèn)題

中并解答.

問(wèn)題:在等差數(shù)列⑶｝中,ak2,且.

(1)求數(shù)列⑶：的通項(xiàng)公式；

⑵若求數(shù)列ibj的前n項(xiàng)和T?.

-他+1

注:若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析(D選①.

設(shè)｛4｝的公差為d.

由題意可得ai+2d+ai+5d=2a)+7d=18.

因?yàn)閍i=2,所以d=2,

則an=ai+(n-l)d=2n.

選②.

設(shè)E｝的公差為d.

因?yàn)镾n=n?+pn,所以S?1=(n-1)2+p(n-1)=n2+pn-2n-p+1(n2),

兩式相減得a產(chǎn)2n+p-l(n》2),

又因?yàn)閍尸S尸p+1滿足上式，所以an=2n+pT(n￡N*).由a尸2得p+l=2,所以p=l,所以an=2n.

選③.

設(shè)⑸｝的公差為d.

因?yàn)閍n+aFa?,所以ai+2d+a+3d=a1+6d,即ai=d.

第14頁(yè)共22頁(yè)

因?yàn)閍i=2,所以d=2,

所以&二由+(n-l)d=2n.

⑵由⑴可得de=2(n+1),

則吃京+爐差一擊)

故M[(1-3+O“+(A擊)后0-磊)

6.(2022屆河北唐山玉田一中開(kāi)學(xué)考試)在①夕=49,②Ss=a.+10,③S,=&+28這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并完成

解答.

問(wèn)題:已知等差數(shù)列(a?)的前n項(xiàng)和為S”a$=9,________，若數(shù)列1*滿足b產(chǎn)」一,證明:數(shù)列tb?)的前n項(xiàng)和T?<1.

anan+l2

注:若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

7x(7—1)

｛Ad="O'解得｛；二1‘所以④=2nT.

b===

又因?yàn)閍nan+1(2n-l)(2n+l)2Qn-l-2n+)

+

所以T,1=bi+b2+b3...+bn

所以可("焉居.

選擇②.設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,由S5=as+10,可得4ai+3d=10,又as=ai+4d=9,聯(lián)立解得d=2,ai=l,所以a?=2n-l.下面同選擇①.

選擇③.設(shè)數(shù)列｛a,｝的公差為d,由Ss-S6=28,可得aT+aK=2a5+5d=28,又因?yàn)閍,=9,所以d=2,所以a尸a「4d=9-4x2=l,所以4=2nT.

下面同選擇①.

7.(2022屆湖北黃岡調(diào)研,19)已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,2S?=(n+l)a?,且a,>l,a「l,a,-2,a,成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列區(qū);的通項(xiàng)公式；

44

(2)設(shè)收------+2-%,數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為T,,求證:

anan+l3

-

解析(l),/2Sn=(n+l)an,+：)?",當(dāng)n22時(shí),an=Sn-Sn-i=W^?ao^?an-i,化簡(jiǎn)得即&&號(hào)■二…二，,「.a產(chǎn)na【,又

222nn—1nn—11

2

azT,a「2,a?成等比數(shù)列，了.(ar)-a6=(a,-2),BP(2a)-1)?6a尸(4a「2)；解得為二2或a二；.又aDl,「.aN,「.a產(chǎn)2n(nWN").

第15頁(yè)共22頁(yè)

⑵證明:由⑴可得"就產(chǎn)限導(dǎo)轉(zhuǎn)+23扁+（J,；.T"b計(jì)…+b“=［。4+我（段）+G）l

肥-言）+G）｝（i-卜瀉+…+；言）+，+（『..?+（?"-=i扁+」；？'等品聯(lián);即.??

14

嗎

8.（2021廣東深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第一次月考）設(shè)數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為S?,VmGN*,都有5a=T,且&+S『5.

（1）求數(shù)列出「的通項(xiàng)公式；

⑵求證:」一+二一...+——<1.

ai?2a2a3anan+i

解析⑴?NmCN‘，都有13?1——1,

」.｛a』是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則d=T.

由az+SWaMd=-5,解得5二-1,

所以a,.=-l-（n-l）=-n.

（2）證明:由a?=-n,得—--二（二'一-二，

0n+1n（n+l）nn+1

所以—^卜…+^—=（1-/（J-—占）士-^〈L

Q2a3anan+l、2/\237\nn+l/n+1

9.（2021湖北八市3月聯(lián)考,⑻已知數(shù)列瓜｝,其前n項(xiàng)和為Sn,請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中補(bǔ)充一個(gè)在下面問(wèn)題中，使得最終結(jié)論成

立并證明你的結(jié)論.

條件①:S-a"+l（i為常數(shù)）；

條件②:an=bnbnn,其中數(shù)列｛bn｝滿足bi=l,（n+1）b”.尸nb”;

條件③:3%=3a：+i+an“+an.

數(shù)列瓜｝中,a：是（薔+展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，且.

求證:Sn<1對(duì)任意nwN?恒成立.

注:如果選擇多個(gè)條件作答，則按第一個(gè)條件的解答計(jì)分.

解析（篇+1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T,“=C%?（薔）（步/令12-3r=0,得r=4,得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為即

若選擇①:在Su=a+