八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究診斷（上冊(cè)）

第十一章全等三角形

測(cè)試1全等三角形的概念和性質(zhì)

學(xué)習(xí)要求

1.理解全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念；能準(zhǔn)確辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素.

2.掌握全等三角形的性質(zhì)；會(huì)利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算，解決某

些實(shí)際問(wèn)題.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.的兩個(gè)圖形叫做全等形.

2.把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；叫做對(duì)應(yīng)邊；叫做對(duì)應(yīng)角.記

兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示的字母寫(xiě)在_上.

3.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角,這是全等三角形的重要性質(zhì).

4.如果AABC絲AOEF,則A8的對(duì)應(yīng)邊是,AC的對(duì)應(yīng)邊是,/C的對(duì)應(yīng)角是

,NOEF的對(duì)應(yīng)角是.

圖1一1

5.如圖1—1所示，AABC絲ADCB.(1)若/0=74°N。8c=38°,則/4=,Z

ABC=

(2)如果AC=Z)B,請(qǐng)指出其他的對(duì)應(yīng)邊；

(3)如果AAOB冬小。。。，請(qǐng)指出所有的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角.

圖1一3

6.如圖1一2,已知△ABE絲△￡>(?￡：,AE=2cm,BE=1.5cm,N4=25°,ZB=48°；那

么DE=cm,EC=_cm,ZC=°；ZD=°.

7.一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，變化了，但都沒(méi)有改變，即平移、

翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形

二、選擇題

8.已知：如圖1-3,XABD/CDB,若AB〃CQ,則AB的對(duì)應(yīng)邊是()

A.DBB.BCC.CDD.AD

9.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()

①全等三角形的周長(zhǎng)相等②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

③全等三角形的面積相等④面積相等的兩個(gè)三角形全等

A.4B.3C.2D.1

10.如圖1一4,/\ABC^/\BAD,A和8、C和￡）是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),如果AB=5,BD=6,AD

=4,那么BC等于（）

11.如圖1-5,若/A8C和/AEF■是對(duì)應(yīng)角，則/E4c等于()

A.ZACBB.ZCAFC.NBAFD.NBAC

12.如圖1-6,/XABC^^ADE,若NB=8(T,ZC=30°,/ft4c=35°,則NE4C的

度數(shù)為()

A.40°B.35°C.30°D.25°

三、解答題

13.已知：如圖1—7所示，以8為中心,將RtAEBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△48。,

若NE=35°,求NAQB的度數(shù).

圖1一8

圖1一9

綜合、運(yùn)用、診斷

一、填空題

14.如圖1-8,△48E和△4OC是△48C分別沿著A8,AC翻折180°形成的若/I:Z2:

N3=28：5：3,則N。的度數(shù)為.

15.已知：如圖1一9,△ABCgADEF,ZA=85°,ZB=60°,AB=8,EH=2.

(1)求NF的度數(shù)與?！钡拈L(zhǎng)；

(2)求證：AB//DE.

拓展、探究、思考

16.如圖1-10,AB1.BC,AABEW'ECD.判斷4E與力E的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

測(cè)試2三角形全等的條件（一）

學(xué)習(xí)要求

1.理解和掌握全等三角形判定方法1一—“邊邊邊”，

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.判斷的叫做證明三角形全等.

2.全等三角形判定方法1一一“邊邊邊"（即）指的是

3.由全等三角形判定方法1一一“邊邊邊”可以得出：當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)度一定時(shí)，這個(gè)

三角形的__也就確定了.

圖2—2

cD

E

圖2-3

4.已知：如圖2—1,△RP。中，RP=RQ,M為PQ的中點(diǎn).

求證：RM平分/PR。.

分析：要證RM平分/PKQ,即,

只要證絲

證明：：M為PQ的中點(diǎn)（已知），

??-_

在4_____和4_____中，

RP=R。（已知），

<PM=,

=（）,

烏().

ZPRM=().

即RM.

5.已知：如圖2—2,AB=DE,AC=DF,BE=CF.

求證：AA—ZD.

分析：要證NA=N。，只要證2.

證明：'：BE=CF(),

：.BC=.

在△ABC和△OEF中，

AB=,

<BC=,

AC=,

也().

ZA—ZD().

6.如圖2-3,CE=DE,EA=EB,CA=DB,

求證：△AB8XBAO.

證明：?:CE=DE,EA=EB,

?*.+—+,

即=.

在△ABC和△BAZ)中，

=(已知)，

'=(已知)，

<=(已證)，

=(),

.,.△ABC絲△BAD().

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

7.已知：如圖2—4,AD=BC.AC=BD.試證明：NCAD=NDBC.

圖2—4

8.畫(huà)一畫(huà).

己知：如圖2-5,線段6、c.

求作：AABC,使得BC=a,AC=h,AB=c.

圖2—5

9.”三月三，放風(fēng)箏”.圖2—6是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)OE=￡＞凡EH=FH,不用度量,

就知道請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明.

圖2—6

拓展、探究、思考

10.畫(huà)一畫(huà)，想一想：

利用圓規(guī)和直尺可以作一個(gè)角等于已知角，你能說(shuō)明其作法的理論依據(jù)嗎？

測(cè)試3三角形全等的條件（二）

學(xué)習(xí)要求

1.理解和掌握全等三角形判定方法2一—“邊角邊”.

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等

圖3-2

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.全等三角形判定方法2——“邊角邊”（即____）指的是一

2.已知：如圖3—1,AB,C￡>相交于。點(diǎn)，AO=CO,OD=OB.

求證：ZD=ZB.

分析：要證只要證g

證明：在△AO。與△COB中，

AAOD^A______().

，ZD=ZB().

3.己知：如圖3—2,AB//CD,AB=CD.求證：AD//BC.

分析：要證AO〃8C,只要證N__=/______,

又需證絲______.

證明：AB//CD(),

Z______-Z(),

在4和4中，

=(),

<=(),

=(),

A△().

Z______=Z______().

______//().

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

4.已知I：如圖3—3,AB=AC,ZBAD=ZCAD.

求證：ZB—ZC.

圖3—3

5.已知:如圖3—4,AB=AC,BE=CD.

求證:NB=/C.

6.已知：如圖3—5,AB=AD,AC=AE,Z1=Z2.

求證：BC=DE.

圖3—5

拓展、探究、思考

7.如圖3—6,將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、。三點(diǎn)共線，AB=CB,

EB=DB,NABC=NEBD=90°）,連接AE、CD,試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

測(cè)試4三角形全等的條件（三）

學(xué)習(xí)要求

1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角邊角”，判定方法4——“角角邊”；能運(yùn)

用它們判定兩個(gè)三角形全等.

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.（1）全等三角形判定方法3一—“角邊角”（即____）指的是

（2）全等三角形判定方法4一一“角角邊”（即）指的是

圖4—1

2.已知：如圖4一1,PM=PN,NM=ZN.求證：AM=BN.

分析：?.,PM=PN,二要證AM=BN,只要證用=—

只要證絲.

證明：在^______與4______中，

2______=Z_______(),

<=(),

N=/(),

().

.'.PA=().

,:PM=PN(),

：.PM~__=PN-_即AM=

3.已知：如圖4-2,ACJLBD.求證：OA=OB,OC=OD.

分析：要證。4=08,OC^OD,只要證好.

證明：?/AC//BD,：.ZC=.

在△_____與△中，

ZAOC=Z),

NC=____),

-=(),

0().

二、選擇題

4.能確定aABC絲△QEF的條件是（）

A.AB=DE,BC=EF,NA=NE

B.AB=DE,BC=EF,NC=NE

C./4=/E,AB=EF,NB=ND

D.ZA=ZD,AB=DE,NB=NE

5.如圖4一3,已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中，和△ABC全等的

圖形是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

6.A。是△A8C的角平分線，作。于E,DF1ACF,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.ZADE=ZADF

三、解答題

7.閱讀下題及一位同學(xué)的解答過(guò)程：如圖4-4,A8和。）相交于點(diǎn)。，且。4=。8,ZA

=NC.那么△A。。與△COB全等嗎?若全等，試寫(xiě)出證明過(guò)程；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

答：AAOD^ACOB.

證明：在△AO。和△COB中，

A

/

B

D

圖414

'/A=NC（已知），

<0A=08（已知），

ZAOD=NCOB（對(duì)頂角相簿,

，/\AOD^/\COB(ASA).

問(wèn)：這位同學(xué)的回答及證明過(guò)程正確嗎？為什么？

綜合、應(yīng)用、診斷

8.已知：如圖4-5,AB±AE,ADVAC,NE=NB,DE=CB.

求證：AD—AC.

圖4—5

9.已知：如圖4-6,在△MPN中，”是高M(jìn)。和NR的交點(diǎn)，且MQ=NQ.

求證：HN=PM.

圖416

10.已知：AM是△A8c的一條中線，B￡_LAM的延長(zhǎng)線于E,CFVAMTF,BC=10,BE

=4.求8M、CF的長(zhǎng).

拓展、探究、思考

11.填空題

(1)已知：如圖4-7,AB=AC,BOLAC于。，CE_LAB于E.欲證明BO=CE,需證

明小9X,理由為.

(2)已知：如圖4S,AE=DF,乙4=/。，欲證凡需要添加條件,

證明全等的理由是；或添加條件,證明全等的理由是;也可以

添加條件，證明全等的理由是

A

EF

圖4-7圖4一8

12.如圖4-9,已知△ABC四△ABC,AD,A77分別是AA8C和AA'8'C的角平分線.

(1)請(qǐng)證明AD=A'D'-,

(2)把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)；

(3)你還能得出其他類似的結(jié)論嗎？

圖4-9

13.如圖4-10,在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,直線/經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C,過(guò)A、B兩點(diǎn)

分別作/的垂線AE、BF,E、尸為垂足.

(1)當(dāng)直線/不與底邊AB相交時(shí)，求證：EF=AE+BF.

圖4一10

(2)如圖4—11,將直線/繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使/與底邊A8交于點(diǎn)。，請(qǐng)你探究直

線/在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系.

?AD>BD；②AD=BD；?AD<BD.

4?（￡）

圖4一11

測(cè)試5直角三角形全等的條件

學(xué)習(xí)要求

掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法一“斜邊、直角邊"（即“HL”），能熟練地

用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定兩個(gè)直角三角形全等.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.判定兩直角三角形全等的“HL”這種特殊方法指的是.

2.直角三角形全等的判定方法有（用簡(jiǎn)寫(xiě)）.

3.如圖5—1,E、B、F、C在同一條直線上，若NQ=/A=90°,EB=FC,AB=DF.則

△ABC空,全等的根據(jù)是.

圖5-1

4.判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫(huà)“X”，全等的注明理由:

（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（）

（2）一個(gè)銳角和這個(gè)角的鄰邊對(duì)應(yīng)相等；（）

（3）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等;

（4）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；

（5）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等.（）

二、選擇題

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

B.斜邊相等的兩個(gè)直角三角形全等

C.斜邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等

D.一邊長(zhǎng)相等的兩等腰直角三角形全等

6.如圖5—2,AB=4C,ADA.8C于。，E、尸為AO上的點(diǎn)，則圖中共有（）對(duì)全等

三角形.

A.3B.4C.5D.6

A

三、解答題

上

7.已知：如圖5-3,AB±BDfCDBD,AD=BC.

求證：(1)AB=DC：

(2)AD//BC.

8.已知：如圖5—4,AC=BDfAD±AC,BC.LBD.

求證：AD=BC；

綜合、運(yùn)用、診斷

9.已知：如圖5—5,AEVAB,BCLAB,AE=A8,ED=AC.

求證：ED1.AC.

圖5-5

10.已知：如圖5-6,DE±AC,BFVAC,AD=BC,DE=BF.

求證：AB//DC.

圖5—6

11.用三角板可按下面方法畫(huà)角平分線：在已知NAOB的兩邊上，分別取OM=ON（如圖

5-7）,再分別過(guò)點(diǎn)M、N作04、0B的垂線，交點(diǎn)為P,畫(huà)射線0P,則0P平分NA0B,

請(qǐng)你說(shuō)出其中的道理.

圖5-7

拓展、探究、思考

12.下列說(shuō)法中，正確的畫(huà)“J”；錯(cuò)誤的畫(huà)“X”，并作圖舉出反例.

（1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（）

（2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（）

（3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（）

13.（1）己知：如圖5—8,線段AC、BD交于0,NA08為鈍角，AB=CD,BF1ACTF,

DE±ACTE,AE=CF.

求證：BO=DO.

（2）若/AOB為銳角，其他條件不變，請(qǐng)畫(huà)出圖形并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成

立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

測(cè)試6三角形全等的條件（四）

學(xué)習(xí)要求

能熟練運(yùn)用三角形全等的判定方法進(jìn)行推理并解決某些問(wèn)題.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.兩個(gè)三角形全等的判定依據(jù)除定義外，還有①;②;③;④;⑤

2.如圖6—1,要判定AA8C經(jīng)AAOE,除去公共角NA外，在下列橫線上寫(xiě)出還需要的兩

個(gè)條件，并在括號(hào)內(nèi)寫(xiě)出由這些條件直接判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù).

(1)NB=ND,AB=AD(

(2),();

(3),();

(4),();

(5),();

(6),();

(7),().

圖6—1

3.如圖6—2,已知AB_LC/，DE1CF,垂足分別為8,E,AB=DE.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條

件，使AABC絲AQEF,并說(shuō)明理由

添加條件：,

理由是：.

4.在AA8C和AOEF中，若/8=NE=90°,NA=34°,ND=56°,AC=DF,貝△

ABC和AQEF是否全等？答：,理由是.

二、選擇題

5.下列命題中正確的有（）個(gè)

①三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

②三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

③有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

④等底等高的兩個(gè)三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

6.如圖6—3,AB=CD,AD=CB,AC、BQ交于0,圖中有（）對(duì)全等三角形.

A.2B.3C.4D.5

A「D

圖6—3

7.如圖6—4,若A8=C￡>,DE=AF,CF=BE,ZAFB=S0°,ZD=60°,則N8的度數(shù)

是()

A.80°B.60°C.40°D.20°

8.如圖6—5,ZVIBC中，若N3=NC,BD=CE,CD=BF,!0ljZEDF=()

A.90°-NAB.900--ZA

2

C.180°-2/AD.45。-」NA

2

圖6—5

9.下列各組條件中，可保證△ABC與△AHC全等的是()

A.NA=NA',NB=NB\ZC=ZC

B.AB=A,B\AC=A'C,ZB=ZB'

C.AB=CB\NA=N8,ZC=ZC

,

D.CB=A'B\AC=A'CfBA=BC

10.如圖6—6,已知MB=NO,NMA4=NNOC,下列條件不能判定△ABMg/XCDN的是

()

A.4M=/NB.AB=CDC.AM=CND.AM//CN

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

11.已知：如圖6—7,AD=AE,AB=ACfZDAE=ZBAC.

求證：BD=CE.

圖6-7

12.已知：如圖6—8,AC與3。交于。點(diǎn)，AB//DC,AB=DC.

(1)求證：AC與8?；ハ嗥椒?；

DF'C

EB

圖6-8

(2)若過(guò)。點(diǎn)作直線/,分別交AB、DC于E、F兩點(diǎn),

求證：OE=OF.

13.如圖6—9,E在AB上，Nl=/2,/3=/4,那么AC等于40嗎？為什么？

圖6—9

拓展、探究、思考

14.如圖6—10,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在2X3方格的3個(gè)格點(diǎn)上，請(qǐng)你試著再在格點(diǎn)上

找出三個(gè)點(diǎn)。、E、F,使得△￡>￡尸絲ZVIBC,這樣的三角形你能找到幾個(gè)？請(qǐng)一一畫(huà)出

來(lái).

圖6—10

15.請(qǐng)分別按給出的條件畫(huà)△ABC(標(biāo)上小題號(hào)，不寫(xiě)作法)，并說(shuō)明所作的三角形是否唯

—；如果有不唯一的，想一想，為什么？

①NB=120°,AB=2cm,AC=4cm；

②NB=90°,AB=2cm,AC=3cm；

③NB=30°，AB=2cm,AC=3cm；

④NB=30。,AB=2cm,4c=2cm；

⑤NB=30°,A5=2cm,AC=1cm；

⑥NB=30°,AB=2cm,AC=1.5cm.

測(cè)試7三角形全等的條件（五）

學(xué)習(xí)要求

能熟練運(yùn)用三角形全等的知識(shí)綜合解決問(wèn)題.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

解答題

1.如圖7—1,小明與小敏玩蹺蹺板游戲.如果蹺蹺板的支點(diǎn)。（即蹺蹺板的中點(diǎn)）到地

面的距離是50cm,當(dāng)小敏從水平位置CD下降40cm時(shí)，小明這時(shí)離地面的高度是多

少？請(qǐng)用所學(xué)的全等三角形的知識(shí)說(shuō)明其中的道理.

2.如圖7—2,工人師傅要在墻壁的。處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的8點(diǎn)處打開(kāi)，

墻壁厚是35cm,B點(diǎn)與O點(diǎn)的鉛直距離AB長(zhǎng)是20cm,工人師傅在旁邊墻上與AO水

平的線上截取OC=35cm,畫(huà)CQLOC,使CQ=20cm,連接。￡>,然后沿著。。的方

向打孔，結(jié)果鉆頭正好從B點(diǎn)處打出，這是什么道理呢？請(qǐng)你說(shuō)出理由.

3.如圖7—3,公園里有一條“Z"字形道路ABCO,其中AB〃CO,在AB、BC、CO三段

路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,何在BC的中點(diǎn)，試判斷三只石凳E,M,

產(chǎn)恰好在一直線上嗎？為什么？

圖7—3

4.在一池塘邊有A、8兩棵樹(shù)，如圖7—4.試設(shè)計(jì)兩種方案，測(cè)量A、8兩棵樹(shù)之間的距

離.

方案二:

圖7—4

測(cè)試8角的平分線的性質(zhì)(一)

學(xué)習(xí)要求

1.掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì).

2.掌握角平分線的判定及角平分線的畫(huà)法.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.叫做角的平分線.

2.角的平分線的性質(zhì)是.

它的題設(shè)是,結(jié)論是.

3.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在___.所以，如果點(diǎn)尸到NAOB兩邊的距離相等，那么射

線0P是.

4.完成下列各命題，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

(1)如果一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上，那么；

(2)如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么；

(3)綜上所述，角的平分線是的集合.

5.(1)三角形的三條角平分線它到.

(2)三用牛內(nèi)，到三邊距離相等的點(diǎn)是.

6.如圖8—1,已知NC=90°,4。平分NBAC,BD=2CD,若點(diǎn)。到A8的距離等于5cm,

則BC的長(zhǎng)為cm.

二、作圖題

7.已知：如圖8—2,ZAOB.

求作：/AOB的平分線0C.

作法:

B

圖8-2

8.已知：如圖8—3,直線A8及其上一點(diǎn)P.

求作：直線MN,使得MN_LAB于P.

作法:

圖8-3

9.已知：如圖8—4,/XABC.

求作：點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸在△ABC內(nèi),且到三邊48、BC、C4的距離相等.

作法:

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

10.已知：如圖8—5,ZVIBC中，AB=AC,。是8c的中點(diǎn)，OE_LAB于E,。尸_LAC于

F.

求證：DE=DF.

圖8-5

11.已知：如圖8—6,C￡>_LA8于。，BEVACTE,CD、BE交于O,Z1=Z2.

求證：OB=OC.

圖8-6

12.已知：如圖8—7,Z\ABC中，ZC=90°,試在AC上找一點(diǎn)P,使。到斜邊的距離等

于PC.(畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出畫(huà)法)

拓展、探究、思考

13.已知：如圖8—8,直線小12,右表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)塔臺(tái)，若要求

它到三條公路的距離都相等，試問(wèn)：

(1)可選擇的地點(diǎn)有幾處？

圖8-8

14.已知：如圖8—9,四條直線兩兩相交，相交部分的線段構(gòu)成正方形ABCD.試問(wèn)：是

否存在到至少三邊所在的直線的距離都相等的點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出此點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有幾

個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖8-9

測(cè)試9角的平分線的性質(zhì)（二）

學(xué)習(xí)要求

熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、選擇題

1.如圖9一1,若0P平分/A08,PCVOA,PDA.OB,垂足分別是C、D,則下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=OD

C.ZCPO=ZDPOD.OC=PC

圖9-1

2.如圖9一2,在RtAABC中，ZC=90o,BO是/ABC的平分線，交AC于。，若C￡）=

n,AB=m,則AA8。的面積是（）

二、填空題

3.已知：如圖9-3,在RtAABC中，ZC=90°,沿著過(guò)點(diǎn)B的一條直線8E折疊△ABC,

使C點(diǎn)恰好落在A8邊的中點(diǎn)。處，則NA的度數(shù)等于

c

4.已知：如圖9-4,在AABC中，BD、CE分別平分乙ABC、ZACB,且8。、CE交于點(diǎn)

0,過(guò)。作OP_LBC于P,OM±AB于M,ONVAC于N,則0尸、OM、ON的大小關(guān)

系為_(kāi).

圖9-4

三、解答題

5.已知：如圖9一5,0。平分/P0。,在OP、OQ邊上取O4=OB,點(diǎn)C在0。上，CM

_LA。于M,CNLBD于■N.

求證：CM=CN.

6.已知I：如圖9-6,AABC的外角NCB。和NBCE的平分線8F、CF交于點(diǎn)F.

求證：一點(diǎn)尸必在ND4E的平分線上.

DE

圖9-6

7.己知：如圖9-7,A、B、C、。四點(diǎn)在NMON的邊上，AB=CD,P為NMON內(nèi)一點(diǎn),

并且△%B的面積與△尸CZ)的面積相等.

求證：射線0尸是NMON的平分線.

圖9-7

8.如圖9-8,在AABC中，ZC=90°,8。平分NABC,DELABE,若△BCO與△BCA

的面積比為3:8,求△AOE與△8C4的面積之比.

圖9-8

9.已知：如圖9一9,NB=NC=90°,M是BC的中點(diǎn)，OM平分NADC

(1)求證：AA7平分NDAB；

(2)猜想AM與OM的位置關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論.

拓展、探究、思考

10.已知：如圖9-10,在AA8C中，AO是△ABC的角平分線，E、F分別是A8、AC1.

一點(diǎn)，并且有/ED尸+/EAF=180°.試判斷。E和。尸的大小關(guān)系并說(shuō)明理由.

01-6a

第十二章軸對(duì)稱

測(cè)試1軸對(duì)稱

學(xué)習(xí)要求

1.理解軸對(duì)稱圖形以及兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的概念，弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，能識(shí)

別軸對(duì)稱圖形.

2.理解圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)一些簡(jiǎn)單的關(guān)于某直線對(duì)稱的圖形.

一、填空題

1.如果一個(gè)圖形沿著一條直線，直線兩旁的部分能夠，那么3個(gè)圖形叫做,

這條直線叫做它的,這時(shí)，我們也就說(shuō)茸個(gè)國(guó)手關(guān)于這條直線(或軸).

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與__重合,那么這申圖形叫做關(guān)于_____,

這條直線叫做，折后重合的點(diǎn)是,又叫做.

3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的主要性質(zhì)是

(1)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是:

(2)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)____的垂直平分線.

4.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是.

5.(1)角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是：

(2)線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是；

(3)圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_____.

二、選擇題

6.在圖1一1中，是軸對(duì)稱圖形的是()

A翻

B

圖1一1

7.在圖1

等腰梯形

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)5個(gè)

8.如圖1一3,AA8C與AAbC關(guān)于直線/對(duì)稱，則N8的度數(shù)為()

A.30°D.100°

9.將一個(gè)正方形紙片依次按圖1—4必6的方式對(duì)折，然后沿圖c中的虛線裁剪，成圖d樣

式，將紙展開(kāi)鋪平，所得到的圖形是圖1—5中的（）

圖1一5

10.如圖1-6,將矩形紙片（圖①）按如下步驟操作：（1）以過(guò)點(diǎn)4的直線為折痕

折疊紙片，使點(diǎn)B恰好落在A。邊上，折痕與邊交于點(diǎn)E（如圖②）；（2）以過(guò)點(diǎn)

E的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)A落在8C邊上，折痕EF交邊于點(diǎn)尸（如圖③）;

（3）將紙片收展平，那么/AFE的度數(shù)為（）

圖①圖②

圖1—6

A.60°B.67.5°C.72°

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

11.請(qǐng)分別畫(huà)出圖1—7中各圖的對(duì)稱軸.

（1）正方形（2）正三角形（3）相交的兩個(gè)圓

12.如圖1-8,AABC中，AB=BC,△ABC沿折疊后，點(diǎn)A落在邊上的4'處，若

點(diǎn)。為AB邊的中點(diǎn)，ZA=70°,求NBD4'的度數(shù).

13.在圖1-9中你能否將已知的正方形按如下要求分割成四部分，

（1）分割后的圖形是軸對(duì)稱圖形；（2）這四個(gè)部分圖形的形狀和大小都相同.

請(qǐng)至少給出四種不同分割的設(shè)計(jì)方案，并畫(huà)出示意圖.

14.在圖1—10這一組圖中找出它們所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線的空白處設(shè)計(jì)一個(gè)恰當(dāng)

的圖形.

圖1-10

拓展、探究、思考

15.己知，如圖1-11,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BCJLx軸于點(diǎn)C,點(diǎn)4關(guān)于直線

OB的對(duì)稱點(diǎn)。恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于直線8C對(duì)稱，NOBC=35°,求NOE。

的度數(shù).

圖1一11

測(cè)試2線段的垂直平分線

學(xué)習(xí)要求

1.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會(huì)畫(huà)已知線

段的垂直平分線.

2.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.經(jīng)過(guò)并且的叫做線段的垂直平分線.

2.線段的垂直平分線有如下性質(zhì)：線段的垂直平分線上的與這條線段的—

相等.

3.線段的垂直平分線的判定，由于與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在，并且兩點(diǎn)確

定,所以，如果兩點(diǎn)M、N分別與線段A8兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么直線MN是

4.完成下列各命題：

(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)，與這條線段的；

(2)與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在；

(3)不在線段垂直平分線上的點(diǎn)，與這條線段的；

(4)與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離不相等的點(diǎn)，；

(5)綜上所述，線段的垂直平分線是的集合.

5.如圖2—1,若P是線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則

(1)△外C絲；(2)以=；

(3)ZAPC=；(4)ZA=.

圖2—1

6.△ABC中，若AB—AC=2cm,BC的垂直平分線交AB于。點(diǎn)，且AACO的周長(zhǎng)為14cm,

則AB=,AC.

7.如圖2—2,AA8C中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于P點(diǎn).

(1)若NA=35°,則/BPC=

(2)若AB=5cm,BC=3cm,則APBC的周長(zhǎng)=

圖2-2

綜合、運(yùn)用、診斷

一、解答題

8.已知：如圖2—3,線段AB.

求作：線段A8的垂直平分線MN.

作法：

9.已知：如圖2—4,N48C及兩點(diǎn)M、N.

求作：點(diǎn)P,使得尸M=PN,且P點(diǎn)到/48C兩邊的距離相等.

作法：

圖2—4

拓展、探究、思考

10.已知點(diǎn)A在直線/外，點(diǎn)尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)P

在直線/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、8兩點(diǎn)的距離總相等.如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)&若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

?A

P,

圖2—5

11.如圖2—6,4。為/84C的平分線，DE_LAB于E,DFLACF,那么點(diǎn)E、F是否

關(guān)于4。對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2—6

測(cè)試3軸對(duì)稱變換

學(xué)習(xí)要求

1.理解軸對(duì)稱變換，能作出已知圖形關(guān)于某條直線的對(duì)稱圖形.

2.能利用軸對(duì)稱變換，設(shè)計(jì)一些圖案，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

一、填空題

1.由一個(gè)得到它的叫做軸對(duì)稱變換.