初中數(shù)學(xué)新教材變化解讀及考法剖析專題講解

專題01二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

［新教材的新增內(nèi)容］

背景分析：在舊教材中沒有單獨(dú)把三個內(nèi)容有機(jī)的聯(lián)系到一起，而新教材把該內(nèi)容

進(jìn)行了整合放到了第一冊的第二章的位置，作為必備的工具出現(xiàn)，彰顯其重要作

用.

一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式

/>0J=0/<0

J=b2-4ac

二次函數(shù)

11/必義

y=ax2+bx+c

不。六4

(。>0)的圖象

一元二次方程有兩相異有兩相等實(shí)

沒有

ax2+bx+c=Q實(shí)數(shù)根XI,數(shù)根Xl=X2

b實(shí)數(shù)根

(°>0)的根X2(X1<X2)=.--

2a

a^+bx+oO{x\x<x\

{x|#Xl}{x|xCR}

(。>0)的解集或X>X1}

ax2+bx+c<0

{X|X1<X<X2)00

(〃>0)的解集

［新增內(nèi)容的考查分析］

1.二次方程的根與一元二次不等式的聯(lián)系

轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)

、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想.

【考法示例1】不等式O^+X+IX)的解集為Cm,1),則6+a=.

解析：由不等式“P+x+l>。的解集為(/?,1),得x=l是方程以2+丫+］=0的根，即

a+l+l=0,解得。=-2,則不等式為-2》2+犬+1>0,解得則有〃貝有/"+〃=-

22

5

2

【考法示例2】已知關(guān)于x的不等式工+辦+%>0.

(1)若該不等式的解集為(-4,2).求a,8的值;

(2)若3=4+1,求此不等式的解集.

2—4=a,

解：(1)根據(jù)題意得《

2x(T)=_0,

解得a=-2,b=S.

(2)當(dāng)/>=a+I時，-/+以+比>0_2_4*-(“+])<o,即[x-(a+1)](x+1)<0.

當(dāng)即a=-2時,原不等式的解集為0；

當(dāng)即a<-2時，原不等式的解集為(a+1,-1)；

當(dāng)即a>-2時,原不等式的解集為(-1,a+1).

綜上，當(dāng)a<-2時，不等式的解集為(a+1,-1)；當(dāng)a=-2時，不等式的解集為0；

當(dāng)。>-2時，不等式的解集為(-1,。+1).

2.一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系

【考法示例1]若不等式(a-2)f+2(?-2)x-4<0對一切xGR恒成立，則實(shí)數(shù)“

的取值范圍是()

A.(-8,2]B.[-2,2]

C.(-2,2]D.(-00,-2)

[解析]當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式為-4<0,對一切恒成立.

6!—2<0,

當(dāng)存2時，則《,

△=4(a—2)2+16(a—2)<0,

ci—2<0,

即<解得-2<a<2

a2<4,

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2].

[答案]C

【考法示例2】若對任意的2],都有P2x+aW0(a為常數(shù))，則。的取值范

圍是()

A.(-co,-3]B.(-00,0]

C.[l,+oo)D.(-8,1]

[解析]法一：令/(x)則由題意，

得］/(2)=22-2x2+a<0,

解得。&3,故選A.

法二：當(dāng)2］時，不等式f-2x+aS0恒成立等價于好-f+級恒成立，則由題

意，得好(-x2+2x)min2］).而-N+2x=-(X-1)2+1,則當(dāng)X=-l時，(-

/+2x)min—3,所以aW-3,故選A.

［答案］A

3.給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問題的解法

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，

就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)

為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

【考法示例1】若不等式》2+px>4x+p-3,當(dāng)0然4時恒成立，則x的取值范圍是

()

A.［-l,3］B.(-00,-1］

C.［3,+oo)D.(-oo,-1)U(3,+oo)

［解析］法一(特殊值法)：當(dāng)x=-l時，由9+。X>4彳+P-3,得p<4,故x=-l不符合條

件，排除A、B；

當(dāng)A=3時，由d+pxMx+pS,得p>0,故43不符合條件，排除C.

法二(轉(zhuǎn)換變元法)：不等式變?yōu)?x-1)p+x2-4x+3>0,當(dāng)09當(dāng)時恒成立，

x~-4-x+3>0,

所以《，

［4(X-1)+X2-4X+3>0,

x?—4x+3>0,

即《,

［x2-l>0,

解得x<-l或x>3.

［答案］。

［新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練］

1.下列四個解不等式，正確的有()

A.不等式2f-x-l>0的解集是{小>2或x<l}

B.不等式-63日2成的解集是bI■或xN；1

C.若不等式a?+8or+21<0的解集是3-7<r<-l},那么a的值是3

D.關(guān)于尤的不等式x12+px-2<0的解集是⑷1),則p+q的值為-1

【答案】BCD

【解析】

【分析】對A,B直接解一元二次不等式，對C,D根據(jù)一元二次不等式的與對應(yīng)

方程根的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：對于A：?.-2X2-X-1=(2X+1)(X-1),二由2f—》_1>0得

(2x+l)(x-l)>0,

解得x>l或x<-g,不等式的解集為(Y,-；)U(1，W)?故A錯誤；

對于B,1,,-6x2-x+2,,0,:.6x2+X-2..0,

i?

.?.(2x-l)(3x+2)..O,.〔x...；或用,故B正確；

對于C：由題意可知-7和-1為方程辦2+8奴+21=0的兩個根.

21

—7x(—1)=—,.\a=3.故C正確；

對于D：依題意得q,1是方程/+內(nèi)一2=0的兩根，q+l=-p,即p+4=—1,

故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法和不等式的解集與方程之間的關(guān)系，考

查了計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

2.若不等式以2一x+a>。對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a<B.或"0

222

111

C.a>—D.——<a<—

222

【答案】C

【解析】

【分析】分a=0和兩種情況討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，由

此可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由于不等式以2一%+。>0對一切實(shí)數(shù)x都成立.

當(dāng)。=0時，可得一%>0,解得x<(),不合乎題意；

f。>01

當(dāng)時，貝叫),解得a>7.

A=l-4a<02

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立求參數(shù)，考查計(jì)算能力，

屬于中等題.

3.在R上定義運(yùn)算。?方=(。+1)人，若存在xe[l,2]使不等式(加一x)?(m+x)<4成

立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為()

A.(-2,2)B.(-1,2)C.(-3,2)D.(1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】先將原式進(jìn)行化簡，然后參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值，最后變換成關(guān)于m的

不等式求解即可.

【詳解】^-g(x)=(/n—x)-(m+x)=[(m—x)+l]-(/n+x)=m2-x2+m+x

因?yàn)?e[l,2],g(x)<4

/M2+m<x2—x+4

也就是m2+m<(x2-x+4)max

在xw[l,2]時，x=2,f一x+4取最大值為6

所以加2+加<6

解得一3(加<2

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法，轉(zhuǎn)化思想非常重要，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

4.若關(guān)于x的不等式V一辦一的解集不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[2,+8)B.(―8,—6]C.[—6,2]D.(―8,

6]U[2,+8)

【答案】D

【解析】

【詳解】由已知得方程x2一這一〃+3=0有實(shí)數(shù)根，即/=/+4(a—3)出，

故a>2或a<-6.

5.已知/(幻=-2/+云+。，不等式/(幻>0的解集是(-1,3),則氏；若

對于任意1,0],不等式/(x)+f<4恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

【答案】(D.4②.￡2

【解析】

【分析】由不等式/(劃>0的解集是(-1，3)結(jié)合一元二次不等式的解集與對應(yīng)的一

元二次方程的解集的關(guān)系可得-1,3是-2/+陵+。=0的兩根，由此可求人，再由

/(%)+?44在[-1,0]上恒成立可得區(qū)(2/一4%-2焉，xe[-1,0],由此可得」的范

圍.

【詳解】由不等式/(幻>0的解集是(一1，3),可知一1和3是方程一2/+法+c=0的

2'|￡>=4

根，即解得a

-cc=6

所以fix)--2x?+4x+6,

所以不等式/(x)+fW4可化為t<2x2-4x-2,xeL-L0],

令g(x)=2f一4x—2,xe[-l,0],由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在[-1，0]上單調(diào)遞

減，則g(x)的最小值為g(0)=—2,所以fK-2,

故答案為：4,t<—2.

6.已知函數(shù)/(x)=/+/ra:-l.

(1)若對于任意的m+\],都有.f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

(2)如果關(guān)于“的不等式/⑴1'〃有解"求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍?

【答案】⑴（-立■,0）.⑵{網(wǎng)壯-4,或論-1}.

2

【解析】

f（m）=2m2-1

【詳解】分析：（1）由題意可得\Jc2,八，由此求得實(shí)數(shù)m的取值

+=2m-+3m<0

范圍；

（2）由題意可得：|m>/min（x）=-^--1,由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；

詳解：（1）由題意可得：

f（m）=2m2-\V2

1（加+1）=2療+3〃?<0'求得一三<相<0'

即實(shí)數(shù)，”的取值范圍為（-也，0）.

2

5m2

（2）由題意可得：—m>/nin（x）=----h求得機(jī)W-4,或論-1,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為{詞/nW-4,或mN-1}.

點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

專題02指對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型

［新教材的新增內(nèi)容］

背景分析：

人教A版的第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，相對舊教材，單獨(dú)增加了一節(jié)函數(shù)的應(yīng)用

（二），主要增加了以對數(shù)和指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)應(yīng)用問題，提高了位置，加大

了函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，加大培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng).

1.（1）指數(shù)函數(shù)模型：f（x）=必+。（a,b,c為常數(shù),分0,h>0,厚1）；

（2）對數(shù)函數(shù)模型：f（x）=m\ogax+n（m,n,。為常數(shù)，a>0,存1）；

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=\ogaX

y=ax（。>1）（〃〉0）

性質(zhì)（a>l）

在（0,+oo）上的

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大，逐漸隨X的增大，逐漸隨〃值變化而各有

圖象的變化

表現(xiàn)為與y軸平行表現(xiàn)為與X軸平行不同

值的比較存在一個X0,當(dāng)x>xo時,有l(wèi)og?x<W優(yōu)

［新增內(nèi)容的考查分析］

1.以指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型

（1）要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）

的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型；

（2）在解決指數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，

再借助函數(shù)的圖象求解最值問題.

【考法示例1】某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2018年

全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長

12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：1g1.12=0.05,lgl.3~0.11,lg2-0.30）

A.2020年B.2021年

C.2O22年D.2023年

［答案］C

［解析］設(shè)第〃（〃GM）年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.

根據(jù)題意得130（1+12%）nl>200,

則lg［13O（1+12%）n-1］>lg200,

.*.lgl30+（n-1）lgl.l2>lg2+2,

/.2+lgl.3+（rt-1）lgl.l2>lg2+2,

...0.11+（M-1）x0.05>0.30,解得

又?.論5,.?.該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

2022年.故選C.

【考法示例2】毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積

為明經(jīng)過，天后體積/與天數(shù)/的關(guān)系式為/=.若新丸經(jīng)過50天后，體積變

為士a,則一個新丸體積變?yōu)槎需經(jīng)過的時間為（）

927

A.I25天B.100天C.75天D.50天

【答案】C

解析：由題意知。>0,當(dāng)/=50時，有幼=“十..即￡=（e“r，得『=在

99v7V9

所以當(dāng)展梟時，嗚…?廠嗚=（日鏟得乳即

所以，=75.故選：C

【考法示例3］碳-14測年法是由美國科學(xué)家馬丁?卡門與同事塞繆爾?魯賓于1940年

發(fā)現(xiàn)的一種測定含碳物質(zhì)年齡的方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿

足規(guī)律N=”（表示的是放射性元素在生物體中最初的含量No與經(jīng)過時間，后的

含量N間的關(guān)系，其中2=竿（7"為半衰期）.已知碳-14的半衰期為5730年，

^=1.2x10,2.經(jīng)測量某地出土的生物化石中碳-14含量為4x10⑴，據(jù)此推測該化

石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)1。氐3=1.585）（）

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

【答案】C

.NN

In—7In—

【解析】由題意知：N=MeFnX=e"n〃，=ln&=/=—惡=一二，把數(shù)

MN。Jn2In2

T

據(jù)代入得：

_,N。,?.1.2x1O'2

n/In—5730xln---------痂

t=------X=------------4x10=53In3=5730,3=5730x|585=9082.05=9082產(chǎn)

In2In2In22

選：C.

2.以對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型

【考法示例1】十六、十七世紀(jì)之交，天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事快速發(fā)展，對

大數(shù)的運(yùn)算提出了更高的要求，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，英格蘭數(shù)學(xué)家納

皮爾（J.Napier,1550-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運(yùn)算體系的多年研

究，最終找到了簡化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說

明書》標(biāo)志著對數(shù)的誕生.對數(shù)的思想方法，即把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法，在今天仍

然具有生命力.以下幾組自變量x與函數(shù)值J的部分對應(yīng)關(guān)系中，最接近對數(shù)函數(shù)上

述作用的函數(shù)是（）

X4

2468<XP2*12c

A.B.

?

y1.534.562.5P310P25d

<

5〃10。15一20P5P10。502100P

C.D.

4

3r4.3/12.9-38.7。%3"4.3-7.3-8.6-

【答案】D

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)『=log“X（。＞0且小1）的性質(zhì)，

隨著X的增大，）?值的變化幅度越來越小，由表中數(shù)據(jù)可知，只有。選項(xiàng)比較接近

對數(shù)函數(shù).故選：D

【考法示例2】科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)/為地震時所散發(fā)出來

的相對能量程度，則里氏震級/可定義為y=O.61g/.2O21年6月22日下午寧夏A市

發(fā)生里氏3.1級地震，2020年9月2日寧夏8市發(fā)生里氏4.3級地震，則8市地震

所散發(fā)出來的能量是A市地震所散發(fā)出來的能量的()倍.

A.2B.10C.100D.1000

【答案】C

【詳解】設(shè)自貢地震所散發(fā)出來的能量為6，余江地震所散發(fā)出來的能量乙，

則3.1=0.6吐,4.3=0.6“，故兩式作差得L2=0.6lg),故lgj=2,5=100.

*2*2

故選：C.

【考法示例3］噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實(shí)踐證

明，聲音強(qiáng)度。(分貝)由公式。=。電/+6(",〃為非零常數(shù))給出，其中

/(W/cm)為聲音能量.當(dāng)聲音強(qiáng)度2，2，4滿足4+22=32時，聲音能量

/,,/2,人滿足的等量關(guān)系式為;當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為

10"W/cm?時;聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為10-W/cm?時,

聲音強(qiáng)度為40分貝，當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音

分貝數(shù)在(150,160)區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是.

【答案】/"=/；(/)

【詳解】①由題知，D=a\gl+h,

當(dāng)?shù)?2。2=32時,有alg4+6+2(algJ+b)=3?g/,+b),

整理得，=

因?yàn)閍W0,所以/「/J=/；.

algl0-'J+/>=30,-13a+A=30,

②由題知，，

algl0n+/>=40-12a+6=40

解得a=10,6=160,

所以。=IOIg/+16O.

由150v101g/+160<160,得Igio1<lg/<lgl,

因?yàn)楹瘮?shù)y=lgx為(o,+8)上的增函數(shù)，所以io'</<i,

故火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音分貝數(shù)在(150,160)區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是

10

2

故答案為：/1-/2=/,';

3.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)運(yùn)算混合型的問題

【考法示例1】草地貪夜蛾是一種起源于美洲的繁殖能力很強(qiáng)的農(nóng)業(yè)害蟲，日增長

率為8%,若100只草地貪夜蛾經(jīng)過，天后，數(shù)量落在區(qū)間(2xl0\2xl01內(nèi)，貝卜的

值可能為(參考數(shù)據(jù)：lgi.08=0.0334,Ig2=0.301)()

A.80B.120C.150D.200

【答案】c

【詳解】

100(1+0.08)>2xl06f7-/lgl.08>lg2+4

由題意得'\,兩邊取1r對數(shù)得

100(1+0.08)<2xl07/lgl.O8<lg2+5'

lg2+40.301+4._

所以/>-----w--------a128.773:129,

lgl.080.0334

口/g2+50.301+5

B./<-....*--------=158.71=159,即/e(129,159),對照各選項(xiàng)，只有C符合.

lgl.080.0334

故選：C.

【考法示例2】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量

產(chǎn)(mg/L)與時間/(h)之間的關(guān)系為尸=《e?.如果前2小時消除了20%的污染物，則

污染物減少50%大約需要的時間為(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,ln3=1.10,

In5s1.61)()

A.4hB.6hC.8hD.lOh

【答案】B

【詳解】前2小時消除了20%的污染物，則徐&=0.8兄

..In08inox,

故-2A=ln0.8,k=-一2’=4(().8戶

污染物減少50%,則4(0.8)；=0.5《

,1

,n

/tIn0.5oTn2

—r/口—=>Og0o8g0.5=----=-Y=----------In20.69、

可得2In0.81n421n2-ln5=-------------=3

5In5-21n21.61-2x0.69

故，=6,故選：B

［新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練］

1.已知某物種經(jīng)過X年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：y=k-9eU'\k>0）,

當(dāng)尤=0時，y的值表示2021年年初的種群數(shù)量.若年后，該物種的種群

數(shù)量不超過2021年初種群數(shù)量的;，則f的最小值為（）（參考值：

In2?0.693）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】求出2021年年初的種群數(shù)量，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于/的不等式，即可

得解.

【詳解】由題意可知，2021年年初的種群數(shù)量為為=公9『=9%，

由MW：%,即h9/"?gx9A，可得即4.1/W—M2,故

Z>101n2?6.93,

因?yàn)閒eN*,因此，，的最小值為7.

故選：B.

2.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%,要

使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）

（參考數(shù)據(jù)lg2=0.3010,lg5=0.699）

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為〃，由題意可得（1-20%）“<5%,即0.8"<0.05,

兩邊同時取對數(shù)解不等式即可求解.

【詳解】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為〃，

由題意可得（1-20%）”<5%,即0.8"<0.05

所以lgO.8"<lgO.O5,可得

lgO.O5_lg5—2_l_lg2_2__lg2—l?-0.3010-1

n>lg0.05==13.4,

08lg0.8—31g2—1—31g2-l—31g2-l?0.3010x4-1

所以故至少過濾14次.

故選：C.

3.漁民出海打魚，為了保證運(yùn)回魚的新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺的多少來確定魚

的新鮮度，三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的,

三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)，進(jìn)而腐敗），負(fù)被打上船后，

要在最短的時間內(nèi)將其分揀，冷藏，己知某種魚失去的新鮮度〃與其出海后時間f

（分）滿足的函數(shù)關(guān)系式為力（。=相々，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為

20%；出海后30分鐘，這種魚失去的新鮮度為40%,那么若不及時處理，打上船

的這種魚大約在多長時間剛好失去50%的新鮮度（）考數(shù)據(jù)：lg2“0.3

A.23分鐘B.33分鐘C.50分鐘D.56分鐘

【答案】B

【解析】

。(20)=mt產(chǎn)=0.2(-LY

【分析】由題得，“”，解方程可得/?(r)=0.05x210,再解方程

-ma30=0.4v'1,

(_i_Y

0.05x2m=0.5即可得答案.

\7

/z(20)=nta2()=0.2i

【詳解】由題意可得｛//3()'_加〃3。-04，解得。=2記，加=0.05?

\I—rrlCl—U.V

rj_v

故〃(f)=0.05x2而.

CxY

令〃(f)=0.05x2歷=0.5,即2吉=io，

\/

兩邊同時取對數(shù)，故f=10?華：B33分鐘

1g2

故選：B

4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸

速率。取決于信道帶寬W,經(jīng)科學(xué)研究表明：。與w滿足C=Wk）g2（l+｝）,其

中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，三為信噪比.當(dāng)信

N

q

噪比比較大時，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).若不改變帶寬W,而將信噪比三

N

從1000提升至4000,則C大約增加了（）（附：1g2?0.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算三=1000和5=4000時的最大數(shù)據(jù)傳輸速率C和C,,再計(jì)算增大

NN

C-C

的百分比一矛即可.

[詳解】當(dāng)'=1000時,CX=Wlog21001?Wlog21000；

N

q

當(dāng)初4。。。時，CiXOOibg'。。。.

所以增大的百分比為：

「

CG_Q_]_Wlog24000_t_lg4000_]_lg4+lgl000_]

C,~~q~-Wlog?1000-"IglOOO_―_IglOOO

lg4

IglOOO竽亨-3%.

故選：B.

5.中國的5G技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：

C=Wlog[l+，）它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率。（單

位：bit/s）取決于信道寬度W（單位：HZ）、信道內(nèi)信號的平均功率S（單位:

dB）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N（單位：dB）的大小，其中U叫做信噪比，

N

q

按照香農(nóng)公式，若信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，而將信噪比三從1000提升至

N

4000,則。大約增加了（）（附：怛2=0.3）

A.110%B.120%C.130%D.140%

【答案】D

【解析】

【分析】利用對數(shù)減法與換底公式可求得結(jié)果.

q

［詳解】當(dāng)±=1000時，C=Wlog,1001;

N

q

當(dāng)三=40000時，信道寬度W變?yōu)樵瓉?倍，C=2Wlog74001.

N

因?yàn)?/p>

2Wlog24001-Wlog21001_210g、4001_1?4+21og21000_1_4]oo4

S10002+l=-lg2+l?1.4

Wlog21001log21001--log21000一°

故選：D.

6.隨著人們健康水平的不斷提高，某種疾病在某地的患病率以每年10%的比例降

低，若要將當(dāng)前的患病率降低到原來的一半，需要的時間至少是()

(1g2?0.3010,1g3?0.4771)

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)條件列式(1-10%)”=g,再通過兩邊取對數(shù)，計(jì)算需要的時間〃.

【詳解】設(shè)至少需要〃年的時間，則(1-10%)"=；,兩邊取對數(shù)〃lgO.9=Tg2,

-1g2-lg2-0.3010_

即n=------=----------=----------------?7.

lg0.921g3-l2x0.4771-1

故選：B

7.聲音的等級.f(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：W/m2)滿足

X

/(x)=10x1g——噴氣式飛機(jī)起飛時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，

1x1012

聲音的等級約為60dB,那么噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度

的()

A.IO,倍B.IO8倍C.IO1。倍D.10口倍

【答案】B

【解析】

【分析】

首先設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度和一般說話時聲音強(qiáng)度分別為冷々，根據(jù)題意得

出〃為)=140,〃々)=60,計(jì)算求土的值.

【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度和一般說話時聲音強(qiáng)度分別為王，

/(x,)=10xlg--^—=140,x,=102,

1X1w

6

/(x2)=10xlg-^—=60,x2=10,所以0=10、

1X1U元2

因此，噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度的1()8倍.

故選：B

8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿

足?-町=[gU，其中星等為儂的星的亮度為以(七1,2).已知太陽的星等是

-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意得到關(guān)于g,區(qū)的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.

【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足啊一叫=|歸強(qiáng)，令也=T45,叫=-26.7,

L101

lg^=|(m2-/n,)=|(-1.45+26.7)=10.1,^=10.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、信息處理能力、閱讀

理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.

9.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減

率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”,若生物體內(nèi)

原有的碳14含量為A,按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x的

函數(shù)關(guān)系式是______，考古學(xué)家在對考古活動時挖掘到的某生物標(biāo)本進(jìn)行研究，

發(fā)現(xiàn)該生物體內(nèi)碳14的含量是原來的62.5%,則可以推測該生物的死亡時間距今

約年（參考數(shù)據(jù)：1g2弓0.3）

X

【答案】①.y=（；y3。；②.3883

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型得出函數(shù)關(guān)系式，然后由y=62.5%計(jì)算x.

【詳解】設(shè)1年后碳14含量為原來的。倍，則產(chǎn)。=g,

XXX

,+，f1^573062.5即兩5.,(1^57305,10

由3=而'即㈤=?、?1。際=1%而，

Xii

__.log210-4=--4=--4,X?3883.

故答案為：y=3883.

10.在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過

30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)

大約為原來的

【答案】36倍

【解析】

【分析】題目考察指數(shù)型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)原數(shù)量為。，根據(jù)題意可分別列出30

天后和60天后的數(shù)量的指數(shù)表達(dá)式，從而得到倍數(shù)關(guān)系

【詳解】某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖

泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，

設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為a，則。（1+6.25%）3°=6。，

,經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：y=。（1+6.25%嚴(yán)=a［（1+6.25%嚴(yán)了=36a.

，經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍.

故答案為：36倍

11.放射性物質(zhì)鐳的某種同位素，每經(jīng)過一年剩下的質(zhì)量是原來的90%.若剩下的

質(zhì)量不足原來的一半，則至少需要（填整數(shù)）一年.（參考數(shù)據(jù)：

1g2?0.3010,lg3?0.4771）

【答案】7

【解析】

【分析】設(shè)所需的年數(shù)為x,由已知條件可得09<!，解該不等式即可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)所需的年數(shù)為％,由已知條件可得09<1,則

2

x>log09-=上=——幽—=—^―?6.57?

°-921g0.921g3-ll-21g3

因此，至少需要7年.

故答案為：7.

專題03三角函數(shù)線的應(yīng)用

［新教材的新增內(nèi)容］

背景分析:人教B版有單獨(dú)一節(jié)講解三角函數(shù)線，人教A把新教材中關(guān)于三角函數(shù)

線的應(yīng)用相對舊教材而言，重點(diǎn)體現(xiàn)在三角函數(shù)概念的獲得，誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，以

及正余弦函數(shù)的圖象的得到以及三角函數(shù)的性質(zhì)等.體現(xiàn)這個知識點(diǎn)的基礎(chǔ)性和解

決問題的本質(zhì)的根源所在.

一.正弦線與余弦線

1.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足/+儼=1的點(diǎn)組成的集合稱為單位

圓.

2.過角a終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為

當(dāng)?shù)姆较蚺cX軸的正方向相同時，表示cosa是正數(shù)，且cosa=|0面|,

當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸的正方向相反時，表示cosa是魚數(shù)，且cosa=一|0MI,

稱麗為角a的余弦線，

類似地，可以直觀的表示sina,稱麗為角a的正弦線.

注：利用角的正弦線和余弦線，可以直觀地看成角地正弦和余弦地信息，例如上圖

中，角夕的余弦線是。而，正弦線是礪，由此可看成cos/<0,sin/<0,而且還

可以看出：

|cos^|>|cosa|,|sin/?|<|sina|.

二.正切線

設(shè)角a的終邊與直線x=l交于點(diǎn)T,則可以直觀地表示tana,因此稱為角a的正

切線.當(dāng)角的終邊在第二、三象限或x軸的負(fù)半軸上時，終邊與直線x=l沒有交

點(diǎn)，但終邊的反向延長線與x=l有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切

值.

注：如圖所示，角夕的正切線為旃，而且從圖中可以看出:

tan^<0,|tan/7|<|tana|,這就是說，角a的正切等于角。的終邊或其反向延長線

與直線x=l的交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

［新增內(nèi)容的考查分析］

1.利用三角函數(shù)線求值

【考法示例1】作出學(xué)和衛(wèi)的正弦線、余弦線和正切線，并利用三角函數(shù)線求出

它們的正弦、余弦和正切.

解：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中作出單位圓以及直線x=l,單位圓與x軸交于

點(diǎn)A(1,O).

作《的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，過P作x軸的垂線，垂足為M；延長線段PO,交

6

直線x=l于T,則?的正弦線為近，余弦線為麗，正切線為衣.

類似可得到￡的正弦線為需，余弦線為。押，正切線為通.

4

在圖中，根據(jù)直角三角形的知識可知，

^—,AT=—,ON=NR=—,AS^\

2232

而z.5萬15萬6.5萬G

期以，sin——=—,cos——=----,tan——=----

626263

.7171A/271

sin—=cos—=——,tan—1.

4424

2.利用三角函數(shù)線判斷大小

【考法示例11下列關(guān)系正確的是()

A.cos1<sin1<tan1B.sin1<cos1<tan1

C.cos1<tan1<sin1D.sin1<tan1<cos1

【答案】A

【解析】

作出單位圓，用三角函數(shù)線進(jìn)行求解，如圖所示，有

所以8sl<sin1<tan1,故選：A.

【考法示例2】利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

2?4?2?4?2?4?

(l)sin-y與sin—；(2)tan-tan—；(3)cos-cos—.

解如圖，

794?2949

畫出角一?與一的正弦線、余弦線、正切線，sinY"=MPI,sin—=M2P2,

3535

2?4?2?4?

tan—=ATi,tan——=AT2,cos—=OMi,COS——=OM2,由圖形觀察可得:

3535

MiPi>M2P2,AT\<AT2,OMi>OMi,

2?4?2?4?2?4?

A(l)sin—>sin—；(2)tan—<tan—；(3)cos—>cos-.

3.利用三角函數(shù)線解不等式

【考法示例1】已知0VxW2乃，且sinxvcosx,則x的取值范圍是().

A.[0,-)u(—,乃]B.)u(—,—)

444444

yr57r

C.(%,2乃)D.[0,一)u(—,24]

44

【答案】D

【詳解】

從圖中可知X的取值范圍是［0，f）5等,2加

44

故選：D

【考法示例2】函數(shù)y=d2cosx-l的定義域?yàn)?/p>

【答案】2kit—$2kjt+亨（kGZ）

【詳解】V2cosx—1>0,cosx>^.

由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍（如圖陰影所示）.

:?x￡2k兀一?2kn+^(k￡Z).故答案為21<兀一$2kn+^(k^Z)

4.利用三角函數(shù)線證明不等式

TT

【考法示例1】利用單位圓中三角函數(shù)線.證明：當(dāng)0<a<彳時，

2

(I)siner<a<tancr；

(2)sina+costz>1.

證明：在單位圓中，有sine=AM,cosa=OA/.

(1)連接AN,則S^OAN<S扇形04V<Sqvy,

即,OMMAc’ON?.acJoN.MT,MA<a<NT,sina<a<tana.

222

(2)sma+cosa=AM+OM>OA=\.

5.三角函數(shù)線的實(shí)際應(yīng)用

.將圖(1)中所示的摩天輪抽象成圖(2)所示的平面圖形，然后以摩天輪轉(zhuǎn)輪中

心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P到底面的高OT為1m,點(diǎn)

P為轉(zhuǎn)輪邊緣上任意一點(diǎn)，轉(zhuǎn)輪半徑OP為rm,記以O(shè)P為終邊的角為am△，點(diǎn)P

離底面的高度為hm,試用/,r,a表示九

-----m------

解：過點(diǎn)P作X軸的垂線,

當(dāng)a的終邊在第一、二象限或y軸正半軸上時，MP=rsina,此時

h-OT+MP=l+rsina；

當(dāng)a的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上時，因?yàn)閟ina<0,所以

MP=-rsina,此時h-OT-MP=I+rsma；

所以不管。的終邊在何處，都有/z=/+rsina.

［新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練］

1.T§a=cos—,/?=sin—,c—tan,則（）

555

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分

作出角的三角函數(shù)線，利用三角函數(shù)線進(jìn)行比較即可.

3萬，

sin—,:.a<b<c,

5

故選：B.

2.在（0,2"）內(nèi)，使cosx>sinx>tanx成立的x的取值范圍是

【答案】仔，2萬）

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)線，結(jié)合x的取值范圍，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)線，角度終邊落在直線）'=》右下方時，滿足casx>sia,

又當(dāng)X