各省市區(qū)歷年高考數(shù)學(xué)真題數(shù)列專集

各省市區(qū)歷年高考數(shù)學(xué)真題數(shù)列專集

十年高考分類解析與應(yīng)試策略數(shù)學(xué)

第三章數(shù)列

?考點闡釋

數(shù)列是高中代數(shù)的重點之一，也是高考的考查重點，在近十年高考試題中有較大的比重.

這些試題不僅考查數(shù)列，等差數(shù)列和等比數(shù)列，數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識、基木技能、基本思

想和方法，以及數(shù)學(xué)歸納法這一基本方法，而且可以有效地測試邏輯推理能力、運算能

力，以及運用有關(guān)的知識和方法，分析問題和解決問題的能力.

重點掌握的是等差、等比數(shù)列知識的綜合運用能力.

?試題類編

一、選擇題

1.（2003京春文，6）在等差數(shù)列｛an｝中，已知al+a2+a3+a4+a5=20,那么a3等于

（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2002上海春，16）設(shè)｛an｝（ndN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5V

S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯誤的是（）..

A.d<0

C.S9>S5B.a7=0D.S6與S7均為Sn的最大值

3.（2002京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所

有項的和為390,則這個數(shù)列有（）

A.13項B.12項C.11項D.10項

4.（2001京皖蒙春，12）根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個74

月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足Sn=

n90

(21n—n2—5)(n=l,2,12).

按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過L5萬件的月份是（）A.5月、6月C.7月、8

B.6月、7月

D.8月、9月

5.（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列｛an｝是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12,前三項的積為

48,則它的首項是（）

A.1

B.2

C.4

D.6

6.（2001上海春，16）若數(shù)列｛an｝前8項的值各異，且an+8=an對任意neN*都成立，

則下列數(shù)列中可取遍｛an｝前8項值的數(shù)列為（）

A.｛a2k+l）

B.｛a3k+l）

C.｛a4k+l｝

D.｛a6k+l｝

7.（2001天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，且Sn=n2,則｛an｝是（）A.等比

數(shù)列，但不是等差數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列

B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

8.（2000京皖春，13）已知等差數(shù)列｛a春滿足al+a2+a3+,,+al01=0,則有（）

A.al+al01>0C.a3+a99=0

B.a2+al00<0D,a51=51

12

lai

9.（1998全國文，15）等比數(shù)列｛an｝的公比為一么al的值為（）

，前n項和Sn滿足limSn

n

,那74

A.±3B.±

32

C.±2D.±

62

10.(1998全國理，15)在等比數(shù)列｛an｝中，al>l,且前n項和Sn滿足limSn

n

lai

那么al的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(1,4)C.(1,2)D.(1,2)

11.(1997上海文，6)設(shè)f(n)=1+

12

13

13n1

(n￡N),那么f(n+1)一

f(n)等于()

13n2

A.B.

13n

13n1

C.

13n1

13n2

D.

13n

13n1

13n2

12.(1997上海理，6)設(shè)f(n)=

In1

In2

In3

12n

(nGN),那么

f（n+1）-f（n）等于（）

12n1

12n2

A.B.

C.

12n1

12n2

D.

12n1

12n2

13.（1996全國理，10）等比數(shù)列｛an｝的首項al=-l,前n項和為Sn,若則limSn

等于（）

n

S10S5

3132

,74

A.2

3B.-2

3C.2D.-2

14.（1994全國理，12）等差數(shù)列｛an｝的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前

3m項和為（）

A.130B.170C.210D.260

Sn

Tn2n3n115.（1995全國，12）等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn與Tn,

若

an

bn,則limn等于（）

A.1B.6

3C.2

3D.4

9

X16.（1994全國理，15）某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個

分裂二個）經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可以繁殖成（）

A.511個B.512個C.1023個D.1024個

17.（1994上海，20）某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k（k6N）時該命題成立，那么

可推得當(dāng)n=k+l時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n=5時，該命題不成立，那么可推得（）

A.當(dāng)n=6時該命題不成立

C.當(dāng)n=4時該命題不成立

二、填空題

XB.當(dāng)n=6時該命題成立D.當(dāng)n=4時該命題成立18.（2003京春理14,文15）在某

報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)

據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi).

74

1

2X19.（2003上海春，12）設(shè)f（x）=.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公2

式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+?+f(0)+,,+f(5)+f(6)的值為

20.（2002北京，14）等差數(shù)列｛an｝中，al=2,公差不為零，且al,a3,all恰好是

某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列公比的值等于.

21.（2002上海，5）在二項式（l+3x）n和（2x+5）n的展開式中，各項系數(shù)之和分

別記為an、bn（n是正整數(shù)），則liman2bn

3an4bn=.n

22.（2001全國，15）設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若｛Sn｝

是等差數(shù)列，則q=.

23.（2001上海文，2）設(shè)數(shù)列｛an｝的首項al=-7,且滿足an+l=an+2（neN）,

則al+a2+,,+al7=.

24.（2001上海，6）設(shè)數(shù)列｛an｝是公比q>0的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若

limSn

n

=7,則此數(shù)列的首項al的取值范圍是.

25.（2001上海理，2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項為an=2n—7（n￡N*）,貝Ij|al|+|a2+,,

+|al5|=.

n3

n1X26.（2001上海春，7）計算lim（n）=.n

27.（2000上海春，7）若數(shù)列｛an｝的通項為1

n（nl）n￡N*）,則lim（al+n2an）=.n

28.（2000全國，15）設(shè)｛an｝是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+1—nan+an+

lan7422

=0（n=l,2,3,?）,則它的通項公式是an=.

29.（2000上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若al0=0,則有等式al+a2+”+

an=a1+a2+?+a19-n（n<19,n￡N）成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝

中，若b9=l,則有等式成立.

n

n2X30.（2000上海，4）計算lim（n）=.n

31.（1999上海，10）在等差數(shù)列｛an｝中，滿足3a4=7a7,且al>0,Sn是數(shù)列｛an｝前n

項的和，若Sn取得最大值，則n=.

32.（1998上海文、理，10）在數(shù)列｛an｝和｛bn｝中，al=2,且對任意自然數(shù)n,

3an+l—an=0,bn是an與an+1的等差中項，則｛bn｝的各項和是.

n

n33.（1997上海）設(shè)0<a<b,則lim4bnnab=.

X34.（1997上海）lim（ln2n）2n=.

35.（1995上海）若lim[1+（r+1）n]=1,則r的取值范圍是.

n

X36.（1995上海）lim（1+nIn）n-2=.

37.（1995上海，12）已知log3x=1

log23,那么x+x2+x3+,,+xn+,產(chǎn)____.

X38.（1995上海理，11）1992年底世界人口達54.8億，若人口的年平均增長率為

X%,2000年底世界人口數(shù)為y（億），那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是一一

三、解答題

74

39.（2003京春，21）如圖3—1,在邊長為1的等邊AABC中，圓01為AABC的內(nèi)切

圓，圓02與圓01外切，且與AB,BC相切，，,，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相

切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n?N*）.

（I）證明｛an｝是等比數(shù)列;

（II）求lim（al+a2+?+an）的值.

n

※我.（2003上海春，22）在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出它們的工資

標準：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；

B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)

某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：

(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是

多少？

(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標準(不

計其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元？(精確到1元)

并說明理由.

※位.(2002上海春，21)某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位

職工.獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小.由1至

n排序，第1位職工得獎金b

a元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎

金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

(I)設(shè)ak(IWkWn)為第k位職工所得獎金額，試求a2、a3,并用k、n和b表示

ak；(不必證明)

(II)證明ak>ak+l(k=l,2,,,,n-1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意

義；

74

(III)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b).對常數(shù)b,當(dāng)n變化時，求limPn

(b).

n

42.(2002北京春，21)己知點的序列An(xn,0),n《N,其中，xl=0,x2=a(a>

0),A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，”，An是線段An—2An-l的中點，

，，，，

(I)寫出xn與xn—1、xn—2之間的關(guān)系式(n，3)；

(II)設(shè)an=xn+l—xn計算al,a2,a3,由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式，并加以證

明；(III)(理)求limxn.

n

X43.(2002全國文，18)甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動.甲第1

分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.

(I)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇?

(H)如果甲、乙到達對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼

續(xù)每分鐘走5m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？

X44.(2002全國理，20)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢

上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽

車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

45.(2002全國理，21)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an+l=an-nan+l,n=l,2,3,,,,

(I)當(dāng)al=2時，求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式；

(II)當(dāng)al》3時，證明對所有的nel,有

(i)an2n+2；1

1allla211an122(ii).74

46.(2002北京，19)數(shù)列｛xn｝由下列條件確定：xl=a>0,xn+l=l

2(xn+a

xn),

n^N*.

(I)證明：對n22,總有xn2a；

(II)證明：對n22,總有xnexn+l；

(III)(理)若數(shù)列｛xn｝的極限存在，且大于零，求limxn的值.

n

47.(2002江蘇，18)設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，al=bl=l,a2+a4=

b3,b2b4=a3.分別求出｛an｝及｛bn｝的前10項的和S10及T10.

1

448.(2002上海，21)已知函數(shù)f(x)=abx的圖象過點A(4,)和8(5,1)

(I)求函數(shù)f(x)的解析式；

(II)記an=log2f(n),n是正整數(shù)，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，解關(guān)于n的不等

式anSnWO；

(Ill)(文)對于(H)中的an與Sn,整數(shù)96是否為數(shù)列｛anSn)中的項?若是，則

求出相應(yīng)的項數(shù)；若不是，則說明理由.

X49.(2002北京，20)在研究并行計算的基本算法時，有以下簡單模型問題：用計

n

算機求n個不同的數(shù)vl,v2,,,,vn的和vi=vl+v2+v3+,,+vn.計算開始前，n個

數(shù)

i1

存貯在n臺由網(wǎng)絡(luò)連接的計算機中，每臺機器存一個數(shù).計算開始后，在一個單位時間

內(nèi)，每臺機器至多到一臺其他機器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺

機器可同時完成上述工作.

為了用盡可能少的單位時間，使各臺機器都得到這n個數(shù)的和，需要設(shè)計一?種讀和

加.................

的方法.比如n=2時，一個單位時間即可完成計算，方法可用下表表示：

74

(I)當(dāng)n=4時，至少需要多少個單位時間可完成計算？把你設(shè)計的方法填入下表

n

(II)當(dāng)n=128時，要使所有機器都得到vi,至少需要多少個單位時間可完成計

i1

算？(結(jié)論不要求證明)

50.(2002天津理，22)已知｛an｝是由非負整數(shù)組成的數(shù)列，滿足al=0,a2=3,

74

an+lan=(an—1+2)(an—2+2),n=3,4,5,

(I)求a3；

(II)證明an=an—2+2,n=3,4,5,?；

(III)求｛an｝的通項公式及其前n項和Sn.

51.（2001全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個正數(shù)al,a2,a3,,?,an,

使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個正數(shù)bl,b2,b3,,,,,,bn,使這

n+2個數(shù)成等差數(shù)列.記An=ala2a3,,,,an,Bn=bl+b2+b3+,,,,+bn.

（I）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項:

（II）當(dāng)n27時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論.

派52.（2001全國理，21）從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建

設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入招比上年減少1

5.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計1

今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.4

（I）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元.寫出

an,bn的表達式；

（II）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

X53.（2001上海，22）對任意函數(shù)f（x）,xeD,可按圖示3—2構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生

器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)xOWD,經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出xl=f（xO）；

74

②若xlD,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若xlGD,則將xl反饋回輸入端，再輸出x2=f

（xl）,并依此規(guī)律繼續(xù)下去.

4x2

X1現(xiàn)定義f（X）=.

（I）若輸入x0=49

65,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列｛xn｝.請寫出數(shù)列｛xn｝的所有項；

（II）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)xO的值；（III）

（理）若輸入xO時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列｛xn｝滿足：對任意正整數(shù)n,均有xn<xn+l,求

xO的取值范圍.

54.（2001上海春，22）已知｛an｝是首項為2,公比為

和.

(1)用Sn表示Sn+1；

Sk1c

Skcl2的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(2)是否存在自然數(shù)c和k,使得>2成立.

55.(2001全國文，17)已知等差數(shù)列前三項為a,4,3a,前n項和為Sn,Sk=2550.

(1)求a及k的值；

1

SllS21Sn(2)求lim(n).

1f(x),x[0,),1256.(2000京皖春理，24)已知函數(shù)f(x)二

f(x),x[1,1L2274

其中fl(x)=-2(x1

2)2+1,f2(x)=-2x+2.

(I)在圖3—3坐標系上畫出y=f(x)的圖象；

(II)設(shè)y=f2(x)(x￡[1

2,1])的反函數(shù)為y=g(x),al=l,a2=g(al),an

=g(an-1)；求數(shù)列｛an｝的通項公式，并求liman；

n

(III)若x0￡[0,1

2),xl=f(xO),f(xl)=x0,求xO.

57.(2000京皖春文,22)已知等差數(shù)列｛an｝的公差和等比數(shù)列｛bn｝的公比相等,

且都等于d(d>0,dWl).若al=bl,a3=3b3,a5=5b5,求an,bn.

58.(2000全國理，20)(I)已知數(shù)列｛cn｝,其中cn=2n+3n,且數(shù)列｛cn+1—

pen)為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

(H)設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn,證明數(shù)列｛cn)不

是等比數(shù)列.

59.(2000全國文，18)設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an)的前n項和，已知S7=

7,S15=75,Tn為數(shù)列｛Sn

n)的前n項和,求Tn.

60.(2000上海，21)在XOY平面上有一點列Pl(al,bl),P2(a2,b2),,,,Pn

(an,bn),,,,對每個自然數(shù)n,點Pn位于函數(shù)y=2000(a

10)x(0<a<10)的圖象上，且點

Pn、點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形.

(I)求點Pn的縱坐標bn的表達式；

(11)若對每個自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值

范圍；

74

(III)(理)設(shè)Bn=bl,b2?bn(neN).若a取(II)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求

數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù).

(文)設(shè)cn=lg(bn)(neN).若a取(H)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列

｛cn｝前多少項的和最大?試說明理由.

61.(2000上海春，20)已知｛an｝是等差數(shù)列，al=-393,a2+a3=-768,｛bn｝

是公比為q(0<q<l)的無窮等比數(shù)列，bl=2,且｛bn｝的各項和為20.

(I)寫出｛an｝和｛bn｝的通項公式；(II)試求滿足不等式

am1am2a2m

m1W-160b2的正整數(shù)m.

62.(2000廣東，18)設(shè)｛an｝為等比數(shù)列，Tn=nal+(n-1)a2+?+2an-l+an,已知

Tl=l,T2=4.

(1)求數(shù)列｛an｝的首項和公比；

(2)求數(shù)列｛Tn｝的通項公式.

63.(1999全國理，23)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線.當(dāng)

nWyWn+1(n=0,1,2,,,)時，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)bWl),該數(shù)列

｛xn)由f(xn)=n(n=l,2,?)定義.

(I)求xl、x2和xn的表達式;

(H)求f(x)的表達式，并寫出其定義域；

(III)證明：y二f(x)的圖象與尸x的圖象沒有橫坐標大于1的交點.

64.(1999全國文，20)數(shù)列｛an｝的前n項和記為Sn.已知an=5Sn—3(n《N).求

lim(al+a3+?+a2n—1)的值.n

65.(1999上海，18)設(shè)正數(shù)數(shù)列｛an｝為一等比數(shù)列,且a2=4,a4=16,求74

limlgan1Igan2lga2n

n2.n

66.(1998全國理，25)已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，bl=l,bl+b2+?+bl0=145.(I)

求數(shù)列｛bn｝的通項bn；

1

bn(II)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an=loga(1+

1)(其中a>0,且a/l),記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和.試比較Sn與logabn+1的

大小，并證明你的結(jié)論.3

67.(1998全國文，25)已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列,bl=l,bl+b2+?+bl0=100.(I)

求數(shù)列｛bn｝的通項bn；

1

bn(II)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an=lg(1+),記Sn是數(shù)列｛an)的前n項和，試比較

Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論.21

68.(1998上海，22)若An和Bn分別表示數(shù)列｛an｝和｛bn｝前n項的和，對任意正整數(shù)

n,an=-2n3

2,4Bn-12An=13n.

(1)求數(shù)列｛bn｝的通項公式；

(2)設(shè)有拋物線列Cl,C2,Cn,,,拋物線Cn(n￡N*)的對稱軸平行于y軸,頂點

為(an,bn),且通過點Dn(0,n2+l),求點Dn且與拋物線Cn相切的直線斜率為kn,

求極限limklk2kn

anbnn

(3)設(shè)集合X=｛x|x=2an,neN*｝,Y=｛yy=4bn,nWN*｝.若等差數(shù)列｛Cn｝的任一項

CnGXAY,Cl是XDY中的最大數(shù)，且一265?10<-125.求｛Cn｝的通項公式.

74

69.(1997全國理，21)已知數(shù)列｛an｝｛bn｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別

為p、q,其中p>q,且pNl,qWl,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列｛cn｝的前n項和，求lim

SnSn1

n

70.(1997全國文，21)設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝前n項的和，已知S3與

3

1

1

14

114

S4的等比

中項為S5,S3與

5

3

S4的等差中項為1,求等差數(shù)列｛an｝的通項an.

71.(1997上海理，22)設(shè)數(shù)列｛an｝的首項al=l,前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tSn-

(2t+3)Sn—l=3t(t>0,n=2,3,4,?)(1)求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列;

Ibn1

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為f(t),作數(shù)列｛bn｝,使bl=l,bn=f(求數(shù)列設(shè)n｝的通項

bn；

(3)求和：blb2-b2b3+b3b4-b4b5?+b2n-lb2n-b2nb2n+l.

)(n=2,3,4,?),

72.(1996全國文，21)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列

的公比q.

73.(1996上海，24)設(shè)An為數(shù)列｛an｝的前n項和，An=(an-1)(n￡N),數(shù)列

2

3

*

｛bn)的通項公式為bn公n+3(nGN).

(I)求數(shù)列｛an)的通項公式；

(II)若de｛al,a2,a3,”，an,?｝n｛bl,b2,b3,”,bn,”｝,則稱d為數(shù)列

｛an｝與｛bn｝的公共項，將數(shù)列｛an｝｛bn｝的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序

排成一個新的數(shù)列｛dn｝,證明數(shù)列｛dn｝的通項公式為dn=32n+l(nGN*)；

(III)設(shè)數(shù)列｛dn｝中第n項是數(shù)列｛bn｝中的第r項，Br為數(shù)列｛bn｝的前r項的

和，74

Dn為數(shù)列｛dn｝的前n項和，Tn=Br+Dn,求limTn

(an)4.n

74.(1995全國理，25)設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項和.(I)證

明：IgSnIgSn2

2<lgSn+l；

(H)是否存在常數(shù)C>0使得你的結(jié)論.lg(SnC)lg(Sn2C)2=lg(Sn+l-C)

成立?并證明

75.(1994全國文，25)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,若對于所有的正整數(shù)n,都有

Sn=n(alan)

2.證明：｛an｝是等差數(shù)列.

76.(1994全國理，25)設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn,并且對所有自

然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

(I)寫出數(shù)列｛an｝的前三項；(H)求數(shù)列｛an｝的通項公式(寫出推證過

程)；

1an1

2anan*(n《N),求lim(bl+b2+”+bn—n)nan1(III)令

bn=

77.(1994上海，26)已知數(shù)列｛an｝滿足條件：al=l,a2=r(r>0)且｛a/an+l｝是

公比為q(q>0)的等比數(shù)列,設(shè)bn=a2n—1+a2n(n=l,2,?)

(I)求出使不等式anan+l+an+lan+2>an+2an+2(n￡N)成立的q的取值范圍；

1

Sn*(II)求bn和lim,其中Sn=bl+b2+,,+bn；n74

(III)設(shè)r=219.2—1,q=

12

,求數(shù)列｛

loglog

2

bn1

2

bn

｝的最大項和最小項的值.

?答案解析L答案：A

解法一：因為an為等差數(shù)列，設(shè)首項為al,公差為d,由已知有5al+10d=20,

Aal+2d=4,即a3=4

解法二：在等差數(shù)列中al+a5=a2+a4=2a3.所以由al+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20,

a3=4.

評述：本題考查數(shù)列的基本知識，在解析二中，比較靈活地運用了等差數(shù)列中項的關(guān)系.

2.答案：C

解析：由S5VS6得al+a2+a3+,,+a5〈al+a2+,,+a5+a6,二@6〉0又S6=S7,

...al+a2+?+a6=a1+a2+,,+a6+a7,a7=0.

由S7>S8,得a8〈0,而C選項S9>S5,即a6+a7+a8+a9>02(a7+a8)>0.由題設(shè)

a7=0,a8〈0,顯然C選項是錯誤的.3.答案：A

解析：設(shè)這個數(shù)列有n項

32

S33a1d2

S3SnSn33a13nd6dn(n1)Snalnd

2

3(ald)34

3a13d(n2)146n(nl)daln390274

；.n=13

4.答案:C

解析：n個月累積的需求量為Sn..?.第n個月的需求量為

n

90an=Sn—Sn—1:(21n—n2—5)—n1

90[21(n-1)-(n-1)2-51=1

30(-n2+15n-9)

an>l.5即滿足條件，

12),

n=7或n=8.

5.答案：Bn90(-n+l5n-9)>1.5,6<n<9(n=l,2,3,”，2

解析：前三項和為12,；.al+a2+a3=12,，a2=S3

3=4

al2a22a3=48,Va2=4,；.al2a3=12,al+a3=8,

把al,a3作為方程的兩根且al<a3,

；.x—8x+12=0,xl=6,x2=2,.,.al—2,a3=6,.'.選B.

6.答案：B

解析：：kGN*,...當(dāng)k=0,1,2,,,7時，利用an+8=an,

數(shù)列｛a3k+l｝可以取遍數(shù)列｛an｝的前8項.

評述：本題考查了數(shù)列的基本知識和考生分析問題、解決問題的能力.

742

7.答案：B

SI(n1)1(n1)解法一：an=an2n1(n2)SnSn1(n2)

/.an=2n—1(nWN)

an1

an2n12n1又an+1—an=2為常數(shù)，W常數(shù)

???｛an｝是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是

等差數(shù)列.

評述：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式

an=Sn-Sn-l的推理能力.但不要忽略al,解法一緊扣定義，解法二較為靈活.

8.答案：C

解析：al+a2+a3+?4-al01=0即101

2(a3+a99)=0,Aa3+a99=0.

9.答案:Dal

1qlal解析：limn

Aal2=l-q,，al2=3

2,Aa=±6

2.

10.答案：D74

解析：由題意得：all

1qa且OV|q|Vl

1

二.一q=a2

1-1.\0<|a2

1-1|<1

XVal>lAKal<2,故選D.

評述：該題主要考查了無窮等比數(shù)列各項和公式的應(yīng)用，挖掘了公式成立的條件.

11.答案：D

解析：Vf(n)=1+111

233n1

Af(n+1)=1111

21

33n13n1

3n11

3n2

???f(n+1)-f(n)=11

3n3n11

3n2

12.答案：D

解析：f(n)為n個連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)之和

f(n+1)=11111

n2n32n2n12n2

/.f(n+1)—f(n)=11

2n11

2n2n11

2n11

2n2.

13.答案：BS1031al(1qlO解析：S)(1q)

532(1q)a51(lq)31321q5313274

q

5

132

q

12

,又al=-1,故limSn

n

allq

11

12

23

，故選B.

評述：本題主要考查等比數(shù)列前n項和求和公式的靈活運用，較好地考查了基本知識以

及思維的靈活性.

14.答案：C

m(m1)

mald302

解法一：由題意得方程組

2m(2m1)2mad1001

2

視m為已知數(shù)，解得d

40m

2

,al

10(m2)

m

2

AS3m3mal

3mal(3m1)

2

d3m

10(m2)

m

2

3m(3m1)40

2

m

2

210

解法二：設(shè)前m項的和為bl,第m+1到2m項之和為b2,第2m+l到3m項之和為b3,則

bl,b2,b3也成等差數(shù)列.

于是bl=30,b2=100-30=70,公差d=70-30=40..>.b3=b2+d=70+40=110

???前3m項之和S3m=bl+b2+b3=210.

解法三:取HFL則al=Sl=30,a2=S2-Sl=70,從而d=a2-al=40.于是

a3=a2+d=70+40=l10.S3=al+a2+a3=210.

評述：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中

是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信

息可知，對任意變化的自然數(shù)m,題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量，在含有74

某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影.

15.答案：C

解法,：應(yīng)用等差數(shù)列中，若m+n=p+q,有am+an=ap+aq這條性質(zhì)來解.

(ala2n1)(2n1)

anbn

2an2bn

ala2nlblb2n1

(blb2n1)(2n1)

2

S2nlT2n1

2(2nl)3(2n1)1

4n26n2

所以lim

anbn

n

46

23

解法二：設(shè)數(shù)列｛an｝的首項為al,公差為d,｛bn)的首項為bl,公差為m,則

SnTn

2al(n1)d2bl(nl)m

2n3n1

注意n是極限中的變量有

anbn

al(nl)dbl(nl)m

2al(n1)d2bl(nl)m

2n3n1

23

lim

n

lim

n

lim

n

lim

n

解法三：：

SnTn

2n

2

2

3nn

，不妨令Sn=2n2,Tn=3n2+n

Aan=Sn—Sn—l-2n2——2(n—1)2-4n—2(n=l時成立)，bn=Tn—Tn—l=6n—2(n=l

成立)

anbn

23

lim

評述：該題的形式新穎，其考查目的也明確，正確解答，可考查其數(shù)學(xué)能力，要是在題

型的選用上，采用解答題的形式，那將是一道十分理想的中等難度的試題.可是作為選74

擇題，其考查的有效性大打折扣，因為有相當(dāng)一部分考生，并沒有用正確的方法卻也得

出了正確答案C.

16.答案：B

解析：由題意知細菌繁殖過程中是一個公比為2的等比數(shù)列，所以al0=alq9=29=512.

評述：該題作為數(shù)學(xué)應(yīng)用題，又是選擇題，問題的實際背景雖然簡單，考查的知識點也集

中明確，但也有?定的深刻性.

解決本題，應(yīng)搞清題意，應(yīng)求的是a9的值，而不是求和.

從題型設(shè)計的角度，木題的立意、取材和構(gòu)題都是不錯的.

17.答案:C

解析：因為當(dāng)n=k時，命題成立可推出n=k+l時成立,所以n=5時命題不成立,則n=4

時，命題也一定不成立，故應(yīng)當(dāng)選C.

18.答案：14085

解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)

律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，，，照此規(guī)律，60歲時的收縮壓

和舒張壓分別為140；85.

評述：本題以實際問題為背景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)

學(xué)思維活動.

19.答案:32

1

解析：因為f(X)=1

2x2,：.f(1-x)=121x22

2x22x22x22x74

1

/.f(x)+f(1—x)=

122

x

2

2

x

1

12

2

x

X

1

2

(22)22

22

x

22

12

22

設(shè)S=f(-5)+f(-4)+?+f(6),則S=f(6)+f(5)+”+f(-5)

???2S=(f(6)+f(-5))+(f(5)+f(-4))+,,+(f(-5)+,,f(6))=62

：.S=f(-5)+f(-4)+,,+f(0)+,,+f(6)=32.

評述：本題利用課本中等差數(shù)列倒序求和為考生提供了一個思維模式，但發(fā)現(xiàn)f(x)+

f(1-x)=

22

有一定難度，需要考生有一定的觀察能力、思維能力及解決問題的能力.

20.答案：4

解析:設(shè)al,a3,all組成的等比數(shù)列公比為q.Aa3=alq=2q,all=alq2=2q2

又???數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列??.all=al+5(a3—al)A2q2=al+5(2q-al)A2q2

=2+5(2q-2),解得q=4

21.答案：

12

解析：由二項式定理，得：an=4n,bn=7n

4n

02

1lim

n4n2

3()4

7

/.lim

an2bn3an4bn

n

lim

427

n

nnn

n

344774

22.答案：1

解析：方法一：???$0—Sn—l=an,又?.?$口為等差數(shù)列，，an為定值./.aa

n為常數(shù)列，q=n

a=l

n1

方法二：an為等比數(shù)列，設(shè)an=alqn—1,且Sn為等差數(shù)列，2s2=S1+S3,2alq+

2al=2al+al+alq+a2

Iq,q2—q=0,q=0(舍)q=l.

23.答案：153

解析：Van+1—an=2,，｛an｝為等差數(shù)列.an=—7(n—1)22,/.al7=-7+

1632=25S(alal7)17725)17

172(

2153.

24.答案：(0,7)

解析：,?TimSn=7,，｛an｝是一個無窮遞縮等比數(shù)列,0<q<Ln

且limSal

nal=7(1—q),又,「OVqVl,A1>1—q>0,n1q=7,/.

A0<7(1-q)<7,BP7>al>0.

25.答案：153

解析：|al|+|a2|+?+|al5|=5+3+l+l+3+5+?+23=153.X26.答案：e274

解析：lim(nn3n1)lim[(1nn2nIn12n)2]n1e2

27.答案：3

2解析：al12,lim(alnan)lim[nn212n2

n(n1)]3

2.

28.答案：1

n

解析：將(n+l)an+12—nan2+an+lan=0化簡得(n+1)an+l=nan.當(dāng)n=l時，

2a2=al=l,：.a2=l

2,n=2時,3a3=2a2=231

2=1,??.a3=,,,可猜測an=311n,數(shù)學(xué)歸納法證明略.

29.答案：blb2?bn=blb2?bl7-n(n<17,n￡N*)

解析：在等差數(shù)列｛an｝中，由alO=O,得

al+al9=a2+al8=?=an+a20—n=an+l+al9—n=2al0=0,所以al+a2+?+an

+?+al9=0,

即al+a2+”+an=-al9—al8—?—an+1,

又,.,al=-al9,a2=-al8,al9—n=—an+1

Aal+a2+?+an=—al9—al8—?—an+l=al+a2+?+al9—n.若a9=0,同理可得

al+a2+?+an=aH-a2+al7-n.

相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：blb2?bn=blb2?bl7-n(n<17,nEN*)X30.答

案：e-274

n22n

解析：lim(rml2n(22)n2e2.

nn2)lim(nn2)nn2)]

評述：本題主要考查靈活運用數(shù)列極限公式的能力及代數(shù)式的變形能力.

31.答案：9

解法一：設(shè)公差為d,由題設(shè)有3(al+3d)=7(al+6d),

解得d=-4

33al<0,解不等式an>0,

即al+(n—1)(—4

33al)>0得n<37

4,則nW9.

當(dāng)nW9時，an>0,同理可得n210時an〈O.

所以n=9時，Sn取得最大值.

解法二：Vd=-4

33al

AS2a

n=nan(nl)n(n1)

1+135

2dnal2(4

33al)33(n22n)=2al2

33[(n35

4)2(35

4)]V-2al

33<0,，(n-352

4)最小時，Sn最大.

又neN,n=9.

評述：本題考查等差數(shù)列的基本知識，解法二的計算量太大.

32.答案：274

解析：ba

n=nan1

2,3an+l=an/.ba

n=2an+l,n1

a1

n3

Abl+b2+?+bn=2(al+a2+?+an)—2al*.*{al

n}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列???lim(bl+b2+,,+b2

n)=lim[2(al+a2+,,+an)-2al]=23232=2.

nn11—

3

33.答案：-4bn

解析：lim4

Iim4n4

nanbnlim4n(bn14

a)llim[(a

)nl]nb

X34.答案：e42n

解析：lim(l2n(2)]2)4e4

nn)

nn.

35.答案：-2〈r<0

解析：Vliml=l,又?.Tim[1+(r+1)n]=1,

nn

Alim{[1+(r+1)n]—}=1—1=0,即n

nlimn(r+1)=0.則一l<r+l〈l,因此一2<r<0.

X36.答案：eIn2n2

解析：lim(l2lim[(1lnn[lim(lIn]lim

nnele

nn)n

nn)]nn).

74

37.答案：1

1

log2解析：log3x=3=—Iog32=log312,故x=12,

1

于是x+x2+x3+,,+xn+,,二x

lxll

21.

派38.答案：y=54.8(1+x%)8

解析：因為yl=54.8,y2解4.8(1+x%),y3=54.8(1+x%)2

從1992年底到2000年底共經(jīng)過8年，因此有：y=54.8(1+x%)8

39.(I)證明：記rn為圓On的半徑，則rl=l

2tan30°=361.

rn1rn

rn1rn=sin30°=12,所以rn=rn-l(n22)31

于是al=nrl=212

12,an

an1(rnrn1)219

故｛an｝成等比數(shù)列.

1

9(II)解：因為an=()n—lai(n￡N*)

所以lim(al+a2+?+an)=

nall1

931322.

評述：本題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、平面幾何、三角函數(shù)等基本知識，考查邏輯思維

能力與解決問題的能力.

74

※的.解：(1)此人在A、B公司第n年的月工資數(shù)分別為:

an=1500+2303(n-1)(neN*)

bn=2000(1+5%)n-1(neN*)

(2)若該人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(al+a2+?+al0)

=304200(元)

若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(bl+b2+?+bl0)仁301869

(元)

因為在A公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇A公司.

(3)問題等價于求Cn=an—bn=1270+230n—20003i.05n—1(nGN*)的最大值.當(dāng)

n》2時，Cn-Cn-1=230-10031.05n-2

當(dāng)Cn-Cn-DO,即230—KKT1.05n-2>0時,1.05n-2<2.3,得n〈19.1

因此，當(dāng)2WnW19時，Cn-KCn；于是當(dāng)n220時，CnWCn-1.

.,.C19=al9-bl9^827(元)

即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多827元.

評述：本題主要考查數(shù)列等知識，考查建立數(shù)學(xué)模型、運用所學(xué)知識解決實際問題的能

力.

b

nX41.(I)解：第1位職工的獎金al=,

第2位職工的獎金a2=l

n(1—1

n)b,74

第3位職工的獎金a3=

In

Cl-

in

)2b,

In

In

第k位職工的獎金ak=(1-)

k-1

b.

(I