理論力學第十二章壓桿穩(wěn)定

第二章中，軸向拉、壓桿的強度條件為例如：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm.鋼的許用應力為[]=196MPa.按強度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[F]=A[]=3.92kN§12–1概述

實際上，其承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓強度，而是與受壓時變彎有關.當加的軸向壓力達到40N時，鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形，喪失了承載能力.一、引言當前1頁，總共73頁。(a)(b)(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),

高為3cm，當荷載重量為6kN

時桿還不致破壞。(b):木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細長壓桿），當壓力為0.1KN時桿被壓彎，導致破壞。

(a)和(b)竟相差60倍，為什么？

細長壓桿的破壞形式：突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而使結構喪失工件能力，并非因強度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為穩(wěn)定性破壞。當前2頁，總共73頁。

工程中有些構件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作.構件的承載能力①強度②剛度③穩(wěn)定性當前3頁，總共73頁。當前4頁，總共73頁。二、工程實例翻斗車液壓桿當前5頁，總共73頁。內(nèi)燃機、空氣壓縮機的連桿當前6頁，總共73頁。高層建筑當前7頁，總共73頁。高架鐵路橋當前8頁，總共73頁。案例1上世紀初，享有盛譽的美國橋梁學家?guī)彀兀ㄔ谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽?907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀十大工程慘劇之一.三、失穩(wěn)破壞案例當前9頁，總共73頁。案例22000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要當前10頁，總共73頁。四、平衡的穩(wěn)定性平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）1、小球平衡的三種狀態(tài)當前11頁，總共73頁。穩(wěn)定平衡當前12頁，總共73頁。不穩(wěn)定的平衡當前13頁，總共73頁。臨界狀態(tài)當前14頁，總共73頁。2、對于細長壓桿：（1）當F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在直線狀態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。

當前15頁，總共73頁。（2）當F增大到一定的臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持微彎的平衡狀態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是

不穩(wěn)定平衡。當前16頁，總共73頁。壓桿喪失其直線狀態(tài)下的平衡而過度為曲線平衡，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱屈曲。

（3）當軸向壓力超過臨界壓力時，壓桿將失穩(wěn)破壞。當前17頁，總共73頁。

穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）受壓直桿平衡的三種形式當前18頁，總共73頁。結論—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力:Fcr過度對應的壓力當前19頁，總共73頁。其它構件失穩(wěn)當前20頁，總共73頁。假定壓力以達到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)且服從虎克定律，如圖，從撓曲線入手，求臨界力。①、彎矩：②、撓曲線近似微分方程：EIFkcr=2:令xwFcrFcrMwxwFcrFcrL1、兩端鉸支細長壓桿的臨界力§12–1壓桿臨界荷載的歐拉公式當前21頁，總共73頁。③、微分方程的解：④、確定微分方程常數(shù)：臨界力F

cr是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。（n=0、1、2、3……）——兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷的計算公式：歐拉公式當前22頁，總共73頁。當時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.當前23頁，總共73頁。2其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支一端自由，一端固定一端鉸支，一端固定兩端固定其他約束類型：當前24頁，總共73頁。Fcrl兩端鉸支當前25頁，總共73頁。一端自由，一端固定lFcr2l當前26頁，總共73頁。兩端固定lFcrl/4l/4l/2l當前27頁，總共73頁。一端鉸支，一端固定Fcrl0.3l0.7l當前28頁，總共73頁。臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0當前29頁，總共73頁。兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表9-1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度系數(shù)

=1=0.7=0.5=2當前30頁，總共73頁。5.討論為長度系數(shù)

l為相當長度（1）相當長度l的物理意義壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l.

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度.綜上所述：其它桿端約束條件下細長壓桿的臨界壓力的一般形式:當前31頁，總共73頁。zyx取Iy，Iz中小的一個計算臨界力.若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界壓力.I為其相應中性軸的慣性矩.即分別用Iy，Iz

計算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應取最小的形心主慣性矩.當前32頁，總共73頁。歐拉臨界力公式中的Imin

如何確定？當前33頁，總共73頁。當前34頁，總共73頁。當前35頁，總共73頁。例圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因為又可知（1）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。當前36頁，總共73頁。例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材料為Q235鋼，E＝200GPa.試計算連桿的臨界載荷Fcr

.解：1、細長壓桿的臨界載荷2、從強度分析當前37頁，總共73頁。壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應力可按=F/A計算.

§12-3臨界應力與臨界應力總圖

一、臨界應力歐拉公式臨界應力按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為當前38頁，總共73頁。i

為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.稱為壓桿的柔度（長細比），集中地反映了壓桿的長度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力的影響.越大，相應的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn).令令則則若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應力cr。當前39頁，總共73頁。（細長壓桿臨界柔度）例：Q235鋼，二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍:，稱大柔度桿（細長壓桿）當前40頁，總共73頁。1、大柔度桿（細長壓桿）采用歐拉公式計算。2：中柔度桿（中長壓桿）采用經(jīng)驗公式計算。——直線型經(jīng)驗公式臨界壓力：臨界壓應力：材料a(MPa)b(MPa)硅鋼5773.7410060鉻鉬鋼9805.29550硬鋁3722.14500鑄鐵331.91.453松木39.20.19959是與材料性能有關的常數(shù)。直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。當前41頁，總共73頁。3：小柔度桿（短粗壓桿）只需進行強度計算。三、臨界應力總圖：臨界應力與柔度之間的變化關系圖。slPl細長壓桿?！本€型經(jīng)驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿當前42頁，總共73頁。細長桿—發(fā)生彈性屈曲(p)中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(<s)粗短桿中長桿細長桿當前43頁，總共73頁。中柔度桿——拋物線型經(jīng)驗公式是與材料性能有關的常數(shù)。拋物線公式適合于結構鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。四、注意問題：1、計算臨界力、臨界應力時，先計算柔度，判斷所用公式。2、對局部面積有削弱的壓桿，計算臨界力、臨界應力時，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計算。但進行強度計算時需按削弱后的尺寸計算。當前44頁，總共73頁。例：如圖所示圓截面壓桿，E=210GPa，σp=200MPa，σs=235MPa,σcr=310-1.12λ(MPa)

1.分析哪一根壓桿的臨界載荷比較大；2.已知：d=160mm。求：二桿的臨界載荷

=l/i,a=（1×5）/（d/4）=20/d,b=（0.5×9）/（d/4）=18/d.解：1、判斷臨界荷載大小a＞bFcra

＜Fcrb9m當前45頁，總共73頁。a=20/d＝20/0.16=125＞λp,屬于細長桿b=18/d＝18/0.16=112.5>λp，屬于細長桿2、計算各桿臨界力的大小當前46頁，總共73頁。Fcr——壓桿的臨界壓力nst——壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿穩(wěn)定條件：

§12-4壓桿穩(wěn)定計算與合理設計F——實際工作壓力n—工作安全因數(shù)nst—規(guī)定安全因數(shù)1、安全系數(shù)法:壓桿的穩(wěn)定計算通常采用安全因數(shù)法和折減系數(shù)法。穩(wěn)定性校核和確定許可荷載用安全因數(shù)法比較方便，截面設計用折減系數(shù)法比較方便

當前47頁，總共73頁。穩(wěn)定計算步驟（1）計算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計算臨界應力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷.當前48頁，總共73頁。例題9-4：空壓機活塞桿由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，F(xiàn)max＝41.6kN，規(guī)定安全系數(shù)nst＝8～10。試校核其穩(wěn)定性。※活塞桿兩端為鉸支，＝1。當前49頁，總共73頁。中柔度桿，所以用直線公式，查表a＝461MPa，b＝2.568MPa。當前50頁，總共73頁。當前51頁，總共73頁。當前52頁，總共73頁。當前53頁，總共73頁。當前54頁，總共73頁。2、折減系數(shù)法:－許用應力；－折減系數(shù)，與壓桿的柔度和材料有關。此方法涉及規(guī)范較多，需查表。當前55頁，總共73頁。例：一等直壓桿長L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F(xiàn)=60kN，材料為A3鋼，兩端為鉸支座。試進行穩(wěn)定校核。1、nst=2；2、〔σ〕=140MPa解：1、安全系數(shù)法：當前56頁，總共73頁。2、折減系數(shù)法查表——λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。當前57頁，總共73頁。例：圖示起重機，AB桿為圓松木，長L=6m，[]=11MPa，直徑為：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。（xy面兩端視為鉸支；xz

面一端視為固定，一端視為自由）解：折減系數(shù)法1、最大柔度xy面內(nèi)，z=1.0AF1BWF2xyzozy面內(nèi)，y

=2.0當前58頁，總共73頁。2、求折減系數(shù)3、求許用壓力當前59頁，總共73頁。例一連桿尺寸如圖，材料為A3鋼，承受的軸向壓力為P=120KN，取穩(wěn)定安全系數(shù)nw=2，校核連桿的穩(wěn)定性。在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度l=940。在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度l1=880。zyxb=25h=60當前60頁，總共73頁。在xy面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度l=940。zyxb=25h=60解：(1)求柔度當前61頁，總共73頁。在xz面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度l1=880。zyxb=25h=60桿在xz面內(nèi)先失穩(wěn)，應用