數(shù)學(xué)建模中估計(jì)模型

關(guān)于數(shù)學(xué)建模中估計(jì)模型第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

一、自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)的。

ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發(fā)展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。尤其在金融時(shí)間序列分析中。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時(shí)間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。但在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異方差呢？會(huì)是怎樣出現(xiàn)的？

第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時(shí)間序列模型中的擾動(dòng)方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時(shí)，大的及小的預(yù)測(cè)誤差會(huì)大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測(cè)誤差的方差取決于后續(xù)擾動(dòng)項(xiàng)的大小。

從事于股票價(jià)格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時(shí)間序列預(yù)測(cè)的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對(duì)這些變量的預(yù)測(cè)能力隨時(shí)期的不同而有相當(dāng)大的變化。預(yù)測(cè)的誤差在某一時(shí)期里相對(duì)地小，而在某一時(shí)期里則相對(duì)地大，然后，在另一時(shí)期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場(chǎng)的波動(dòng)性易受謠言、政局變動(dòng)、政府貨幣與財(cái)政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測(cè)誤差的方差中有某種相關(guān)性。為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是時(shí)刻

t的ut的方差（=t2

）依賴于時(shí)刻(t1)的殘差平方的大小，即依賴于

ut2-1

。

第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（一）

ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(9.1.1)

并假設(shè)在時(shí)刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動(dòng)項(xiàng)

ut的分布是：

~(9.1.2)

也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。

由于(9.1.2)中ut的方差依賴于前期的平方擾動(dòng)項(xiàng)，我們稱它為ARCH(1)過程：然而，容易加以推廣。第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

例如，一個(gè)ARCH

(p)過程可以寫為：（9.1.3）

如果擾動(dòng)項(xiàng)方差中沒有自相關(guān)，就會(huì)有

H0：這時(shí)

從而得到誤差方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗(yàn)上述虛擬假設(shè)：（9.1.4）

其中，?t表示從原始回歸模型（9.1.1）估計(jì)得到的OLS殘差。第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（二）GARCH(1,1)模型常常有理由認(rèn)為

ut的方差依賴于很多時(shí)刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。這里的問題在于，我們必須估計(jì)很多參數(shù)，而這一點(diǎn)很難精確的做到。但是如果我們能夠意識(shí)到方程(6.1.3)不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個(gè)或兩個(gè)t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-

dasticitymodel，簡(jiǎn)記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個(gè)不同的設(shè)定：一個(gè)是條件均值，另一個(gè)是條件方差。

第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH(1,1)模型中：

(9.1.5)(9.1.6)其中：xt是1×(k+1)維外生變量向量，

是(k+1)×1維系數(shù)向量。

(9.1.5)中給出的均值方程是一個(gè)帶有誤差項(xiàng)的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測(cè)方差，所以它被稱作條件方差。第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

(6.1.6)中給出的條件方差方程是下面三項(xiàng)的函數(shù)：

1．常數(shù)項(xiàng)（均值）：

2．用均值方程(6.1.5)的殘差平方的滯后來度量從前期得到的波動(dòng)性的信息：ut2-1（ARCH項(xiàng)）。

3．上一期的預(yù)測(cè)方差：

t2-1

（GARCH項(xiàng)）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第一項(xiàng)）和階數(shù)為1的ARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第二項(xiàng)）。一個(gè)普通的ARCH模型是GARCH模型的一個(gè)特例，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測(cè)方差t2的說明。

第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

在EViews中ARCH模型是在誤差是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計(jì)的。例如，對(duì)于GARCH(1,1)，t

時(shí)期的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：(9.1.7)

其中(9.1.8)

這個(gè)說明通常可以在金融領(lǐng)域得到解釋，因?yàn)榇砩袒蛸Q(mào)易商可以通過建立長(zhǎng)期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項(xiàng)）和在以前各期中觀測(cè)到的關(guān)于變動(dòng)性的信息（ARCH項(xiàng)）來預(yù)測(cè)本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會(huì)增加對(duì)下期方差的預(yù)期。這個(gè)模型還包括了經(jīng)常可以在財(cái)務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動(dòng)組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進(jìn)一步的巨大變化。第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

有兩個(gè)可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個(gè)模型：

1．如果用條件方差的滯后遞歸地替代（9.1.6）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后殘差平方的加權(quán)平均：

（9.1.9）可以看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，殘差的加權(quán)條件方差。第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

2．設(shè)vt=ut2t2。用其替代方差方程（9.1.6）中的方差并整理，得到關(guān)于平方誤差的模型：

（9.1.10）因此，平方誤差服從一個(gè)異方差A(yù)RMA(1,1)過程。決定波動(dòng)沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個(gè)根非常接近1，所以沖擊會(huì)逐漸減弱。第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一（三）方差方程的回歸因子

方程(6.1.6)可以擴(kuò)展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（9.1.11）注意到從這個(gè)模型中得到的預(yù)測(cè)方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負(fù)的預(yù)測(cè)值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：（9.1.12）

第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計(jì)，記作GARCH(p,q)。其方差表示為：（9.1.13）

這里，p是GARCH項(xiàng)的階數(shù)，q是ARCH項(xiàng)的階數(shù)。

第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一（四）ARCH-M模型金融理論表明具有較高可觀測(cè)到的風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)可以獲得更高的平均收益，其原因在于人們一般認(rèn)為金融資產(chǎn)的收益應(yīng)當(dāng)與其風(fēng)險(xiǎn)成正比，風(fēng)險(xiǎn)越大，預(yù)期的收益就越高。這種利用條件方差表示預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的模型被稱為ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中把條件方差引進(jìn)到均值方程中:

（9.1.14）

ARCH-M模型的另一種不同形式是將條件方差換成條件標(biāo)準(zhǔn)差：或取對(duì)數(shù)

第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一ARCH-M模型通常用于關(guān)于資產(chǎn)的預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)緊密相關(guān)的金融領(lǐng)域。預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)系數(shù)是風(fēng)險(xiǎn)收益交易的度量。例如，我們可以認(rèn)為某股票指數(shù)，如上證的股票指數(shù)的票面收益（returet）依賴于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，通貨膨脹率t以及條件方差：

這種類型的模型（其中期望風(fēng)險(xiǎn)用條件方差表示）就稱為GARCH-M模型。第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一二、在EViews中估計(jì)ARCH模型

估計(jì)GARCH和ARCH模型，首先選擇Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對(duì)話框。(EViews4.0)的對(duì)話框第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一(EViews5)的對(duì)話框第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

與選擇估計(jì)方法和樣本一樣，需要指定均值方程和方差方程。

（一）均值方程

在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個(gè)更復(fù)雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。如果解釋變量的表達(dá)式中含有ARCH—M項(xiàng)，就需要點(diǎn)擊對(duì)話框右上方對(duì)應(yīng)的按鈕。EViews4.0中，只有3個(gè)選項(xiàng)：

1.選項(xiàng)None表示方程中不含有ARCH?M項(xiàng)；

2.選項(xiàng)Std.Dev.表示在方程中加入條件標(biāo)準(zhǔn)差；

3.選項(xiàng)Variance則表示在方程中含有條件方差

2。

而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了這三個(gè)選項(xiàng)外，還添加了一個(gè)新的選項(xiàng)：Log(Var)，它表示在均值方程中加入條件方差的對(duì)數(shù)ln(

2)作為解釋變量。

第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（二）方差方程

EViews5的選擇模型類型列表

（1）在model下拉框中可以選擇所要估計(jì)的ARCH模型的類型，需要注意，EViews5中的模型設(shè)定下拉菜單中的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中，并沒有這個(gè)選項(xiàng)，而是直接將幾種類型列在對(duì)話框中。第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（3）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進(jìn)行方差回歸時(shí)總會(huì)包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)作為解釋變量，所以不必在變量表中列出C。

（2）設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的階數(shù)。缺省的形式為包含一階ARCH項(xiàng)和一階GARCH項(xiàng)的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。如果要估計(jì)一個(gè)非對(duì)稱的模型，就應(yīng)該在Threshold編輯欄中輸入非對(duì)稱項(xiàng)的數(shù)目，缺省的設(shè)置是不估計(jì)非對(duì)稱的模型，即該選項(xiàng)的個(gè)數(shù)為0。仍需注意的是，這個(gè)Threshold編輯欄也是EViews5新增的選項(xiàng)，即EViews5可以估計(jì)含有多個(gè)非對(duì)稱項(xiàng)的非對(duì)稱模型。在EViews4.0中，并沒有這個(gè)選項(xiàng)，非對(duì)稱模型中的非對(duì)稱項(xiàng)只能有1項(xiàng)。

第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（4）Error組合框是EViews5新增的對(duì)話框，它可以設(shè)定誤差的分布形式，缺省的形式為Normal（Gaussian），備選的選項(xiàng)有：Student’s-t，GeneralizedError（GED）、Student’s-twithfixeddf.和GEDwithfixedparameter。需要注意，選擇了后兩個(gè)選項(xiàng)的任何一項(xiàng)都會(huì)彈出一個(gè)選擇框，需要在這個(gè)選擇框中分別為這兩個(gè)分布的固定參數(shù)設(shè)定一個(gè)值。在EViews4.0中，并沒有Error選項(xiàng)，誤差的條件分布形式默認(rèn)為Normal（Gaussian）。

第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（三）估計(jì)選項(xiàng)（Options）

EViews為我們提供了可以進(jìn)入許多估計(jì)方法的設(shè)置。只要點(diǎn)擊Options按鈕并按要求填寫對(duì)話即可。

第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

1.回推(Backcasting)

在缺省的情況下，MA初始的擾動(dòng)項(xiàng)和GARCH項(xiàng)中要求的初始預(yù)測(cè)方差都是用回推方法來確定初始值的。如果不選擇回推算法，EViews會(huì)設(shè)置殘差為零來初始化MA過程，用無條件方差來設(shè)置初始化的方差和殘差值。但是經(jīng)驗(yàn)告訴我們，使用回推指數(shù)平滑算法通常比使用無條件方差來初始化GARCH模型的效果要理想。

2.系數(shù)協(xié)方差

(CoefficientCovariance)

點(diǎn)擊HeteroskedasticityConsistentCovariances計(jì)算極大似然（QML）協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差。如果懷疑殘差不服從條件正態(tài)分布，就應(yīng)該使用這個(gè)選項(xiàng)。只有選定這一選項(xiàng)，協(xié)方差的估計(jì)才可能是一致的，才可能產(chǎn)生正確的標(biāo)準(zhǔn)差。注意如果選擇該項(xiàng)，參數(shù)估計(jì)將是不變的，改變的只是協(xié)方差矩陣。第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

3.導(dǎo)數(shù)方法

(Derivatives)

EViews現(xiàn)在用數(shù)值導(dǎo)數(shù)方法來估計(jì)ARCH模型。在計(jì)算導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，可以控制這種方法達(dá)到更快的速度（較大的步長(zhǎng)計(jì)算）或者更高的精確性（較小的步長(zhǎng)計(jì)算）。

4.迭代估計(jì)控制

(Iterativeprocess)

當(dāng)用默認(rèn)的設(shè)置進(jìn)行估計(jì)不收斂時(shí)，可以通過改變初值、增加迭代的最大次數(shù)或者調(diào)整收斂準(zhǔn)則來進(jìn)行迭代控制。

5．算法選擇

(Optimizationalgorithm)

ARCH模型的似然函數(shù)不總是正規(guī)的，所以這時(shí)可以利用選擇迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛頓）使其達(dá)到收斂。第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一三、ARCH的估計(jì)結(jié)果

在均值方程中和方差方程中估計(jì)含有解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)GARCH(1,1)模型，

(9.3.1)

例1

為了檢驗(yàn)股票價(jià)格指數(shù)的波動(dòng)是否具有條件異方差性，我們選擇了滬市股票的收盤價(jià)格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因?yàn)樯虾９善笔袌?chǎng)不僅開市早，市值高，對(duì)于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價(jià)格波動(dòng)具有一定代表性。在這個(gè)例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價(jià)格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計(jì)時(shí)，對(duì){sp}進(jìn)行自然對(duì)數(shù)處理，即將序列{log(sp)}作為因變量進(jìn)行估計(jì)。第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

由于股票價(jià)格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程——隨機(jī)游動(dòng)（RandomWalk）模型描述，所以本例進(jìn)行估計(jì)的基本形式為：

首先利用最小二乘法，估計(jì)了一個(gè)普通的回歸方程，結(jié)果如下：(9.3.2)

（15531）

R2=0.994對(duì)數(shù)似然值=2874AIC=-5.51SC=-5.51

第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

可以看出，這個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，而且，擬和的程度也很好。但是對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行異方差的White和ARCH-LM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)q=3時(shí)的ARCH-LM檢驗(yàn)的相伴概率，即P值接近于0，White檢驗(yàn)的結(jié)果類似，其相伴概率，即P值也接近于0，這說明誤差項(xiàng)具有條件異方差性。第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

股票價(jià)格指數(shù)方程回歸殘差

但是觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動(dòng)的“成群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)非常?。ɡ?000年），在其他一些較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)非常大（例如1999年），這說明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一ARCH的檢驗(yàn)1.ARCHLM檢驗(yàn)

Engle(1982)提出對(duì)殘差中自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)進(jìn)行拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)(Lagrangemultipliertest)，即LM檢驗(yàn)。異方差的這種特殊定義是由于對(duì)許多金融時(shí)間序列的觀測(cè)而提出的，殘差的大小呈現(xiàn)出與近期殘差值有關(guān)。ARCH自身不能使標(biāo)準(zhǔn)LS推理無效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。

第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一ARCHLM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由一個(gè)輔助檢驗(yàn)回歸計(jì)算。為檢驗(yàn)原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運(yùn)行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個(gè)對(duì)常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)所有滯后平方殘差聯(lián)合顯著性所作的檢驗(yàn)。Obs*R2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,它是觀測(cè)值數(shù)T乘以檢驗(yàn)回歸R2。第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一2.

平方殘差相關(guān)圖

顯示直到所定義的滯后階數(shù)的平方殘差?t2的自相關(guān)性和偏自相關(guān)性，計(jì)算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量。平方殘差相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)應(yīng)為0，且Q統(tǒng)計(jì)量應(yīng)不顯著。可適用于使用LS，TSLS，非線性LS估計(jì)方程。顯示平方殘差相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量，選擇View/ResidualTests/CorrelogramSquaredResidual，在打開的滯后定義對(duì)話框，定義計(jì)算相關(guān)圖的滯后數(shù)。第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

因此，對(duì)式(9.3.2)進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p=3時(shí)的ARCHLM檢驗(yàn)結(jié)果：

此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說明式（9.1.2）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。還可以計(jì)算式（9.1.2）的殘差平方的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

重新建立序列的GARCH（1,1）模型，結(jié)果如下：均值方程：

（23213）方差方程：

（11.44）（33.36）對(duì)數(shù)似然值=3006AIC=-5.76SC=-5.74

第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

方差方程中的ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且對(duì)數(shù)似然值有所增加，同時(shí)AIC和SC值都變小了，這說明這個(gè)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行條件異方差的ARCH—LM檢驗(yàn)，相伴概率為P=0.924，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。ARCH和GARCH的系數(shù)之和等于0.982，小于1，滿足參數(shù)約束條件。由于系數(shù)之和非常接近于1，表明一個(gè)條件方差所受的沖擊是持久的，即它對(duì)所有的未來預(yù)測(cè)都有重要作用，這個(gè)結(jié)果在高頻率的金融數(shù)據(jù)中經(jīng)?？梢钥吹?。第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

ARCH估計(jì)的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果；下半部分，即方差方程包括系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤差，z—統(tǒng)計(jì)量和方差方程系數(shù)的P值。在方程(9.1.6)中ARCH的參數(shù)對(duì)應(yīng)于，GARCH的參數(shù)對(duì)應(yīng)于。在表的底部是一組標(biāo)準(zhǔn)的回歸統(tǒng)計(jì)量，使用的殘差來自于均值方程。

注意如果在均值方程中不存在回歸量，那么這些標(biāo)準(zhǔn)，例如R2也就沒有意義了。

第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

例2

估計(jì)我國股票收益率的ARCH—M模型。選擇的時(shí)間序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價(jià)格收盤指數(shù){sp}，股票的收益率是根據(jù)公式：，即股票價(jià)格收盤指數(shù)對(duì)數(shù)的差分計(jì)算出來的。ARCH—M模型：，估計(jì)出的結(jié)果是:(-2.72)(2.96)(5.43)(12.45)(29.78)

對(duì)數(shù)似然值=3010AIC=-5.77SC=-5.74

在收益率方程中包括t

的原因是為了在收益率的生成過程中融入風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量，這是許多資產(chǎn)定價(jià)理論模型的基礎(chǔ)——“均值方程假設(shè)”的含義。在這個(gè)假設(shè)下，

應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果

=0.27，因此我們預(yù)期較大值的條件標(biāo)準(zhǔn)差與高收益率相聯(lián)系。估計(jì)出的方程的所有系數(shù)都很顯著。并且系數(shù)之和小于1，滿足平穩(wěn)條件。均值方程中t

的系數(shù)為0.27，表明當(dāng)市場(chǎng)中的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)增加一個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致收益率也相應(yīng)的增加0.27個(gè)百分點(diǎn)。第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一四、ARCH模型的視圖與過程

一旦模型被估計(jì)出來，EViews會(huì)提供各種視圖和過程進(jìn)行推理和診斷檢驗(yàn)。

（一）ARCH模型的視圖

1.Actual,Fitted,Residual

窗口列示了各種殘差形式，例如，表格，圖形和標(biāo)準(zhǔn)殘差。

2.條件SD圖

顯示了在樣本中對(duì)每個(gè)觀測(cè)值繪制向前一步的標(biāo)準(zhǔn)偏差t。t

時(shí)期的觀察值是由t-1期可得到的信息得出的預(yù)測(cè)值。

第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

3.協(xié)方差矩陣

顯示了估計(jì)的系數(shù)協(xié)方差矩陣。大多數(shù)ARCH模型（ARCH—M模型除外）的矩陣都是分塊對(duì)角的，因此均值系數(shù)和方差系數(shù)之間的協(xié)方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常數(shù)，那么在協(xié)方差矩陣中就存在兩個(gè)C；第一個(gè)C是均值方程的常數(shù)，第二個(gè)C是方差方程的常數(shù)。

4.

系數(shù)檢驗(yàn)

對(duì)估計(jì)出的系數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)檢驗(yàn)。注意到在結(jié)果的擬極大似然解釋下，似然比值檢驗(yàn)是不恰當(dāng)?shù)?。第四十頁，共七十五頁，編輯?023年，星期一

5.殘差檢驗(yàn)/相關(guān)圖—Q—統(tǒng)計(jì)量

顯示了標(biāo)準(zhǔn)殘差的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個(gè)窗口可以用于檢驗(yàn)均值方程中的剩余的序列相關(guān)性和檢查均值方程的設(shè)定。如果均值方程是被正確設(shè)定的，那么所有的Q—統(tǒng)計(jì)量都不顯著。

6.殘差檢驗(yàn)/殘差平方相關(guān)圖

顯示了標(biāo)準(zhǔn)殘差平方的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個(gè)窗口可以用于檢驗(yàn)方差方程中剩余的ARCH項(xiàng)和檢查方差方程的指定。如果方差方程是被正確指定的，那么所有的Q—統(tǒng)計(jì)量都不顯著。第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

7.殘差檢驗(yàn)/直方圖—正態(tài)檢驗(yàn)

顯示了描述統(tǒng)計(jì)量和標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方圖。可以用JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)殘差是否服從正態(tài)分布。如果標(biāo)準(zhǔn)殘差服從正態(tài)分布，那么JB統(tǒng)計(jì)量就不是顯著的。例如，用GARCH(1,1)模型擬合GDP的增長(zhǎng)率GDPR的標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方圖如下：

JB統(tǒng)計(jì)量拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。

第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

8.殘差檢驗(yàn)/ARCHLM拉格朗日乘子檢驗(yàn)

通過拉格朗日乘子檢驗(yàn)來檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)殘差中是否顯示了額外的ARCH項(xiàng)。如果正確設(shè)定方差方程，那么在標(biāo)準(zhǔn)殘差中就不存在ARCH項(xiàng)。第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

（二）ARCH模型的方法

1．構(gòu)造殘差序列

將殘差以序列的名義保存在工作文件中，可以選擇保存普通殘差

ut或標(biāo)準(zhǔn)殘差

ut/t

。殘差將被命名為RESID1，RESID2等等?？梢渣c(diǎn)擊序列窗口中的name按鈕來重新命名序列殘差。

2．構(gòu)造GARCH方差序列

將條件方差t2以序列的名義保存在工作文件中。條件方差序列可以被命名為GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/ConditionalSDGragh所示的條件標(biāo)準(zhǔn)偏差。第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

3．預(yù)測(cè)

例3

假設(shè)我們估計(jì)出了如下的ARCH(1)(采用Marquardt方法)模型：(ARCH_CPI方程，留下2001年10月—2001年12月的3個(gè)月做檢驗(yàn)性數(shù)據(jù))第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

使用估計(jì)的ARCH模型可以計(jì)算因變量的靜態(tài)的和動(dòng)態(tài)的預(yù)測(cè)值，和它的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差和條件方差。為了在工作文件中保存預(yù)測(cè)值，要在相應(yīng)的對(duì)話欄中輸入名字。如果選擇了Dogragh選項(xiàng)EViews就會(huì)顯示預(yù)測(cè)值圖和兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的帶狀圖。第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

估計(jì)期間是1/03/1998-9/28/2001，預(yù)測(cè)期間是10/02/2001-12/31/2001左圖表示了由均值方程和SP的預(yù)測(cè)值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差帶。第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一五、非對(duì)稱ARCH模型

對(duì)于資產(chǎn)而言，在市場(chǎng)中我們經(jīng)常可以看到向下運(yùn)動(dòng)通常伴隨著比同等程度的向上運(yùn)動(dòng)更強(qiáng)烈的波動(dòng)性。為了解釋這一現(xiàn)象，Engle（1993）描述了如下形式的對(duì)好消息和壞消息的非對(duì)稱信息曲線：波動(dòng)性

0

信息

EViews估計(jì)了兩個(gè)考慮了波動(dòng)性的非對(duì)稱沖擊的模型：TARCH和EGARCH。

第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一（一）

TARCH模型

TARCH或者門限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)獨(dú)立的引入。條件方差指定為：(9.5.1)其中，當(dāng)

ut<0

時(shí)，dt

=1；否則，

dt

=0

。

在這個(gè)模型中，好消息(ut>0)和壞消息(ut<0)對(duì)條件方差有不同的影響：好消息有一個(gè)

的沖擊；壞消息有一個(gè)對(duì)+

的沖擊。如果0

，則信息是非對(duì)稱的，如果

>0

，我們說存在杠桿效應(yīng)，非對(duì)稱效應(yīng)的主要效果是使得波動(dòng)加大；如果

<0

，則非對(duì)稱效應(yīng)的作用是使得波動(dòng)減小。許多研究人員發(fā)現(xiàn)了股票價(jià)格行為的非對(duì)稱的實(shí)例。負(fù)的沖擊似乎比正的沖擊更容易增加波動(dòng)。因?yàn)檩^低的股價(jià)減少了相對(duì)公司債務(wù)的股東權(quán)益，股價(jià)的大幅下降增加了公司的杠桿作用從而提高了持有股票的風(fēng)險(xiǎn)。第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

估計(jì)TARCH模型，EViews4.0要以一般形式指定ARCH模型，但是應(yīng)該點(diǎn)擊ARCHSpecification目錄下的TARCH(asymmetric)按鈕，而不是選擇GARCH選項(xiàng)。EViews5要在Threshold選項(xiàng)中填“1”，表明有1個(gè)非對(duì)稱項(xiàng)，可以有多個(gè)。

例4

由于貨幣政策及其它政策的實(shí)施力度以及時(shí)滯導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)中出現(xiàn)了不同于貨幣政策開始實(shí)施階段的條件因素，導(dǎo)致貨幣政策發(fā)生作用的環(huán)境發(fā)生了變化，此時(shí)，貨幣政策在產(chǎn)生一般的緊縮或者是擴(kuò)張的政策效應(yīng)基礎(chǔ)上，還會(huì)產(chǎn)生一種特殊的效應(yīng)，我們稱之為“非對(duì)稱”效應(yīng)。表現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)中，就是使得某些經(jīng)濟(jì)變量的波動(dòng)加大或者變小。第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

建立了通貨膨脹率(t)的TARCH模型。采用居民消費(fèi)物價(jià)指數(shù)（CPI，上年同期=100）減去100代表通貨膨脹率t

，貨幣政策變量選用狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長(zhǎng)率(M1Rt)、銀行同業(yè)拆借利率（7天）(R7t)，模型中解釋變量還包括貨幣流通速度(Vt)（Vt=GDPt/M1t）、通貨膨脹率的1期滯后(t-1)。使用銀行同業(yè)拆借利率代替存款利率，是由于目前我國基本上是一個(gè)利率管制國家，中央銀行對(duì)利率直接調(diào)控，因此名義存款利率不能夠反映市場(chǎng)上貨幣供需的真實(shí)情況。第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

由TARCH模型的回歸方程和方差方程得到的估計(jì)結(jié)果為：

(-2.62)(25.53)(5.068)(-3.4)(1.64)

(1.152)(0.94)(-3.08)(3.9)

R2=0.96D.W.=1.83

結(jié)果表中的(RESID)*ARCH(1)項(xiàng)是(6.5.1)式的

，也稱為TARCH項(xiàng)。在上式中，TARCH項(xiàng)的系數(shù)顯著不為零，說明貨幣政策的變動(dòng)對(duì)物價(jià)具有非對(duì)稱效應(yīng)。需要注意，方差方程中=-0.399，即非對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的。這就說明，貨幣政策對(duì)于通貨膨脹率的非對(duì)稱影響是使得物價(jià)的波動(dòng)越來越小。第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

觀察殘差圖，還可以發(fā)現(xiàn)貨幣政策的非對(duì)稱作用在不同階段對(duì)通貨膨脹率表現(xiàn)是不同的：在經(jīng)濟(jì)過熱時(shí)期，如1992年～1994年期間，通過均值方程中貨幣政策變量的緊縮作用，導(dǎo)致了貨幣政策對(duì)通貨膨脹的減速作用非常明顯，但是由于通貨膨脹率方程的殘差非常大，由方差方程可知這一時(shí)期物價(jià)波動(dòng)很大，但

，則

dt-1=0，所以TARCH項(xiàng)不存在，即不存在非對(duì)稱效應(yīng)。1995年～1996年初

，則TARCH項(xiàng)存在，且其系數(shù)

是負(fù)值，于是非對(duì)稱效應(yīng)使得物價(jià)的波動(dòng)迅速減小。當(dāng)處于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的下滑階段，它的殘差只在零上下波動(dòng)，雖然出現(xiàn)負(fù)值比較多，但這一時(shí)期的貨幣政策非對(duì)稱擴(kuò)張作用非常小。第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

對(duì)于高階TARCH模型的制定，EViews將其估計(jì)為：

(9.5.3)（二）

EGARCH模型

EGARCH或指數(shù)（Exponential）GARCH模型由納爾什（Nelson，1991）提出。條件方差被指定為：

(9.5.4)

等式左邊是條件方差的對(duì)數(shù)，這意味著杠桿影響是指數(shù)的，而不是二次的，所以條件方差的預(yù)測(cè)值一定是非負(fù)的。杠桿效應(yīng)的存在能夠通過<0的假設(shè)得到檢驗(yàn)。如果0

，則沖擊的影響存在著非對(duì)稱性。第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

EViews指定的EGARCH模型和一般的Nelson模型之間有兩點(diǎn)區(qū)別。首先，Nelson假設(shè)

ut

服從廣義誤差分布，而EViews假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布；其次，Nelson指定的條件方差的對(duì)數(shù)與上述的不同：(9.5.5)

在正態(tài)誤差的假設(shè)下估計(jì)這個(gè)模型將產(chǎn)生與EViews得出的那些結(jié)論恒等的估計(jì)結(jié)果，除了截矩項(xiàng)

，它只差了。

第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一EViews指定了更高階的EGARCH模型：(9.5.6)

估計(jì)EGARCH模型只要選擇ARCH指定設(shè)置下的EGARCH項(xiàng)即可?？死锼雇?Christie，1982)的研究認(rèn)為，當(dāng)股票價(jià)格下降時(shí)，資本結(jié)構(gòu)當(dāng)中附加在債務(wù)上的權(quán)重增加，如果債務(wù)權(quán)重增加的消息泄漏以后，資產(chǎn)持有者和購買者就會(huì)產(chǎn)生未來資產(chǎn)收益率將導(dǎo)致更高波動(dòng)性的預(yù)期，從而導(dǎo)致該資產(chǎn)的股票價(jià)格波動(dòng)。因此，對(duì)于股價(jià)反向沖擊所產(chǎn)生的波動(dòng)性，大于等量正向沖擊產(chǎn)生的波動(dòng)性，這種“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非對(duì)稱性，在美國等國家的一些股價(jià)指數(shù)序列當(dāng)中得到驗(yàn)證。第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

例5

那么在我國的股票市場(chǎng)運(yùn)行過程當(dāng)中，是否也存在股票價(jià)格波動(dòng)的非對(duì)稱性呢？利用滬市的股票收盤價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)，我們估計(jì)了股票價(jià)格波動(dòng)的兩種非對(duì)稱模型，結(jié)果分別如下：

①TARCH模型：均值方程：

(19689.6)

方差方程：

(5.57)(7.58)(5.31)(45.43)

對(duì)數(shù)似然值

=3012.5AIC=-5.77SC=-5.75第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

杠桿效應(yīng)項(xiàng)由結(jié)果中的(RESID<0)*ARCH(1)描述，它是顯著為正的，所以存在非對(duì)稱影響。在TARCH模型中，杠桿效應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)顯著大于零，說明股票價(jià)格的波動(dòng)具有“杠桿”效應(yīng)：利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動(dòng)：當(dāng)出現(xiàn)“利好消息”時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有一個(gè)

=0.127的沖擊；而出現(xiàn)“利空消息”時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則會(huì)帶來

=0.127+0.15=0.277的沖擊。第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一②EGARCH模型：均值方程：

(19897.8)

方差方程：

(-7.26)(9.63)(-5.63)(123.29)

對(duì)數(shù)似然值

=3020.3AIC=-5.79SC=-5.76

第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

這個(gè)例子中，利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動(dòng)的結(jié)果在EGARCH模型中也能夠得到印證，在EGARCH模型中，，其非對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)小于零，。

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)=0.306+(-0.07)=0.236倍沖擊；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)=0.306+(-0.07)(-1)=0.376倍沖擊。

在EViews4.0的EGARCH模型結(jié)果顯示中：

|ut/t|項(xiàng)的系數(shù)記作|RES|/SQR[GARCH](1)；

杠桿效應(yīng)項(xiàng)

記作RES/SQR[GARCH](1)；

此例中是負(fù)的并在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，這表明在樣本期間滬市的股票收盤價(jià)格指數(shù)中存在杠桿效應(yīng)。第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一六、成分ARCH模型(ComponentARCHModel)

GARCH(1,1)模型將條件方差設(shè)定為：(9.6.1)令其中是非條件方差或長(zhǎng)期波動(dòng)率，(9.6.1)變?yōu)椋?9.6.2)

表示了均值趨近于

，這個(gè)在所有時(shí)期都為常數(shù)。

第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

成分ARCH模型允許均值趨近于一個(gè)變動(dòng)的水平qt：

(9.6.3)此處t仍然是波動(dòng)率，而qt代替了

，它是隨時(shí)間變化的長(zhǎng)期變動(dòng)。第一個(gè)等式描述了暫時(shí)分量

t2-qt，它將隨+的作用收斂到零。第二個(gè)等式描述了長(zhǎng)期分量qt它將在

的作用下收斂到

。典型的

在0.99和1之間，所以qt緩慢的接近。第六十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期一

我們把暫時(shí)方程和長(zhǎng)期方程聯(lián)合起來：該方程表明了成分ARCH模型是一個(gè)非線性的嚴(yán)格的GARCH(2,2)模型。在成分ARCH模型的條件方差方程中，可以包含進(jìn)外生變量，它可以在長(zhǎng)期方程中，也可以在暫時(shí)方程中（或者兩者均可）。暫時(shí)方程中的變量將對(duì)變化率的短期移動(dòng)產(chǎn)生影響，而長(zhǎng)期方程中的變量將影響變動(dòng)率的長(zhǎng)期水平。第六十七頁，共七