北師大新版八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理培優(yōu)

第章

勾定1.1探索股定理專一有勾定的疊題1.如，將邊長為的方折疊，使點(diǎn)D落BC邊的中點(diǎn)E處點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是）A．B．C．D．

如圖，是方形兩對邊中點(diǎn)連線段，將A沿DK它的頂點(diǎn)A落EF上的點(diǎn)，∠的度數(shù)．

折疊3．已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB=90°CA=CB有一個(gè)圓心角為45°，半徑長等于CA的形繞點(diǎn)C旋，直線CE、分別直線AB交點(diǎn)、N．（如①，當(dāng)AM=BN時(shí)將沿CM折點(diǎn)A落弧EF的中點(diǎn)P處再將BCN沿CN折，點(diǎn)B也恰落在點(diǎn)P處，時(shí)PM=AM，PN=BN△PMN的形狀是_______________．線AMBN、MN之間的數(shù)量關(guān)系______________________________（）圖②，當(dāng)扇形CEF繞∠ACB內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段、AM、之的數(shù)量關(guān)系是_______________．試證明的猜想；（3）當(dāng)扇形CEF繞C旋至圖③的位置時(shí)，線段MN、AM、BN之間數(shù)量關(guān)系是_______________．不要求證明）①②③專二勾定的明4．在教材中，我們通過數(shù)格子方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用四個(gè)完全相同的直角三角形拼圖的方式驗(yàn)證了勾股定理的正確性．問題1角角形的三邊為邊向外作等邊三角形S′S″與的圖1問題2角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形′+S″與S的如圖2）．問題3：以直角三角形的三邊為徑向外作半圓，探究S′+″與S的系（如圖3）．/

如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個(gè)，圖①中兩直角邊長分別為和b，斜邊長為c；圖②中兩直角邊長．請你動腦，將它們拼成能夠證明勾股定理的圖形．（）你畫出一種圖形，并驗(yàn)證勾股定理．（你常聰明能再拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的圖無證明）．1.2一定直角三形嗎專判斷角形1.已a(bǔ)bc為△ABC的三邊且滿足a-bc=a-b，則它的形狀為（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

在△中a=m+n，b=m-n，c=2mn，m＞＞，（）能判斷△ABC的最長邊嗎？請說明理由；（）ABC是什三角形，請過計(jì)算的方法說明．3.張師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：nabc

22-142+1

33-163+1

44-184+1

55-1105+1

…………（）請你分別觀察a、、c與間的關(guān)系，并用含自然數(shù)（＞）的代數(shù)式表示a，b，．（）想：以a、、為邊三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想．1.3勾股理的應(yīng)專最短徑探1.編一個(gè)底面周長為a、高為b的柱形花柱架，需用沿圓柱表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的AACB…，則每一根這樣的竹條的長度最少______________.

請閱讀下列材料：問題：如圖1），一圓柱的底面半徑和高均為，BC是底直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)最短路.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路1側(cè)面展開圖中的線段AC.下圖）所示：/

l_____ll_____l設(shè)路線1的度為l，則

l1

2

2

AB

2

BC

2

2

(5

2

25

2

；路2高線AB+底直徑BC如上圖1）所示，設(shè)路線2的度為

l

，

比較兩個(gè)正數(shù)的大小，有時(shí)用它們的則

l

2

2

()225

.

平方來比較更方便l1

2

2

2

2

25

2

25(

2

8)0

.∴l(xiāng)

∴

ll

所以要選擇路線2較。（）明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”續(xù)按前面的方式進(jìn)行計(jì).請你幫小明完成下面的計(jì)算：路線1：

l1

2

2

___________________；路線2：

l

2

2

(ABBC)

__________,∵

l1

222

,∴

l_____l1

2

(填或).所以應(yīng)選擇路線___________(填1或較短.(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般況當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高時(shí)應(yīng)何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的線最短3.探活動:有圓柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直徑為2cm/s.

cm，蟻爬行的速度為（）果在盒內(nèi)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中部點(diǎn)處的物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含根號）（）果在盒外下底面的處一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的小忽略不計(jì)）勾股定理優(yōu)題

部大例

如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其對角頂點(diǎn)、C重合，?若其長BC為a，寬為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？/

例2．如圖，把矩形ABCD沿直線向上折疊，使點(diǎn)C落在C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，重合部分△EBD的面積為_______．例3

已知如圖2-7所示eq\o\ac(△,，)ABC中是AB的中點(diǎn)若AC=12BC=5CD=6．求證：△ABC是直角三角形．例4

如圖2-10，△中，AB=AC=20，BC=32D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求BD的長．例5如圖2-12，△ABC中，∠C=90°，M是的中點(diǎn)，MD⊥AB于D．求證：AD2=AC2+BD2．例中CDABD，求證：/

（1）AB2DB

（2CD2ADC例7、如圖，已知四邊形ABCD的四邊AB、CD和DA的長分別為3、4、13、12，∠CBA=90°求S

四邊形

ADB例、在正方形ABCD,FDC中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn)且EC=

BC

,求證:=90例圖2-21所示．已知：在正方形中，∠的平分線交BCEEF⊥ACFFG⊥G

2

=2FG

2

．例如圖2-22所示AM是△ABC的BC邊上的中線求證AB

2

+AC

2

=2(AM

2

+BM

2

)．例如圖2-23所示求證任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點(diǎn)連線平方的4倍．例如圖2-24所示．已知△中，∠C=90°，D，E分別是BC，上的任意一點(diǎn)．求證：AD

2

+BE

2

=AB

2

+DE

2

．/

22例求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．作業(yè)：1：知：如圖，△ABC中，AB=，D為BC任一點(diǎn)，求證：AB－BD·DC2

已知：鈍角

，直BA延線于D，求證：

2

2

AC

2

AB3、知：如圖，在正方形ABCD中，，F(xiàn)分別，AD上的點(diǎn)，又=12EF=10，AEF的面積等于五邊形1面積的，求AE，的長。5檢測提、如圖在ABC中=90ADD則圖中互余的角A2對B3對C．對D．

AC、如果直角三角形的兩邊的長分別為、4，則斜邊長()已知：四邊形ABCD中BD、AC相交于O，且BD垂直求證：CDAD

。

DC、已知：

AC

，且

AB

，D在上，求證

2CD2。、已知