2023高考第一輪復(fù)習(xí)課件和測試(9.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)9-1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖、三視圖但因?yàn)闇y試新人教B版1.(文)(2023·廣東佛山質(zhì)檢)若一個(gè)圓臺(tái)的正視圖如下圖所示，則其側(cè)面積等于()A．6 B．6πC．3eq\r(5)π D．6eq\r(5)π[答案]C[解析]由正視圖可知，該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1、2，圓臺(tái)的高為2，故其母線長為eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5)，其側(cè)面積等于π·(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.(理)(2023·合肥市質(zhì)檢)下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都是一個(gè)兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是()A．6πB．12πC．18πD．24π[答案]B[解析]由三視圖知，該幾何體是兩底半徑分別為1和2，母線長為4的圓臺(tái)，故其側(cè)面積S＝π(1＋2)×4＝12π.2．(文)(2023·廣東惠州一模)已知△ABC的斜二側(cè)直觀圖是邊長為2的等邊△A1B1C1，那么原△ABC的面積為A．2eq\r(3)B.eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)[答案]C[解析]如圖：在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sin\f(π,4))，得a＝eq\r(6)，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(6)＝2eq\r(6).(理)如下圖所示是水平放置三角形的直觀圖，D是△ABC的BC邊中點(diǎn)，AB、BC分別與y′軸、x′軸平行，則三條線段AB、AD、AC中()A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AC，最短的是AD[答案]B[解析]由條件知，原平面圖形中AB⊥AC，從而AB<AD<AC.3．(文)(2023·北京西城模擬)一個(gè)簡單幾何體的主視圖、左視圖如下圖所示，則其俯視圖不可能為：①長方形；②正方形；③圓；④橢圓．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]B[解析]根據(jù)三視圖畫法規(guī)則“長對正，高平齊、寬相等”，俯視圖應(yīng)與主視圖同長為3，與左視圖同寬為2，故一定不可能是圓和正方形．(理)(2023·新課標(biāo)全國理，6)在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()[答案]D[解析]由正視圖知該幾何體是錐體，由俯視圖知，該幾何體的底面是一個(gè)半圓和一個(gè)等腰三角形，故該幾何體是一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，兩錐體有公共頂點(diǎn)，圓錐的兩條母線為棱錐的兩側(cè)棱，其直觀圖如下圖，在左視圖中，O、A與C的射影重合，左視圖是一個(gè)三角形△PBD，OB＝OD，PO⊥BD，PO為實(shí)線，故應(yīng)選D.4．(2023·廣東文，7)正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個(gè)正五棱柱對角線的條數(shù)共有()A．20B．15C．12D．10[答案]D[解析]從正五棱柱的上底面1個(gè)頂點(diǎn)與下底面不與此點(diǎn)在同一側(cè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)相連可得2條對角線，故共有5×2＝10條對角線．5．(文)(2023·廣東省東莞市一模)一空間幾何體的三視圖如下圖所示，該幾何體的體積為12π＋eq\f(8\r(5),3)，則正視圖與側(cè)視圖中x的值為()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]根據(jù)題中的三視圖可知，該幾何體是圓柱和正四棱錐的組合體，圓柱的底半徑為2，高為x，四棱錐的底面正方形對角線長為4，四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，其體積為V＝eq\f(1,3)×8×eq\r(5)＋π×22×x＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，解得x＝3.(理)(2023·廣東文，9)如下圖，某幾何體的正視圖(主視圖)，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為()A．4eq\r(3)B．4C．2eq\r(3)D．2[答案]C[解析]由三視圖知該幾何體是四棱錐，底面是菱形，其面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，高h(yuǎn)＝3，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×3＝2eq\r(3).6．(2023·北京豐臺(tái)區(qū)期末)若一個(gè)螺栓的底面是正六邊形，它的正(主)視圖和俯視圖如下圖所示，則它的體積是()A.eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(32,25)πB．3eq\r(3)＋eq\f(32,25)πC．9eq\r(3)＋eq\f(32,25)πD．9eq\r(3)＋eq\f(128,25)π[答案]C[解析]由三視圖知，該螺栓的上部是一個(gè)底半徑為0.8，高為2的圓柱，下部是底面為邊長為2，高為1.5的正六棱柱，故體積V＝π×0.82×2＋6×eq\f(\r(3),4)×22×1.5＝9eq\r(3)＋eq\f(32π,25)，故選C.7．(文)(2023·天津文，10)一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為____________m3.[答案]4[解析]由幾何體的三視圖知，原幾何體是兩個(gè)長方體的組合體．上面的長方體的底面邊長為1,1，高為2，體積為2；下面長方體底面邊長為2,1，高為1，體積為2.∴該幾何體的體積為4.(理)(2023·山東聊城、鄒平模考)已知一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位：cm)，其中正(主)視圖是直角梯形，側(cè)(左)視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體的體積是________cm3.[答案]eq\f(3,2)[解析]依據(jù)三視圖知，該幾何體的上、下底面均為矩形，上底面是邊長為1的正方形，下底面是長為2，寬為1的矩形，左側(cè)面是與底面垂直的正方形，其直觀圖如下圖所示，易知該幾何體是四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其體積V＝S梯形ABCD·AA1＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2)cm3.8．(2023·皖南八校聯(lián)考)已知三棱錐的直觀圖及其俯視圖與左視圖如下，俯視圖是邊長為2的正三角形，左視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的主視圖面積為________．[答案]2[解析]由條件知，該三棱錐底面為正三角形，邊長為2，一條側(cè)棱與底面垂直，該側(cè)棱長為2，故主視圖為一直角三角形，兩直角邊的長都是2，故其面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.9．(2023·安徽知名省級(jí)示范高中聯(lián)考)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過對角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，得四邊形BFD1E①四邊形BFD1E有可能為梯形；②四邊形BFD1E有可能為菱形；③四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；④四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四邊形BFD1E面積的最小值為eq\f(\r(6),2).其中正確的是________．(請寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))[答案]②③④⑤[解析]∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BFD1E∩平面ADD1A1＝D1E，平面BFD1E∩平面BCC1B1＝BF，∴D1E∥BF；同理BE∥FD1，∴四邊形BFD1E為平行四邊形，①顯然不成立；當(dāng)E、F分別為AA1、CC1的中點(diǎn)時(shí)，易證BF＝FD1＝D1E＝BE，∴EF⊥BD1，又EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥平面BB1D1D，∴平面BFD1E⊥平面BB1D1E，∴②④成立，四邊形BFD1E在底面的投影恒為正方形ABCD.當(dāng)E、F分別為AA1、CC1的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFD1E的面積最小，最小值為eq\f(\r(6),2).10．(文)(2023·山東文，20)在如下圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.(1)求證：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．[解析](1)證明：∵M(jìn)A⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD為正方形，∴BC⊥DC.∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(2)不妨設(shè)MA＝1，∵ABCD為正方形，∴PD＝AD＝2，又∵PD⊥平面ABCD，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PD＝eq\f(8,3).由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，三棱錐VP－MAB＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＝eq\f(2,3).所以VP－MABVP－ABCD＝14.(理)(2023·青島市質(zhì)檢)如下圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，側(cè)(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如下圖所示．(1)求出該幾何體的體積；(2)若N是BC的中點(diǎn)，求證：AN∥平面CME；(3)求證：平面BDE⊥平面BCD.[解析](1)由題意可知，四棱錐B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為V＝eq\f(1,3)SACDE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(4＋2×2,2)×2＝4.(2)連接MN，則MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝eq\f(1,2)CD，所以四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM，∵AN?平面CME，EM?平面CME，所以，AN∥平面CME.(3)∵AC＝AB，N是BC的中點(diǎn)，∴AN⊥BC，又在直三棱柱中可知，平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD，由(2)知，AN∥EM，∴EM⊥平面BCD，又EM?平面BDE，所以，平面BDE⊥平面BCD.11.(2023·湖南六市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中主視圖中△ABC是邊長為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的左視圖的面積為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,2)C．1D．2[答案]A[解析]由三視圖知，該幾何體是正六棱錐，底面正六邊形的邊長為1，側(cè)棱長為2，故左視圖為一等腰三角形，底邊長eq\r(3)，高為正六棱錐的高eq\r(3)，故其面積為S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).12．(2023·皖南八校聯(lián)考)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()[答案]B[解析]由三視圖間的關(guān)系，易知其側(cè)視圖是一個(gè)底邊為eq\r(3)，高為2的直角三角形，故選B.[點(diǎn)評(píng)]由題設(shè)條件及正視圖、俯視圖可知，此三棱錐P－ABC的底面是正△ABC，側(cè)棱PB⊥平面ABC，AB＝2，PB＝2.13．(文)(2023·北京文，5)某四棱錐的三視圖如下圖所示，該四棱錐的表面積是()A．32B．16＋16eq\r(2)C．48D．16＋32eq\r(2)[答案]B[解析]由三視圖知原幾何體是一個(gè)底面邊長為4，高是2的正四棱錐．如圖：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2eq\r(2).又∵S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(4×2eq\r(2))＝16eq\r(2)，S底＝4×4＝16，∴S表＝S側(cè)＋S底＝16＋16eq\r(2).(理)(2023·寧夏銀川一中檢測)如下圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時(shí)間t變化的可能圖象是()[答案]B[分析]可以直接根據(jù)變化率的含義求解，也可以求出函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷．[解析]容器是一個(gè)倒置的圓錐，由于水是均勻注入的，故水面高度隨時(shí)間變化的變化率逐漸減少，表現(xiàn)在函數(shù)圖象上就是其切線的斜率逐漸減小，故選B.[點(diǎn)評(píng)]本題在空間幾何體三視圖和函數(shù)的變化率交匯處命制，重點(diǎn)是對函數(shù)變化率的考查，這種在知識(shí)交匯處命制題目考查對基本概念的理解與運(yùn)用的命題方式值得重視．14．(2023·南京市調(diào)研)如下圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為[答案]13[解析]如下圖，將三棱柱側(cè)面A1ABB1置于桌面上，以A1A為界，滾動(dòng)兩周(即將側(cè)面展開兩次)，則最短線長為AA″1的長度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝15．(文)圓臺(tái)側(cè)面的母線長為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2[解析]如上圖所示，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，則下底面半徑為2r，且∠ASO＝30°，在Rt△SA′O′中，eq\f(r,SA′)＝sin30°，∴SA′＝2r，在Rt△SAO中，eq\f(2r,SA)＝sin30°，∴SA＝4r.∵SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圓臺(tái)上底面半徑為a，下底面半徑為2a，兩底面面積之和為5πa2.(理)(2023·青島質(zhì)檢)如下的三個(gè)圖中，上面是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)．(1)在主視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積．[解析](1)如圖．(2)所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．1.(2023·華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)一個(gè)體積為12eq\r(3)的正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)三棱柱的側(cè)(左)視圖的面積為()A．12B．8C．8eq\r(3)D．6eq\r(3)[答案]D[解析]設(shè)此三棱柱底面邊長為a，高為h，則由圖示知eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，∴a＝4，∴12eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4)×42×h，∴h＝3，∴側(cè)(左)視圖面積為2eq\r(3)×3＝6eq\r(3).2．(2023·河源模擬)如下圖所示，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4，過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長為4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是()[答案]B[解析]箭頭所指正面的觀察方向與底面直角三角形邊長為4的邊平行，故該邊的射影為一點(diǎn)，與其垂直的直角邊的長度3不變，高4不變，故選B.3．(2023·黃岡沖刺)如下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖和俯視圖．在主視圖右側(cè)，按照畫三視圖的要求畫出的該幾何體的左視圖是()[答案]B[解析]由所給圖形知該幾何體中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，PA＝4，EB＝2，