2019版數(shù)學（理）高分計劃一輪高分講義：第10章　計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 10.9　離散型隨機變量的均值、方差和正態(tài)分布

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精10．9離散型隨機變量的均值、方差和正態(tài)分布[知識梳理］1．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1）均值:稱E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2）D(X)＝eq\i\su（i＝1,n,)（xi－E(X）)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E（X）的平均偏離程度，其算術平方根eq\r（DX)為隨機變量X的標準差．2．均值與方差的性質(1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b;（2)D(aX＋b）＝a2D（X）（a,b為常數(shù))．3．兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布X～B（n,p）E（X)pnpD(X）p（1－p)np(1－p）4．正態(tài)曲線（1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）＝eq\f(1，\r（2π）·σ)eeq\s\up15（－eq\f(x－μ2，2σ2)),x∈（－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ（σ〉0)為參數(shù)，稱φμ，σ（x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線（μ是正態(tài)分布的期望,σ是正態(tài)分布的標準差）．(2）正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方,與x軸不相交；②曲線是單峰的,關于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值eq\f（1,σ\r(2π)）；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定,σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．5．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P(a<X≤b）＝eq\i\in(a，b，)φμ，σ(x）dx(即x＝a，x＝b,正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積），則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．（2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ<X〈μ＋σ）＝0。6826；②P（μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544;③P(μ－3σ〈X〈μ＋3σ）＝0.9974。［診斷自測］1．概念思辨（1）隨機變量不可以是負數(shù)，隨機變量所對應的概率可以是負數(shù)，隨機變量的均值不可以是負數(shù)．（）（2)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差．（)(3）隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小。(）（4）一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(）答案(1)×（2）√(3)√(4）√2．教材衍化（1)（選修A2－3P68T1）已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1，3)eq\f(1,6）設Y＝2X＋3，則E（Y）的值為(）A.eq\f(7,3）B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－eq\f（1,2）＋eq\f(1,6)＝－eq\f（1，3），E（Y)＝E（2X＋3）＝2E（X)＋3＝－eq\f（2,3）＋3＝eq\f（7,3）.故選A。（2)(選修A2－3P75A組T1)φμ，σ（x）＝eq\f(1,\r(8π)）eeq\s\up15（－eq\f（x2，8)），x∈(－∞,＋∞）,則總體的平均數(shù)和標準差分別為（)A．0和8B．0和4C．0和2D．0和eq\r（2)答案C解析根據(jù)已知條件可知μ＝0，σ＝2，故選C。3．小題熱身(1)（2015·山東高考）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6）內的概率為（)(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68。26%，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44％。)A．4.56%B．13.59％C．27.18％D．31。74%答案B解析P（－3<ξ<3）＝68.26％，P（－6<ξ<6）＝95.44％，則P（3<ξ〈6）＝eq\f(1,2）×（95.44%－68.26%）＝13。59％。故選B.(2)（2018·張掖檢測)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X)＝（)A。eq\f(126，125）B。eq\f（6，5）C.eq\f(168，125)D。eq\f（7，5）答案B解析設涂0個面的小正方體有x個，涂1個面的小正方體有y個，涂2個面的小正方體有z個，涂3個面的小正方體有w個，則有0·x＋1·y＋2·z＋3·w＝25×6＝150,所以E（X）＝0·eq\f（x，125)＋1·eq\f（y,125）＋2·eq\f（z，125）＋3·eq\f(w，125）＝eq\f(150，125）＝eq\f（6，5)。故選B.題型1與二項分布有關的期望與方差eq\o（\s\up7（），\s\do5(典例））（2017·山西太原模擬)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種，方案a：從裝有2個紅球、3個白球(僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出2個球,若都是紅球,則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個紅球、2個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出2個球,若都是紅球，則獲得獎金15元;否則，沒有獎金,兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件:顧客購買商品的金額滿100元，可根據(jù)方案a抽獎一次;滿150元，可根據(jù)方案b抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為260元,則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a、b各抽獎一次)．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．（1)若顧客A只選擇方案a進行抽獎,求其所獲獎金的期望；（2)要使所獲獎金的期望值最大,顧客A應如何抽獎?解(1）按方案a抽獎一次，獲得獎金的概率P＝eq\f（C\o\al(2，2),C\o\al（2,5)）＝eq\f(1，10)。顧客A只選擇方案a進行抽獎,則其可以按方案a抽獎三次．此時中獎次數(shù)服從二項分布Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(1，10）)).設所得獎金為w1元，則E（w1)＝3×eq\f（1，10）×30＝9.即顧客A所獎資金的期望為9元．（2）按方案b抽獎一次，獲得獎金的概率P1＝eq\f（C\o\al(2，3),C\o\al(2,5）)＝eq\f（3,10)。若顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，則由方案a中獎的次數(shù)服從二項分布B1eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(1,10)）)，由方案b中獎的次數(shù)服從二項分布B2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1,\f（3,10)))，設所得獎金為w2元，則E（w2)＝2×eq\f(1，10）×30＋1×eq\f(3,10）×15＝10.5.若顧客A按方案b抽獎兩次，則中獎的次數(shù)服從二項分布B3eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(3,10）））。設所得獎金為w3元，則E(w3)＝2×eq\f(3,10）×15＝9。結合（1)可知，E（w1)＝E（w3）<E（w2)．所以顧客A應該按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次．方法技巧與二項分布有關的期望、方差的求法1．求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E（ξ)＝np，D（ξ）＝np(1－p）求解，可大大減少計算量．2．有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布,這時，可以綜合應用E（aξ＋b）＝aE(ξ)＋b以及E(ξ）＝np求出E（aξ＋b),同樣還可求出D（aξ＋b）．沖關針對訓練(2014·遼寧高考）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立．(1）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X)．解（1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”．因此P（A1)＝(0。006＋0.004＋0.002）×50＝0.6，P（A2）＝0。003×50＝0.15，P(B）＝0.6×0.6×0。15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為P（X＝0)＝Ceq\o\al(0，3)·(1－0。6）3＝0.064，P（X＝1)＝Ceq\o\al(1,3）·0.6（1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0。62（1－0.6）＝0。432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216.分布列為X0123P0.0640。2880。4320。216因為X～B(3，0。6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1。8，方差D（X)＝3×0.6×（1－0。6)＝0.72。題型2離散型隨機變量的均值與方差角度1求離散型隨機變量的均值與方差eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例)）(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中，如果兩人都猜對,則“星隊”得3分；如果只有一人猜對,則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是eq\f（3，4），乙每輪猜對的概率是eq\f（2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：(1）“星隊”至少猜對3個成語的概率;(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望E(X）．解（1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B：“乙第一輪猜對”,記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”．由題意，E＝ABCD＋eq\x\to(A)BCD＋Aeq\x\to（B）CD＋ABeq\x\to(C）D＋ABCeq\x\to（D），由事件的獨立性與互斥性,得P（E）＝P（ABCD）＋P(eq\x\to(A）BCD)＋P(Aeq\x\to(B）CD)＋P（ABeq\x\to(C）D)＋P（ABCeq\x\to（D））＝P（A）P（B）P(C)P(D）＋P（eq\x\to（A））P(B)P（C)P(D）＋P（A)P（eq\x\to(B）)P(C)P(D)＋P(A)P（B）P(eq\x\to（C））P(D)＋P（A)P(B）P（C）P(eq\x\to（D))＝eq\f(3，4)×eq\f(2,3)×eq\f(3，4）×eq\f(2,3）＋2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1（)）eq\f（1,4）×eq\f（2,3）×eq\f(3,4)×eq\f(2，3)＋eq\f(3,4）×eq\f（1，3）×eq\f（3,4）×eq\f(2，3）eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1())＝eq\f（2，3).所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為eq\f(2，3）。(2）由題意，隨機變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6.由事件的獨立性與互斥性,得P（X＝0）＝eq\f(1,4)×eq\f（1,3）×eq\f（1,4）×eq\f(1,3）＝eq\f(1，144)，P（X＝1）＝2×eq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1(）)eq\f（3,4)×eq\f(1,3）×eq\f(1，4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f（2，3）×eq\f(1，4）×eq\f（1，3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝eq\f(10，144）＝eq\f（5，72），P（X＝2）＝eq\f(3，4)×eq\f（1，3）×eq\f（3，4）×eq\f（1，3）＋eq\f(3,4)×eq\f(1，3)×eq\f（1,4）×eq\f（2,3）＋eq\f(1，4）×eq\f（2，3）×eq\f(3,4)×eq\f（1，3）＋eq\f（1，4）×eq\f（2,3)×eq\f(1，4)×eq\f（2,3）＝eq\f(25,144），P（X＝3)＝eq\f（3,4）×eq\f(2,3）×eq\f（1，4）×eq\f(1，3）＋eq\f(1，4）×eq\f（1，3）×eq\f（3，4）×eq\f(2，3）＝eq\f(12，144)＝eq\f(1，12)，P(X＝4）＝2×eq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1(））eq\f(3,4）×eq\f(2，3）×eq\f（3，4）×eq\f(1，3）＋eq\f（3，4）×eq\f（2,3）×eq\f(1，4）×eq\f（2,3)eq\b\lc\\rc\)（\a\vs4\al\co1（）)＝eq\f（60,144)＝eq\f（5，12），P（X＝6）＝eq\f（3,4)×eq\f（2,3)×eq\f（3,4）×eq\f（2,3)＝eq\f(36,144）＝eq\f(1,4).可得隨機變量X的分布列為X012346Peq\f(1，144）eq\f（5，72)eq\f(25,144）eq\f(1，12)eq\f(5,12）eq\f（1,4）所以數(shù)學期望E(X）＝0×eq\f（1，144)＋1×eq\f（5，72）＋2×eq\f(25,144)＋3×eq\f（1，12）＋4×eq\f（5，12）＋6×eq\f(1,4）＝eq\f（23,6)。角度2均值與方差的應用問題eq\o（\s\up7（）,\s\do5（典例)）（2016·全國卷Ⅰ）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1）求X的分布列；(2)若要求P(X≤n）≥0。5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？解（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9，10,11的概率分別為0。2,0.4，0。2，0.2?？芍猉的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22，P（X＝16）＝0。2×0。2＝0.04；P(X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16；P（X＝18）＝2×0。2×0。2＋0。4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0。2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24;P(X＝20)＝2×0。2×0.4＋0.2×0。2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0。2＝0.08;P（X＝22）＝0。2×0。2＝0.04。所以X的分布列為X16171819202122P0.040。160。240。240。20.080。04（2）由（1）知P(X≤18）＝0。44，P(X≤19）＝0。68,故n的最小值為19.(3）記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元)．當n＝19時，E（Y）＝19×200×0。68＋(19×200＋500）×0。2＋(19×200＋2×500）×0。08＋(19×200＋3×500)×0。04＝4040.當n＝20時，E(Y）＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0。08＋（20×200＋2×500)×0。04＝4080.可知當n＝19時所需費用的期望值小于n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19。方法技巧1．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟（1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．（2）求ξ取每個值的概率．(3）寫出ξ的分布列．（4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ）．2．由均值與方差情況求參數(shù)問題的求解思路先根據(jù)題設條件將均值、方差用待求參數(shù)表示，再由已知均值與方差構建關于參數(shù)的方程(組），然后求解．3．利用均值、方差進行決策的方法：均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平"，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩個隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，方差越小，則偏離均值的平均程度越小,進而進行決策．提醒:均值E(X）由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E（X)是不變的，它描述X值的取值的平均水平．沖關針對訓練（2017·全國卷Ⅲ）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）［15,20）[20,25）[25,30)［30,35）［35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1）求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶）為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值？解（1)由題意知,X所有可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝eq\f(2＋16，90）＝0.2，P(X＝300)＝eq\f（36,90）＝0.4，P（X＝500)＝eq\f(25＋7＋4，90）＝0.4.因此X的分布列為X200300500P0。20.40。4(2）由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25,則Y＝6n－4n＝2n;若最高氣溫位于區(qū)間［20，25），則Y＝6×300＋2（n－300）－4n＝1200－2n;若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200）－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n）×0。4＋(800－2n)×0。2＝640－0.4n.當200≤n＜300時,若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20,則Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n，因此E（Y)＝2n×(0.4＋0。4)＋（800－2n）×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時,Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元。題型3正態(tài)分布eq\o(\s\up7(）,\s\do5(典例）)（2015·湖南高考)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1)的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為()(附：若X～N(μ，σ2），則P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0。6826，P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0.9544）A．2386B．2718C．3413D．4772答案C解析由曲線C為正態(tài)分布N(0,1）的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P（0<X≤1）＝eq\f(1,2）×0。6826＝0.3413,又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.3413，故落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為0。3413×10000＝3413。故選C.［條件探究]若將本典例中條件“曲線C為正態(tài)分布N（0，1)的密度曲線”變?yōu)椤扒€C為正態(tài)分布N(－1，1）的密度曲線”,則結果如何？解對于正態(tài)分布N（－1,1）,可知μ＝－1,σ＝1,正態(tài)曲線關于直線x＝－1對稱，故題圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2）×［P(－3〈X≤1)－P(－2<X≤0)］＝eq\f(1,2）×［P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)－P（μ－σ<X≤μ＋σ)］＝eq\f(1，2)×（0。9544－0。6826）＝0.1359，所以點落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f（0.1359,1）＝0.1359，投入10000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10000×0.1359＝1359。方法技巧正態(tài)分布下兩類常見的概率計算1．利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.2．利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ),（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ,μ＋3σ）中的哪一個．沖關針對訓練(2014·全國卷Ⅰ）從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)eq\x\to（x)和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2。①利用該正態(tài)分布，求P(187。8<Z<212。2）;②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品,記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間（187。8,212.2)的產品件數(shù)．利用①的結果，求E（X）．附：eq\r（150）≈12。2.若Z～N(μ，σ2），則P（μ－σ<Z≤μ＋σ）＝0。6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ）＝0.9544.解(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x）和樣本方差s2分別為eq\x\to(x)＝170×0.02＋180×0。09＋190×0。22＋200×0。33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0。02＝200,s2＝（－30）2×0.02＋（－20)2×0。09＋（－10）2×0.22＋0×0。33＋102×0。24＋202×0。08＋302×0。02＝150。（2)①由(1）知,Z～N(200,150)，從而P(187。8〈Z<212.2)＝P(200－12。2<Z〈200＋12.2)＝0。6826。②由①知，一件產品的質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B(100,0。6826)，所以E（X)＝100×0。6826＝68.26.1．(2017·浙江高考)已知隨機變量ξi滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f（1,2），則()A．E(ξ1)〈E（ξ2)，D(ξ1）<D（ξ2）B．E（ξ1)〈E(ξ2),D(ξ1）>D（ξ2)C．E（ξ1）>E（ξ2）,D(ξ1)<D（ξ2）D．E(ξ1)>E(ξ2)，D（ξ1）>D（ξ2)答案A解析∵E(ξ1）＝0×(1－p1）＋1×p1＝p1,同理,E（ξ2)＝p2，又0〈p1<p2,∴E（ξ1）<E(ξ2）．D（ξ1）＝(0－p1)2(1－p1)＋(1－p1）2·p1＝p1－peq\o\al（2,1），同理，D（ξ2)＝p2－peq\o\al(2,2).D(ξ1）－D(ξ2)＝p1－p2－(peq\o\al(2，1）－peq\o\al（2，2））＝（p1－p2）(1－p1－p2）．∵0〈p1<p2<eq\f(1,2）,∴1－p1－p2>0，∴(p1－p2）(1－p1－p2）〈0。∴D（ξ1）〈D（ξ2)．故選A。2．(2015·湖北高考）設X～N（μ1，σeq\o\al(2,1)），Y~N(μ2，σeq\o\al(2，2）），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t）≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P（X≥t）≥P（Y≥t）答案C解析由題圖可知μ1〈0〈μ2,σ1〈σ2，∴P(Y≥μ2）〈P（Y≥μ1),故A錯誤；P（X≤σ2）>P（X≤σ1),故B錯誤；當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P（X≤t)≥P（Y≤t)，而P(X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t)＝1－P(Y≥t）,∴P（X≥t)≤P（Y≥t),故C正確，D錯誤．故選C。3．(2018·安徽模擬）某小區(qū)有1000戶，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300，102），則用電量在320度以上的戶數(shù)約為（）(參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P（μ－σ<ξ≤μ＋σ）＝68。26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ〈ξ≤μ＋3σ)＝99.74%）A．17B．23C．34D．46答案B解析P（ξ〉320）＝eq\f（1，2）×［1－P(280〈ξ≤320）]＝eq\f(1，2）×(1－95。44%)＝0。0228，0．0228×1000＝22。8≈23,∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B。4．（2017·全國卷Ⅱ）一批產品的二等品率為0。02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D（X)＝________。答案1.96解析由題意得X~B(100，0。02）,∴D(X）＝100×0。02×（1－0。02）＝1.96.[重點保分兩級優(yōu)選練]A級一、選擇題1．已知ξ的分布列為ξ－101Peq\f（1，2)eq\f(1，3）eq\f（1，6）則在下列式中：①E(ξ）＝－eq\f(1，3)；②D（ξ）＝eq\f(23，27)；③P（ξ＝0)＝eq\f（1,3）。正確的個數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3答案C解析E(ξ）＝（－1）×eq\f(1，2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f（1，3），故①正確．D(ξ)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－1＋\f(1,3）））2×eq\f(1,2）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)）)2×eq\f（1,3)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9），故②不正確．由分布列知③正確．故選C。2．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，則E（Y)，D（Y)分別是(）A．6和2.4 B．2和2。4C．2和5。6 D．6和5。6答案B解析由已知隨機變量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E（Y）＝8－E(X）＝8－10×0。6＝2，D(Y）＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2。4。故選B。3．(2018·廣東茂名模擬)若離散型隨機變量X的分布列為X01Peq\f（a,2）eq\f（a2,2）則X的數(shù)學期望E（X)＝（)A．2B．2或eq\f（1，2)C。eq\f（1，2）D．1答案C解析因為分布列中概率和為1，所以eq\f（a,2)＋eq\f(a2，2）＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去）或a＝1,所以E（X）＝eq\f(1,2）.故選C.4．（2017·青島質檢)設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零點的概率為(）A.eq\f（1，2）B。eq\f（2，3）C.eq\f（3，4）D.eq\f（4，5)答案A解析函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋ξ不存在零點的條件是Δ＝22－4×1×ξ〈0，解得ξ〉1.又ξ～N（1，σ2），所以P（ξ〉1）＝eq\f（1，2），即所求事件的概率為eq\f（1,2)。故選A.5．（2018·山東聊城重點中學聯(lián)考)已知服從正態(tài)分布N（μ，σ2)的隨機變量在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ),(μ－2σ，μ＋2σ）和(μ－3σ，μ＋3σ）內取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7％.某校為高一年級1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計，學生的身高（單位：cm)服從正態(tài)分布（165,52），則適合身高在155~175cm范圍內的校服大約要定制()A．683套B．954套C．972套D．997套答案B解析P(155〈ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2）＝P(μ－2σ〈ξ<μ＋2σ）＝95。4％。因此服裝大約定制1000×95.4%＝954套．故選B。6．(2018·皖南十校聯(lián)考）在某市1月份的高三質量檢測考試中，理科學生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(98，100)．已知參加本次考試的全市理科學生約9450人．某學生在這次考試中的數(shù)學成績是108分，那么他的數(shù)學成績大約排在全市第多少名?（)A．1500B．1700C．4500D．8000答案A解析因為學生的數(shù)學成績X~N（98,100),所以P（X≥108)＝eq\f（1,2）［1－P（88<X<108）]＝eq\f（1,2)［1－P(μ－σ<X〈μ＋σ)]＝eq\f（1,2）（1－0。6826）＝0。1587，故該學生的數(shù)學成績大約排在全市第0。1587×9450≈1500名,故選A。7．（2017·銀川一中一模)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b,不得分的概率為c,（a，b,c∈(0,1)），已知他投籃得分的數(shù)學期望是2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b）的最小值為（）A。eq\f（32，3)B。eq\f(28,3）C。eq\f(14，3)D。eq\f（16，3）答案D解析由數(shù)學期望的定義可知3a＋2b＝2，所以eq\f（2,a）＋eq\f(1，3b）＝eq\f(1,2)（3a＋2b）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,a）＋\f(1，3b）))＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\（\a\vs4\al\co1（)）6＋eq\f(2，3)＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b）eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(）)≥eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6＋\f（2，3）＋4))＝eq\f（16,3)，當且僅當eq\f（4b,a）＝eq\f(a,b)即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f（1,4)時取得等號．故選D.8．若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2，3),P（X＝x2)＝eq\f（1,3），且x1<x2，又已知E(X）＝eq\f（4,3)，D（X)＝eq\f（2，9)，則x1＋x2的值為（)A。eq\f（5，3）B.eq\f（7,3)C．3D.eq\f（11，3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f（2,3）＋x2·\f(1，3）＝\f（4,3),，\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x1－\f（4，3））)2·\f(2，3)＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x2－\f（4，3)）)2·\f(1，3)＝\f(2,9)，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f（5，3），,x2＝\f（2，3））)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝1，,x2＝2。))又∵x1〈x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝1,,x2＝2，)）∴x1＋x2＝3。故選C.9．（2018·廣州調研）已知隨機變量x服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，且P（μ－2σ〈x≤μ＋2σ)＝0。9544，P（μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1,則P(5〈x〈6）等于()A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718答案B解析由題知x~N(4,1),作出相應的正態(tài)曲線,如圖，依題意P(2〈x≤6)＝0。9544,P(3〈x≤5）＝0。6826，即曲邊梯形ABCD的面積為0.9544，曲邊梯形EFGH的面積為0。6826，其中A,E，F(xiàn)，B的橫坐標分別是2，3，5,6，由曲線關于直線x＝4對稱，可知曲邊梯形FBCG的面積為eq\f(0。9544－0。6826，2)＝0.1359，即P（5<x<6)＝0.1359，故選B.10．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是:每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設某學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0），發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X）〉1。75,則p的取值范圍是()A。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(7，12)）)B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（1,2）))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12），1)）D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，1））答案B解析根據(jù)題意，學生一次發(fā)球成功的概率為p，即P(X＝1)＝p，發(fā)球二次的概率P（X＝2)＝p（1－p)，發(fā)球三次的概率P（X＝3)＝(1－p）2，則E（X)＝p＋2p（1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E（X）>1.75，則p2－3p＋3>1。75，解得p〉eq\f(5，2)或p〈eq\f（1，2）,結合p的實際意義,可得0<p〈eq\f(1,2），即p∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,2）)).故選B.二、填空題11．某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f（2，3），得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0）＝eq\f(1，12）,則隨機變量X的數(shù)學期望E(X）＝______。答案eq\f(5，3）解析∵P(X＝0)＝eq\f(1,3)×(1－p）2＝eq\f(1，12），∴p＝eq\f（1,2）.則P（X＝1)＝eq\f(2，3）×eq\f(1，2）×eq\f(1,2)＋eq\f(1，3）×eq\f(1,2)×eq\f（1,2)×2＝eq\f（4,12)＝eq\f(1,3)，P(X＝2）＝eq\f（2，3）×eq\f（1,2)×eq\f（1,2）×2＋eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×eq\f（1，2）＝eq\f（5,12），P（X＝3)＝eq\f（2，3)×eq\f（1,2)×eq\f（1,2）＝eq\f（1,6).則E（X)＝0×eq\f（1,12)＋1×eq\f（1,3)＋2×eq\f（5，12)＋3×eq\f（1,6）＝eq\f(5,3）。12．某省實驗中學高三共有學生600人,一次數(shù)學考試的成績(試卷滿分150分)服從正態(tài)分布N（100，σ2)，統(tǒng)計結果顯示學生考試成績在80分到100分之間的人數(shù)約占總人數(shù)的eq\f(1，3)，則此次考試成績不低于120分的學生約有________人．答案100解析∵數(shù)學考試成績ξ～N(100,σ2），作出正態(tài)分布圖象，可能看出，圖象關于直線x＝100對稱．顯然P(80≤ξ≤100)＝P（100≤ξ≤120）＝eq\f(1,3)；∴P（ξ≤80)＝P（ξ≥120）．又∵P（ξ≤80)＋P(ξ≥120）＝1－P(80≤ξ≤100)－P（100≤ξ≤120)＝eq\f(1，3)，∴P(ξ≥120）＝eq\f（1,2)×eq\f(1，3）＝eq\f（1,6）?！喑煽儾坏陀?20分的學生約為600×eq\f(1，6)＝100人．13．(2018·滄州七校聯(lián)考)2017年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響,各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術降低耗油量，某汽車制造公司為調查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升,并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2),已知耗油量ξ∈[7,9］的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有答案180解析由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸．又因為P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P(8≤ξ≤9)＝0。7,所以P(8≤ξ≤9）＝0.35.而P(ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ〉9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝18014．（2017·安徽蚌埠模擬）賭博有陷阱．某種賭博游戲每局的規(guī)則是:參與者從標有5，6,7,8,9的小球中隨機摸取一個(除數(shù)字不同外，其余均相同），將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)，然后放回該小球,再隨機摸取兩個小球,將兩個小球上數(shù)字之差的絕對值的2倍作為其獎金(單位:元)．若隨機變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博游戲中的賭金與獎金,則E(ξ）－E（η）＝________元．答案3解析ξ的分布列為ξ56789Peq\f（1,5)eq\f（1，5)eq\f（1，5）eq\f(1，5)eq\f（1,5)E(ξ)＝eq\f（1，5)×(5＋6＋7＋8＋9）＝7（元）．η的分布列為η2468Peq\f(2,5)eq\f（3，10)eq\f(1,5）eq\f（1,10)E（η）＝2×eq\f(2，5)＋4×eq\f（3，10)＋6×eq\f(1,5)＋8×eq\f（1，10)＝4(元)，∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元）．故答案為3。B級三、解答題15．(2018·湖北八校第二次聯(lián)考）某手機賣場對市民進行國產手機認可度的調查，隨機抽取100名市民,按年齡（單位：歲)進行統(tǒng)計的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下：分組（歲）頻數(shù)[25，30）x［30，35)y[35，40）35［40,45)30［45,50］10合計100(1)求頻率分布表中x、y的值，并補全頻率分布直方圖；（2)在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加國產手機用戶體驗問卷調查，現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送精美禮品一份,設這2名市民中年齡在［35,40）內的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．解（1)由題意知，［25,30）內的頻率為0。01×5＝0.05,故x＝100×0。05＝5.因［30，35）內的頻率為1－（0。05＋0.35＋0.3＋0。1）＝1－0。8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且［30,35)這組對應的eq\f(頻率，組距）＝eq\f（0。2,5)＝0.04.補全頻率分布直方圖略．（2)∵年齡從小到大的各層人數(shù)之間的比為5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年齡在[35,40)內的人數(shù)為7.X可取0,1，2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,13），C\o\al（2，20)）＝eq\f（78,190）,P(X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,13)C\o\al（1，7）,C\o\al（2，20)）＝eq\f（91,190)，P（X＝2）＝eq\f(C\o\al（2，7)，C\o\al(2,20)）＝eq\f(21，190)，故X的分布列為X012Peq\f(78，190)eq\f(91，190)eq\f(21，190）故E(X）＝eq\f（91,190)×1＋eq\f(21，190）×2＝eq\f(133，190）.16．新生兒Apgar評分，即阿氏評分，是對新生兒出生后總體狀況的一個評估，主要從呼吸、心率、反射、膚色、肌張力這幾個方面評分,評分在8～10分者為正常新生兒,評分在4～7分的新生兒考慮患有輕度窒息,評分在4分以下的新生兒考慮患有重度窒息,大部分新生兒的評分在7～10分之間．某醫(yī)院婦產科從9月份出生的新生兒中隨機抽取了16名,表格記錄了他們的評分情況．分數(shù)段[0，7）［7，8)[8，9)［9,10］新生兒數(shù)1384（1）現(xiàn)從這16名新生兒中隨機抽取3名,求至多有1名新生兒的評分不低于9分的概率；（2)用這16名新生兒的Apgar評分來估計本年度新生兒的總體狀況，若從本年度新生兒中任選3名，記X表示抽到評分不低于9分的新生兒數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望．解(1）設Ai表示所抽取的3名新生兒中有i名的評分不低于9分，“至多有1名新生兒的評分不低于9分”記為事件A，則由表格中數(shù)據(jù)可知P（A）＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f（C\o\al(3，12），C\o\al(3，16)）＋eq\f(C\o\al（1,4)C\o\al（2,12）,C\o\al（3，16）)＝eq\f(121,140）.（2）由表格數(shù)據(jù)知，從本年度新生兒中任選1名，評分不低于9分的概率為eq\f(4，16）＝eq\f(1，4），由題意知隨機變量X的所有可能取值為0,1，2，3，且P（X＝0）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，4））)3＝eq\f（27，64);P（X＝1）＝Ceq\o\al（1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)))1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,4）)）2＝eq\f（27,64);P(X＝2)＝Ceq\o\al(2，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)）)2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))1＝eq\f(9，64);P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4））)3＝eq\f(1，64).所以X的分布列為X0123Peq\f（27，64)eq\f（27,64）eq\f(9,64)eq\f（1,64）E（X)＝0×eq\f（27，64)＋1×eq\f（27，64）＋2×eq\f（9,64)＋3×eq\f（1,64)＝0.75eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（或EX＝3×\f(1，4)＝0.75)）.17．(2015·湖南高考)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中各隨機摸出1個球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球,則