一道課本題的拓展探究

一道課本題的展探究四川省廣元市寶輪中學唐明友課本題數(shù)學》八年級P

第15題）

A如圖1，四邊形ABCD是正方形，點是邊BC的中點，∠AEF＝90

0

，且EF交正方形外角的平分線于點F。

F求證：AE＝EF.1

證法探究

圖證法（運用三角形全等AB的中點G接正方形ABCD中，點E、G均為邊的中點，有AG=CE,BG=BE,∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠

0

，

A

1

D∵CE是∠DCK的角平分線，有∠

0

G

3

F∴∠AGE=∠ECF=135

0

B

2EC圖

4

K又∵∠AEF=∠B＝90

0

，∴∠1＋∠AEB=∠2＋∠AEB=90

0

,∴∠1=∠2在△AGE與△ECF中ECAGE

∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF.證法（運用三角形相似3過F作FH⊥BC于H，則∠FHE=900因此∠B=∠0,又∠1=∠2，

A

D∴△ABE∽△EHF,∴

EH=,

1

F∵∠4=450，∴在Rt△CHF中有設(shè)CH=FH=x，BE=EC=y,則AB=2y代入

E

2

C

H上式得：=,∴x=y,即FH=EB=x,AB=EH=2x∴在Rt△ABE與Rt△EHF中，第1

圖3

∴AE=EF=

2

(2)

2

=5x證法（運用三角函數(shù)3過F作FH⊥BC于H,由∠1=∠2，在Rt△ABE與Rt△中，tan∠1=tan∠2,FHFHEH∴=,即=，以下同證法2.證法4解析法4，B為坐標原點，分別BCBA方向為xy正方向建立直角坐標系，不妨設(shè)正方形的邊長為個單位長度，則E（1,0C（2,0OE1∵∠1=∠2，∴tan∠2=tan∠1==,OA1因此設(shè)直EF解析式y(tǒng)=x＋m,）21代入可求得m=－,21∴直線EF的解析式為：y=x－①2由∠4=45

0

可設(shè)直線CF的解析式為：y=tan45

0

×x＋n,將C（2,0）代入可求得n=－2,∴直線CF的解析式為:y=x－2解①②的方程組得x=3,y=1,∴點F的坐標為（3,1）∵AE=22=5EF=(3

2

②2=,∴AE=EF點評前三種證法均需作輔助線，才能構(gòu)造出全等或相似三角形，其中證法2和證法3本質(zhì)上是一樣的。由于有垂線的條件，所以證4將其置于直角坐標系中用解析法得到直線和CF的交點F的坐標運用兩點間的距離求出兩條線段AE與EF的長而得證。2

拓展探究2.1探究動E位置，推廣結(jié)論課本題中，中點EBC或BC延長線上運動，結(jié)論仍然成立：拓展：如圖5，在正方ABCD中，點E是BC邊上任意一點（不與點、C重合＝，且交正方形外角的平分線CF點F則AE＝EF。如果點E在BC延長線上（如圖6還等于EF.A

D

MA

D

FG

1

3

24C圖

K

B第2

CE圖6

K

證明：如圖5，當E點是BC上任意一點時，在上截取，連接GE，易證△AGE≌△ECF，∴AE＝EF.如圖6，當E點是BC延長線上任意一點時，延長至M，使AM=CE，連接ME，同理△MAE≌△CEF，∴AE＝EF.因此，點E在BC長線上（端點除外成立。下面證明類似結(jié)論在正三角形中也成立：拓展：在正三角形中E延長線上任意一點（不與點BC合

0

，交外角∠ACK的平分線于一點F，則A

M1GF3

F

E

2

C

4

K

B

E

K圖7

圖8證明:如圖7，當E點是BC上任意一點時，在上截取，連接GE，易證△BGE是正三角形，∴∠3=60

0

，由題意得∠4=600，∴∠AGE=∠ECF=120在△ABE中，∠B=600,∴∠1=1200－∠AEB,而∠AEF=60

0

，有∠2=120

0

－∠AEB，∴∠1=∠2，因此△AGE≌△ECF∴AE=EF如圖8，當E點是BC延長線上任意一點時，延長至M，使AM=CE，連接ME。同理可證△AME≌△ECF,∴AE=EF.將拓展1推廣到任意正多邊形中同樣成立：拓展：如9和10，在n邊形ABCD?，E是BC或BC延長線上任意一點（不與BC重

180

(n

，交外角∠的平分線于點F，則AE=EF.X

X

n-2)

F

B

n圖9

K

圖

K第3

2.2探究在形中結(jié)是否成立能否拓展到矩形中，也是我們關(guān)心的問題，下面進行探討。如圖10，在矩形ABCD中，AB≠點E是BC上任意一點（點B、C除外作∠0，交外角∠DCK的平分線于點F，請問：AE=EF否成立？解：過F作FH⊥CK于H，設(shè)BC=mAB=n，BE=x，假設(shè)AE=EF成立，而∠B=∠EHF=90∴FH=BE=x,AB=EH=n

0

，又∠1=∠2，于是△≌△EHF,又∠3=450，F(xiàn)H=CH=x，CE=BC－BE=m－x，∴EH=CE＋CH=m－x＋x=m

1

再由EH=AB=n,∴m=n,即AB=BC這與已知中的AB≠BC相矛盾，∴AE=EF不成立。

23BCH圖11

K這就是說，在拓展1如果四邊形ABCD矩形，則結(jié)論AE=EF不成立。事實上，上述拓展只能在正多邊形中進行。2.3探究拓1逆命題否成立逆命題1：在正方形ABCD中，點是邊BCBC延長線上任意一點（不與點B、C重合EEF⊥AE，在直線EF截取EF=AE,連接CF求證：射線CF是正方形ABCD的外角平分線。證明：如圖5，當E點是上任意一點時，在AB上截取，連接GE易證△AGE≌△ECF，∴∠AGE=∠ECF,∠3=∠4，又∵△BGE是等腰直角三角形，∴∠0，∴∠4=45

0

，即射線CF是正方形ABCD的外角平分線；如圖6，當是BC延長線上任意一點時，延長BA，使AM=CE，連接ME，∵∠1=∠2，∴∠MAE=∠CEF,又由AM=CE,AE=EF∴△MAE≌△“如果兩個三角形的兩邊對應(yīng)相等，并且其中一邊所對的角是鈍角也對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”這是真命題，讀者朋友可自行探究)∴∠M=∠ECF,而∠M是等腰直角△的底角，∴∠M=∠ECF=45

0

，即射線CF是正方形ABCD的外角平分線。此逆命題的正確性可以推廣到正多邊形中：拓展：如9和10，在n邊形ABCD?，E是BC或BC延長線上任意一點（不與BC重

180

(n

，在射線上截取AE=EF,連接CF，則射線CF是這個正n邊形的外角平分線第4

逆命題2：在正方形ABCD中，點是邊BCBC延長線上任意一點（不與點B、C重合平分線CF上取一點，使AE=EF，求證：∠.證明方法同逆命題1，只不過是證全等的方法與之相反。此逆命題亦可推廣到正多邊形中：拓展n邊形ABCD?E是BC或延長線上任意一與點B、C重合平分線CF上取一點，使AE=EF，則∠

180

(2)n

.點評從點EBC邊的中點，拓展到點除端點外的BCBC延長線上任意一點，進而推廣到任意多邊形中，接著研究了這個拓展不能在矩形中進行，還研究了兩個逆命題也能推廣到正多邊形中歷了從靜止到運動特殊到一般，并繼續(xù)推廣結(jié)論的探究歷程，獲得了很多有用的結(jié)論。3

應(yīng)用舉例例1.圖11方形ABCD邊長為4MN分別是CD上兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和垂直，（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN.（2BM=x,形ABCN的面積為，求yx的函數(shù)關(guān)系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積。（3）當M點運動到什么位置時，eq\o\ac(△,Rt)ABM∽Rt△AMN，求此時x的值。證明在△ABM∽MCN中，∠B=∠C=900，∠1=∠2=900－∠AMB,∴Rt△ABM∽Rt△MCN由（1Rt△ABM∽RtMCN，CM4∴=,即=,BMx4x(4)解得CN==－x＋x，44

ADNM21∴y=（－x2＋x＋4）×4=－x2＋2x＋8=－(x－2)22當x=2時，y有最大值為10，此時點在BC的中點.

2

＋10,（4）解∵∠B=∠AMN=90

0

AM，要使Rt△ABM∽Rt△AMN必須=,MNBMAMAB由Rt△ABM∽Rt△MCN可得=,MNAB∴=,∴BM=MC.BMMC因此，當點M運動到BC的中點時，△ABM∽Rt△AMN，此時x=2.例如圖13，邊長為的正方形OABC的頂點O在原點處，點A、分在第5

x、y的正半軸上，點是OA上的點（不與點A合EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點P。（1）當點E坐標為（3，0）時，試證明：＝EP（2）如果將上述條件“點E標為（3，0為“點E標為（t，0結(jié)論CE＝EP是否仍然成立，請說明理由。（3）在y軸上是否存在點M，使得四邊BMEP是平行四邊形？若存在，t表示點M的坐標；若不存在，說明理由。（4）求BMEP的面積與t的函數(shù)解析式，BMEP的面積是否有最小?有，求出這個最小值。解證法同拓1.（3）y軸上存在點M，使得四邊形是平行四邊形。理由如下：如圖13，過點B作BM∥EP交軸于點M，連接ME、BP，∵EF⊥CE,∴∠2=∠4=90

0

,∴∠1=∠3=90

0

－∠BCE，在△BCM和△COE中，∠BCM=∠

0

，BC=CO∴△BCM≌△COE,∴CM=OE，BM=CE,由（2）知CE=EP，∴BM=EP，∵∥EP，∴四邊形BMEP是平行四邊形。又∵CM=OE=t，∴OM=CO－CM=5t，故點M的坐標為（0,5－t）.（4132=∠4=90

0

EN是的邊BM的高由，S

BMEP

=×=BM(CE－CN)=BM(BMCN)=BM

2

－×CN,S

BCM

=

1×BM×CN=×BC×CM,∴BM×CN=5t，2在Rt△BCM中，BM

2

=t

2

＋5

2

=t

2

＋25,S=tBMEP

2

575－5t＋25=(t－)＋24∴當t=

52

，即E在OA的中點時，BMEP的面積有最小值，這個最小值為754

.例如圖14，∠MON=90

0

，在∠MON的內(nèi)部有一個正方形AOCD點、C別在射線OMONB是ON上任意一點∠MON的內(nèi)部做正方形CD.

（1）聯(lián)結(jié)DD，求證：∠ADD=90

0

；（2）聯(lián)結(jié)CC，猜一猜∠CCN的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論；

第6

（3）如15，ON上再任取一點B，AB為邊在∠MON的內(nèi)部作正方形

ABCD，觀察圖形，并結(jié)合（你再做出一個合理的判斷

D2M

1

MA

D1D

1

C1

C2OB

1

B2圖

1

2

C證明14四邊形AOCDABCD均為正方形AO=AD,AB=AD,∠1=∠2，∴△ADD≌△AOB,∴∠ADD=∠AOB=90

0

；

（2）根據(jù)逆命題1，CC是正方形AOCD的外角平分線，∴∠CN=45

0

；（3）如圖，觀察圖形得∠ADD0，∠C0