二階非齊次線性微分方程的解法

待定系數(shù)法常數(shù)變異法冪級(jí)數(shù)法特征根法升階法降階法關(guān)鍵詞：微分方程，特解，通解，二階齊次線性微分方程常系數(shù)微分方程待定系數(shù)法解決常系數(shù)齊次線性微分方程L解決常系數(shù)齊次線性微分方程L^］三d2x dx +a—+ax-0,dt2 1dt2(1)這里a,a是常數(shù).12特征方程F(特征方程F(九)-九2+a九+a12-0(1.1)(1)特征根是單根的情形設(shè)仆仆…力是特征方程的(1』)的2個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程⑴有如下2個(gè)解：eke%t (1.2)如果九a-1,2)均為實(shí)數(shù)，則az是方程⑴的2個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程(1)的通解可表示為x-ceZ+ce勺12如果方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是實(shí)系數(shù)，復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn)。設(shè)九-a+Pi是一特征根，則九-a-Pi也是特征根，因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)，方程(1)有兩個(gè)復(fù)值解e(a+Pi)t-eat(cosPt+isinPt),e(a-Pi)t-eat(cosPt-isinPt).

它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。這樣一來，對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根九二a±2,我們可求得方程⑴的兩個(gè)實(shí)值解（2）特征根有重跟的情形若0特征方程的k重零根，對(duì)應(yīng)于方程⑴的k個(gè)線性無關(guān)的解Lt，t2,…tk-'。若這個(gè)k重零根九/0，設(shè)特征根為仆仆…，仆其重?cái)?shù)為ki，k2,…士吟+勺+…￡=2）。方程⑴的解為e%t,te%t,???斡-1e\t； t ???t勺t4;…;t ，…t"e\j；對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè)九二a+ip是k重特征根，則氏=a-ip也是k重特征根，可以得到方程⑴的2k個(gè)實(shí)值解eatcosPt,teatcosPt,12eatcosPt,???,tk-ieatcosPt,eatsinPt,teatsinPt,12eatsinPt，…,^-wtsinPt.dx-x=0例1求方程dt2 的通解。解特征方程“2-1=0的根為,=1,%=-1有兩個(gè)實(shí)根,均是單根,故方程的通解為x=cet+ce-t,12這里，,02是任意常數(shù)。例2求解方程d2xdt2例2求解方程d2xdt2+x=0的通解。解特征方程九2+1=0的根為々=i,九2二-i有兩個(gè)復(fù)根，均是單根，故方程的通解x=0sint+0cost,12這里01,02是任意常數(shù)。

某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法(一)化為常系數(shù)1.在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程一類典型的方程是歐拉方程d2y dy(2)x2 +ax—+a(2)規(guī)定(0)y規(guī)定(0)y的系數(shù)是的這里a,a為常數(shù)，它的特點(diǎn)是丁的階導(dǎo)數(shù)(12次方乘以常數(shù).我們想找一個(gè)變換，使方程(2)的線性及齊次性保持不變，且把變系數(shù)化為常系數(shù)。根據(jù)方程x本身的特點(diǎn)，我們選取自變量的變換x二①⑴，并取中⑴二e，，即變換TOC\o"1-5"\h\zx=et(t=Inx) (2.1)就可以達(dá)到上述目的(這里設(shè)x>0，當(dāng)x<0時(shí)，取x=-e-t，以后為確定起見,認(rèn)為x>0)。事實(shí)上，因?yàn)閐y dydt dy——= =e-1——dx dtdx dtd2yd dydt d2ydy (e-t)-e-2t()dx2 dt dtdx dx2 dt代入方程(2)，則原方程變?yōu)閐2y dy +(a—1) +ay—o(2.2)dt2 1dt2方程(2.2)常系數(shù)二階線性微分方程，由上可求得方程的通解。再變換(2.1)代回原來的變量，就得到原方程(2)的通解。d2ydy例 求方程x2而+5xd-+4y-0的通解解此方程為歐拉方程，令"一"，則由(2.2)知，原方程化為學(xué)+4dy+4y二o (2.3)dt2 dt其特征方程為入2+4X+4=0特征根為?=九2二一2，故方程(2.3)的通解為y=(c+ct)e-2112換回原自變量X，則原方程的通解為y=(c+clnx)x-2122.在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的方程現(xiàn)在考慮二階變異系數(shù)線性方程d2y+P(X)dy+P(X)y=0 (2.4)dx2 1dx2的系數(shù)函數(shù)Pi(X),P2(X)滿足什么條件時(shí)，可經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性齊次變換y=a(x)z(2.5)化為常系數(shù)方程。這里a(X)是待定函數(shù)。為此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到a(x)z''+[2a′x+P(x)a(x)]z'+[a”(x)+P(x)a,(x)+P(x)a(x)]z=0(2.6)1 12欲使(2.6)為常系數(shù)線性齊次方程，必須選取a(X)使得z'、、'及z的系數(shù)均為常數(shù)。特別地，令z’的系數(shù)為零，即2a'+P(x)a—0可求得a(X)―e-2JP(X)dX再代入(2.6)，整理之，得到z—[P(x)--P2(x)--P(x)]z=0 (2.7)4121由此可見，方程(2.4)可經(jīng)線性齊次變換y=e-2JP1(X)dx?z(2.8)化為關(guān)于z的不含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性齊次方程(2.7),且當(dāng)z的系數(shù)I(x)=P(x)-1P2(x)-1P(x)2 41 21為常數(shù)時(shí)，方程(2.7)為常系數(shù)方程。因方程(2.4)在形如(2.8)的變換下，函數(shù)1(x)的值不會(huì)改變，故稱1(x)為方程(2.4)的不變式。因此，當(dāng)不變式1(x)為常數(shù)時(shí)，方程(2.4)可經(jīng)變換(2.8)化為常系數(shù)線性齊次方程。例求方程x2v，+xy'+(x2-1)y=0例本方程 4的通解P(x)=-,P(x)=1--1—解這里1x2 4x2，因I(x)=1----—(—)2-—(--)二14x2 4x2 x2故令HiHidy=e-2Jxdx?z就可把原方程化為常系數(shù)方程z''+z=0可求得其通解為z=ccosx+csinx代回原變量y，則得原來方程的通解為cosxsinxy=clK+c2詞(二)降階的方法處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當(dāng)?shù)淖儞Q把高階方程的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階方程的求解問題。具

體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。已知史x+p(t)—+q(t)x―0 x牛0dt2dt 的一個(gè)特解1，試求該方程的通解x—xJdt解作變換x xiy，則原方程可化為一階線性微分方程1dxx—+「2x'+p(t)xy1dx求解，得1J…y—ce—Jp(t)dtx21所以原方程的通解為c+cJ-e」p(t)dtdt.1x21法二設(shè)x2是方程的任一解，則有劉維爾公式得x1x，1x2x'2—ce-x1x，1x2x'2—ce-Jp(t)dtc中0，亦即其中常數(shù)xx'—x'x—ce—Jp(t)dt.121以積分因子77

x112乘上式兩端，就可推出—(x2)——e」p(t)dtdtxx211積分上式可得到x=x1c+cJ-e」p(t)dtdt.2 1x21例求方程xy”-q+y=0的通解冪級(jí)數(shù)法解由觀察知方程有一特解J1(x)=x，令則y"z+Xx',y=2z一Xx”，代入方程，得冪級(jí)數(shù)法解由觀察知方程有一特解J1(x)=x，令則y"z+Xx',y=2z一Xx”，代入方程，得再令z'=u，得一階線性齊次方程x2u'+(2-x)xu=0從而可得ex exu=c—,z=cdx+c1x2 1x2 2取，=L°2=0,便得原方程的另一解V—xJexdxy-xj(Xx2 x2顯然，解YJ2線性無關(guān)，故方程的通解為j=cx+cxJexdx

1 2x2d2J考慮二階線性微分方程dx2dx 及初值00及y(xoXyo的情況可設(shè)一般性，可設(shè)x0=0，否則，我們引進(jìn)新變量t=x-x0，經(jīng)此變換，方程的形式不變，但這時(shí)對(duì)應(yīng)于x=xo的就是to=0了.因此總認(rèn)為xo=0

定理若方程⑴中的系數(shù)p(x)和q(x)都能展成x的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為x<R則方程(1)有形如y=￡axnnn=0的特解，也以x的特解，也以x<R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定理若方程⑴中的系數(shù)p(x)和q(x)都能展成x的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為Ixl<R則方程(1)有形如y=￡axnnn=0的特解，也以x的特解，也以x<R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定理若方程⑴中的系數(shù)p(x)和q(x)具有這樣的性質(zhì)，即xp(x)和x2q(x)都能展成x的冪級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為x<R，若a產(chǎn)0，則方程⑴有形如y=xa￡axn(1.1)nn=0a是一個(gè)待定的常數(shù).級(jí)數(shù)(1-1) x<R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.的特解，也以的特解，例求方程》-2q-4y=0的滿足初值條件y(0)=0及y'(0)=1的解解設(shè)y=a+ax+ax2H Faxn+??? (1.2)0 1 2 n為方程的解.利用初值條件，可以得到

a=0,a=1,

01因而y=x+ax2f Faxn+?…y'=1+2ax+3ax2h Fnaxn-1+?…23y"=2a+3?2ixh \-n(n—l)qx〃—2H—將y,y,y”的表達(dá)式代入原方程，合并x的同次冪的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到TOC\o"1-5"\h\z八 , 八 2a=0,a=1,a=0,…a= a2 3 4 nn-1n-2因而a=1,a二0,a二一a二0,a」

52!6 763!8 94!最后得a 二1，」,a二0,2k+1 k(k-1)! k!2kk成立.對(duì)一切正整數(shù)將"i=0,1,2,---)的值代回(1.2)就得到、x5 x2k+1y—x+x3+—+???+ +???2!kx2k+ )x2k+ )=x(1+x2+——+ +2!=xex2,這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級(jí)數(shù)解法求解方程y”+xy'+y—0

解因?yàn)閜0ax1，p1('x元4a11,所以在y0的鄰域內(nèi)有形如y0工axn=0冪級(jí)數(shù)解.將'0,y0,y0代入原方程，得(2a+a)+￡[n(n-1)a+(n—1)a ]^n—2=0.TOC\o"1-5"\h\z2 0 n n—2n=3x的同次冪的系數(shù)，得比較2a+a=0,6a+2a=0,

20 3 1n(n-1)a+n(n-1)a=0(n>4).

n n-2解得aa 1a― —0-,a——1,a-(1)n a2 2 3 3 2n、72nn!0，(-1)naa= 1 2n+113.????(2n+1)所以，原方程的通解為y=a0y=a0￡M"+an=0￡n=0(-1)nx2n+11?3?…?(2n+1)x2y=ae-x2y=ae-2+a即0:乙 x2n+1.1 1?3?…?(2n+1)n=0方程組的消元法在某些情形下，類似于代數(shù)方程組的消元，我們可以把多個(gè)未知函數(shù)的線性方程組化為某一個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程來求解例求解線性微分方程組dx.五"-5y，〈dy~r=2x—y.Idx解從第一個(gè)方程可得

(1.2)把它代入第二個(gè)方程，就得到關(guān)于的二階方程式d2x +9x=0.dt2不難求出它的一個(gè)基本解組為x=cos31,x=sin3t,12把x1和x2分別代入(1.2)式，得出了的兩個(gè)相應(yīng)的解為y=-(cos31+3sin3t),y=,(sin3t-3cos31).15 25由此得到原來微分方程組的通解為(5cos3t(5cos3t)二c11cos31+3sin3t(5sin3t )21sin3t-3cos31,其中c1和c2為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法LI-d2x其中c1和c2為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法LI-d2x…dx (')”、常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程LLx」=飛+aid+a2x—內(nèi)),(2)這里a,a是常數(shù)，f(t)為連續(xù)函數(shù)12類型一設(shè)f(t)=(btm+btm-1+…)t+b)e環(huán)其中九及8(i=0,1,…m)為實(shí)常數(shù)，那么方程d)有形如m-1mx=kk(Btm+Btm-i+…B+-B)e入t01m-1m的特解，其中“為特征方程方（九）二°的根入的重?cái)?shù)（單根相當(dāng)于仁1;當(dāng)入不是特征根時(shí)，?。?°）而B,5,…與是待定常數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定J0 1m ?類型二WG）=[aG）cosPt+BG）sinPt]G其中a,p是常數(shù),而A（4B（。是帶實(shí)系數(shù)的的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為而另一個(gè)的次數(shù)不超過也那么我們有如下結(jié)論:方程（2）有形如X—tkP（r）cosPt+^OsinPt]X—tk的特解，其中人為特征方程/Q）二0的根〃+沿的重?cái)?shù)，而p（4qQ）均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于加的'的多項(xiàng)式，可以通過比較系數(shù)來確定.r.?.xnd^x^dx r求萬程——2——3x=3%+l撮dt 的通解解先求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程d2xdx -2——-3x=0力2 dt九2—2九一3=0有兩個(gè)木艮九=3,九=一1的通解.這里特征方程 1J1 1 2 ,因此，通解為％=,產(chǎn)'+。2'一’，其中1工2為任意常數(shù).再求非齊次線性微分方程的

一個(gè)特解.這里/Q）=3/+1,入=0,又因?yàn)榫哦悴皇翘卣鞲?，故可取特解形如x=A+5%其中A,B待定常數(shù),為了確定a,b,將％=A+及代入原方程，得到-2B-3A-3Bt=3t+l比較系數(shù)得

-3B=3,-2B-3A=1,TOC\o"1-5"\h\z1 ~1B=—1,A=—,x=——t,由此得 3從而3因此，原方程的通解為~ 1x=ce31+ce—t—t+—.i2 3求方程的也+4dx+4x=cos22d22 d2 通解.解特征方程"十隊(duì)”=0有重根,='"-2，因此,對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為x=(c+ct)e—21,

12其中c1,c2為任意常數(shù)現(xiàn)求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解因?yàn)椤?i不是特征根，我們求形如x=Acos2t+Bsin22的特解，將它代入原方程并化簡(jiǎn)得到8Bcos21—8Asin21=cos21,1比較同類項(xiàng)系數(shù)得.，―王從而x-8sm＞因此原方程的通解為TOC\o"1-5"\h\zx=(c+ct)e—22+—sin21.

12 8方法二由方法一知對(duì)應(yīng)的齊次線性的通解為x二(cJc2t)e-22.為求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，我們先求方程d2x dx2i不是特征根，故可設(shè)特解為Usin2t,8于是原方程的通解為 +4 +4x2i不是特征根，故可設(shè)特解為Usin2t,8于是原方程的通解為d22 d2 的特解.這是屬于類型一，?i i- 1?- cx=--e2it=--cos21+—sin21, Re8 8 8分出它的實(shí)部x=(c+ct)e—22+』sin2t12 8注：對(duì)于d2xdt2dx+ad2xdt2dx+a——+ax1dt2=f(t)+g(t),可分解為Vd2x dx +a—+axdt2 1dt2=f(t)(3)d2x dx +a—+ax—dt2 1dt2g(t)(4)，并且f(t),g(t)均滿足類型一或者類型二.若 的特解分別為x,x,則原方程的特解為1 2x—x+x.12這是因?yàn)閐2x dx這是因?yàn)閐2x dx 1+a—i+axdt2 1dt21—f(t)d2xdx 2+a—2-+ax—g(t)dt2 1dt22d2x dx~d2(x+x)d(x+x)/ +a——+ax― 1 2-+a 1 2-+a(x+x)dt2 1dt2dt2 1dt21 2dd2dd2xdx~、=( 1+a——i+ax))dt2 1dt21=f(t)+g(t),d?xdx~、 2+a——2+ax)dt2 1dt22求x''-4x'+4x—et+e21+1的通解.對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為九2—4九+4—0,即得特征根為，二九2二2.(1)對(duì)應(yīng)方程x"-4x'+4x—e，設(shè)其特解為x―A?et,代入方程則的A—1,即方程x"-4x'+4x—et的一個(gè)特解為x―et⑵對(duì)應(yīng)方程x"-4x1+4x―e2t，設(shè)其特解為x―B22e2t,代入方程則的B=2..~1即方程x"-4x1+4x—e2t有一個(gè)特解為x—2%2e2t.

⑶對(duì)應(yīng)方程x"-4x'+4x=1，設(shè)其特解為x=0，代入方程則的c-4，..~1即方程x"-4x'+4x=e2t有一個(gè)特解為x-4所以原方程的通解為x=e21(c+ct)+et+112e21+-,12 2 4這里c1，c2是任意常數(shù).升階的方法升階是常微分方程很少提到的一種方法，這是因?yàn)殡S著階數(shù)的升高，一般會(huì)使得求解更為繁瑣，但適當(dāng)運(yùn)用這種方法，在有些情況下也可以受到事半功倍的效果.升階法往往用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程，具體分析見參考文獻(xiàn)【9】例用升階法求方程x''-2x'-3x=-*+1的一個(gè)特解解兩邊同時(shí)逐次求導(dǎo)，直到右邊為常數(shù)，得令x'--1，則x''=x'''-0代回原方程，得-2-3x--3t+1，解之，有x-t—1，該表達(dá)式幾位方程的一個(gè)特解.例用升階法求方程x''-2x'+5x-6”近21的一個(gè)特解解先求解方程y解先求解方程y-2y'+5y-e(1+2i)t，令y-u令y-u(t)e(i+2i)t代入方程，得u''+4iu'=1，1--i4u=-1it進(jìn)一步取4，則y---ite(1+2i)t=--itet(cos2t+isin2t)44——tetsin21--itetcos21,4 4

其虛部函數(shù)為原方程的一個(gè)特解，即可求得原方程的一個(gè)特解為1x二一—tetcos21.4常數(shù)變易法定理如果a(t),a(t),…〃(t),f(t)12是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)函數(shù)，X1(t),X2(t),…X“⑴是區(qū)間aVt<b上齊次線性微分方程X(〃)+a(t)X(〃T)+.??+〃(t)X=0的基本解組，那么，非齊次線性微分方程X(n)+a(t)X(nT)+???+〃(t)x=f(t)1的滿足初值條件M)=0,Mt)=0,…。(n-D?)=0,tG[a,b]的解有下面公式給出0(t)=Zx(tj<

kk=1 t0W[x(s),0(t)=Zx(tj<

kk=1 t0W[x(s),x(s),…，x(s)]W[X(s),X(s),…,X(s)]12W[X(s),X(s),…，X(s)]這里111 2W[X(s),X(s),…，X(s)]k1 2是在>f(s)ds,X(s),X(s),…，X(s)12W[X(s),X(s),…，X(s)]12的朗斯基行列式，中的第k歹1」代以(0,0,…,0,1)t后得到的行列式，而且非齊次方程的任一解沈⑴都具有形式u(t)=cX(t)+cX(t)+…+cX(t)+。(t),11 22這里I"2,…,cn是適當(dāng)選取的常數(shù).特別地，當(dāng)n=2時(shí)x"+a(t)x'H Fa(t)x=0的特解為0(t)=X(tj<1t0W[X(s),X(s)][W[X1(s),X2(s)]>f(s)ds+X2(t)Lt0W2[X1(s),X2(s)]

W[XJ(s),X2(s)]

12\f(s)ds.x(s)2X,(s)2=-X2(s),W2[X1(s),X2⑸]二X(s)1X,(s)1二X1(s),因此，當(dāng)n=2時(shí)，常數(shù)變易公式變?yōu)閒X(t)X(s)—X(t)X(s)2 1 1 2 W[X(s),X(s)]t0 1 2f(s)ds.而通解就是X=cX(t)+cX(t)+。(t).11 22法二設(shè)Xi(t),X2①,…,X(t)是方程X(n)+%⑴X(n-1)+...+^(t)X=0的基本解組，當(dāng)滿足以下條件時(shí) X=c(t)X(t)+c(t)X(t)+...+C(t)x(t)是方程I ， ii2 2 nn 刀巳yj 4王x(n)+a(t)x(n-1)+???+〃(t)x=f(t)1 n的通解X(t)c'(t)+X(t)c'(t)+???+%(t)c'(t)=01 1 2 2 nnX1(t)c'(t)+X'(t)c'(t)+