新定義數(shù)列求解差策略

新定義數(shù)列求解策略高考考情:以數(shù)列為背景的新定義問(wèn)題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn),考查頻次較高.命題形式:常見(jiàn)的有新定義、新規(guī)則等.求解策略：（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選取:對(duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題,搞清定義是關(guān)鍵,仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡(jiǎn)單處)體會(huì)題意,從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.課前預(yù)習(xí)：1、若數(shù)列a滿(mǎn)足11d(nN,d為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列a為“調(diào)和數(shù)列”.已 n a a n n1 n1知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且bbLb90=90,則b?b的最大值b 1 2 9 4 6n是?！窘馕觥坑梢阎?為等差數(shù)列,且b+b=20,又b>0,所以b·b≤100,當(dāng)且僅當(dāng)b=b時(shí)等號(hào)成立.n 4 6 n 4 6 4 6變式、若數(shù)列a滿(mǎn)足1p0,nN,p為非零數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列a為“放飛”數(shù)n a a nn1 n1列。已知正項(xiàng)數(shù)列為“放飛”數(shù)列，且bbbLb299，則bb的最小值b 123 99 8 92n是。解：（1）證明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）?！啻嬖诮猓海?）證明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）?！啻嬖趍=n+1使得。=1+（m-1）d成立?；?jiǎn)得n1 n n 123 99 50b2.bb2bb2b4，當(dāng)且僅當(dāng)bb即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).50 8 92 8 92 50 8 922、定義運(yùn)算符號(hào):“Π”,這個(gè)符號(hào)表示若干個(gè)數(shù)相乘.例如,可將1×2×3×…×n記作ninN.記Tna,其中a為數(shù)列anN中的第i項(xiàng). n ii i ni1 i1 (1)若a2n1,則T=.(2)若Tn2nN,則a=. n 4 n nn2【解析】(1)an=2n-1,則a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,所以T4=1×3×5×7=105.（2）an1,n2n1,n1例題：1、設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S.若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sa，則稱(chēng)n n n m{a}是“H數(shù)列”.n(1)若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S2n(nN),證明:{a}是“H數(shù)列”;n n n(2)設(shè){a}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1,公差d0.若{a}是“H數(shù)列”,求d的值；n 1 n（2）=1+（n-1）d，若{}是“H數(shù)列”則對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得2、已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}，{bn}分別滿(mǎn)足|an+1-an|=2，bn214bn2，且a1=1，b1=-1.(1)若數(shù)列{a}，都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{a}，的通項(xiàng)公式.n n n n(2)若數(shù)列{c}滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)r(r∈N*)，使得c<c，稱(chēng)數(shù)列{c}為“夢(mèng)r數(shù)列”.設(shè)數(shù)n r+1r n列{a}，的前n項(xiàng)和分別為S，T.n n n n①若數(shù)列{a}為“夢(mèng)5數(shù)列”，求S.②若{a}為夢(mèng)r數(shù)列”，為r數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使得S=T?若存在，求mn 1 n 2 m+1m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思維引導(dǎo)】m=+1+，且dm=+1+，且d0，又m，，d，且為整數(shù)。(1)(2)(3)因?yàn)閿?shù)列{a}，都為遞增數(shù)列，所以a-a=2，b=-2b，b=2b，n∈N*，n n n+1n 2 1 n+2 n+1-1，n1，所以a=2n-1，b=2n-1，n2.………4分n n①因?yàn)閿?shù)列{a}滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)r=5，使得a<a，且|a-a|=2，所以數(shù)列n r+1 r n+1n{a}必為1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5項(xiàng)為首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，從第6n項(xiàng)開(kāi)始為首項(xiàng)7、公差為2的等差數(shù)列，n2，n5，故S=n2-4n20，n6.…………8分n②因?yàn)?=4，即b=±2b，所以|b|=2n-1…………………9分 n+1 n n而數(shù)列為“夢(mèng)r數(shù)列”且b=-1，所以數(shù)列中有且僅有兩個(gè)負(fù)項(xiàng).n 2 1 n假設(shè)存在正整數(shù)m，使得S=T，顯然m≠1，且T為奇數(shù)，而{a}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，所m+1m m n以m必為偶數(shù)………………………10分首先證明：m≤6.若m>7，在數(shù)列{a}中，(S)=1+3+…+(2m+1)=(m+1)2，而在數(shù)列中，b必然為正，n m+1max n m否則T=-1+b+…+(-2m-1)≤-1+21+…+2m-2+(-2m-1)=-3<0，顯然矛盾. m 2所以(T)=-1+21+…+2m-3+(-2m-2)+2m-1=2m-1-3，mmin設(shè)c=2m-1-(m+1)2-3，易得d=c-c=2m-1-2m-3，m mm+1m而d-d=2m-1-2>0(m>7)，m+1m所以qstflnx(m>7)為遞增數(shù)列，且d>0進(jìn)而{c}(m>7)為遞增數(shù)列，而c>0，m 7 m 8所以(T)>(S)，即m≤6……………………14分mminmmax當(dāng)m=6時(shí)，構(gòu)造：{a}為1，3，1，3，5，7，9，…，為-1，2，4，8，-16，32，64，…n n此時(shí)r=2，r=4，所以m=6，對(duì)應(yīng)的r=2，r=4……………16分 1 2 max 1 23、若數(shù)列a中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為b（mN*），則稱(chēng)數(shù)列b是數(shù)列a的生n m m n成數(shù)列，稱(chēng)相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列a生成b的控制函數(shù).已知an2，且f(m)m2，出b、、b；1 2 3已知a2n，且f(m)m，求b的前m項(xiàng)和S；m m已知a2n，且f(m)Am3（AN*），若數(shù)列b中，b，b，b是公差為dm 1 2 3（d0）的等差數(shù)列，且b10，求d的值及A的值.3解：（1）m1，則a11b1；m2，則a14，a44b21 1 1 2 2m3，則a19，a49a99b3…………3分 1 2 3 3 m m1（2）m為偶數(shù)時(shí)，則2nm，則b；m為奇數(shù)時(shí)，則2nm1，則b ；m2 m 2m1b2 (m為奇數(shù))…………5分mm (m為偶數(shù))2m為偶數(shù)時(shí)，則SbbL m 1 21 1mm2b(12Lm)；m2 22 4m為奇數(shù)時(shí)，則SbbL m 1 2m21 (m為奇數(shù))(m1)2m1m21bSb；mm1m1424 4 …………8分Smm2(m為偶數(shù))4（3）依題意：a2n，f(1)A，f(2)8A，f(5)125A，n設(shè)bt，即數(shù)列{a}中，不超過(guò)A的項(xiàng)恰有t項(xiàng)，所以2tA2t1，同：2t+d8A2d1,2t+2d125A2t2d1,2tA2t1, 2t+2d 2t2d1即2t+d3A2td2,故max{2t,2t+d3, }Amin{2t1,2td2, } 125 1252t+2d 2t2d1A,125 1252t+d32t1,由2t+2d 得d4，Qd為正整數(shù)d1,2,3，…………10分2td2,1252t+2d 2t42t當(dāng)d1時(shí)，max{2t,2t+d3, }=max{2t,, }2t， 125 4125 2t2d1 2t82t82tmin{2t1,2td2, }=min{2t1,, }1252t不合題意，舍去； 125 21252t2d 162t當(dāng)d2時(shí)，max{2t,2t+d3, }=max{2t,2t1, }2t， 125 125 2t2d1 322t 322tmin{2t1,2td2, }=min{2t1,2t, }2t不合題意，舍去； 125 125 1252t+2d 642t當(dāng)d3時(shí)，max{2t,2t+d3, }=max{2t,2t, }2t， 125 125 2t2d1 1282t1282tmin{2t1,2td2, }=min{2t1,2t+1, }2t適合題意，………12分 125 125 125128此時(shí)2tA2t，bt,bt3,bt6，t3bt6Qb10t7t為數(shù)4,t5,t6或t73 210 211Qf(3)27A，b1021027A211A………14分 3 27 27當(dāng)t4時(shí)，24A 無(wú)解125當(dāng)t5時(shí)，25A無(wú)解125213當(dāng)t6時(shí)，26A 64A 125 125214當(dāng)t7時(shí)，27A 無(wú)解12521326AQAN*A64或A65125綜上：d3，A64或65．………16分備用：若數(shù)列{a}中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱(chēng){a}為“等n n比源數(shù)列”。已知數(shù)列{a}中，a2,a2a1。1 n1 n①求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；n②試判斷數(shù)列{a}是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論。n已知數(shù)列{a}為等差數(shù)列，且a0,aZ(nN*).求證：{a}為“等比源1 n n數(shù)列”【答案】（1）①a2n11；②略；（2）略．n【命題立意】本題旨在考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的求解等基本性質(zhì)．考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．難度較大．【解析】（1）①由a＝2a－1，得a－1＝2(a－1)，且a－1＝1，n+1 n n+1 n 1所以數(shù)列{a－1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)n列．……2分所以a－1=2n-1．n所以，數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a＝n n2n-1+1．………………4分②數(shù)列{a}不是“等比源數(shù)列”．用反證法證明如下：n假設(shè)數(shù)列{a}是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)a，a，a(m＜n＜k)按一定次序排n m n k列構(gòu)成等比數(shù)列．因?yàn)閍＝2n-1+1，所以a＜a＜n m na．……………………7分k所以an2＝am·ak，得(2n-1+1)2＝(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1．又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m+1≥1，k－1≥1，k－m≥1．所以22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m為偶數(shù)，與22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1矛盾．所以，數(shù)列{a}中不存在任何三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列．n綜上可得，數(shù)列{a}不是“等比源數(shù)n列”．…………10分（2）不妨設(shè)等差數(shù)列{a}的公差d≥0．n當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{a}為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)列{a}為“等比源數(shù)列”．n n當(dāng)d＞0時(shí)，因?yàn)閍∈Z，則d≥1，且d∈Z，所以數(shù)列{a}中必有一項(xiàng)a＞0．n n m為了使得{a}為“等比源數(shù)列”，n只需要{a}中存在第n項(xiàng)，第k項(xiàng)(m＜n＜k)，使得a2＝aa成立，n n mk即[a+(n－m)d]2＝a[a+(k－m)d]，即(n－m)［2a+(n－m)d］＝a(k－m)成mmmmm立．…13分當(dāng)n＝a+m，k＝2a+ad+m時(shí)，上式成立．所以{a}中存在a，a，a成等比數(shù)m m m n m n k列．所以，數(shù)列{a}為“等比源數(shù)n列”．……………………16分當(dāng)堂反饋：1、已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=(-1)n·n，若對(duì)任意正整數(shù)n，(a-p)(a-p)<0恒成立，n n n+1 n則實(shí)數(shù)p的取值范圍是.6.(-1，3)【解析】當(dāng)n=1時(shí)，a=S=-1；當(dāng)n≥2時(shí)，a=S-S=(-1)n·(2n-1)，當(dāng)n=1時(shí)，a=-1 1