2013年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查(理科)

PAGEPAGE42013年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)本試卷分第=1\*ROMANI卷(選擇題)和第=2\*ROMANII卷(非選擇題)，第=2\*ROMANII卷第21題為選考題，其他題為必考題．本試卷共5頁．滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．考生作答時，將答案答在答題卡上．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效.3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0．5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差錐體體積公式s=V=Sh其中為樣本平均數(shù) 其中S為底面面積，h為高柱體體積公式 球的表面積、體積公式V=Sh ，其中S為底面面積，h為高 其中R為球的半徑第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．2．已知向量，則“”是“”的．充分而不必要條件．必要而不充分條件．充要條件．既不充分也不必要條件ABCABCD4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的值為A．3B．126C.127D.1285．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面．下列命題正確的是．若，則．若，則．若，則．若，則6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的值可以是A．B．C．D．7．設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點，，垂足為．如果為正三角形，那么等于．．．．8．在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點，且.若，則的最大值為A.B.C.D.9．若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．19.(本小題滿分13分)如圖1，橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，為橢圓上一點，且垂直于軸.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）給出命題：“已知是橢圓上異于的一點，直線分別交直線：（為常數(shù)）于不同兩點，點在直線上.若直線與橢圓有且只有一個公共點，則為線段的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;（Ⅲ）試研究（Ⅱ）的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點的直線，并寫出作圖步驟.注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.20．(本小題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(Ⅰ)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)是否存在平行于直線且與曲線沒有公共點的直線？證明你的結(jié)論；(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足,,若是單調(diào)數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.21．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換已知矩陣，向量．(Ⅰ)求矩陣的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量；（Ⅱ）求．（2）（本小題滿分7分)選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程如圖，在極坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若以極點為原點，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系.（3）（本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）求證：,并說明等號成立的條件；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2013年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則．二、對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．．二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算．每小題4分，滿分20分．11．24；12．9；13．；14．；15．①②③④．三、解答題：本大題共6小題，共80分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.本小題主要考查簡單幾何體的三視圖，直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．滿分13分．解法一：（Ⅰ）由三視圖可知，在三棱柱中，，,且，．…………………2分以點為原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知可得，．………………4分，又，．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，設(shè)平面的法向量為則令，得平面的一個法向量為………10分由（Ⅰ）知，是平面的法向量，…………………11分．故二面角的余弦值為．……………13分解法二：（Ⅰ）由三視圖可知，在三棱柱中，，,且，．………2分，，，，……4分，．…………5分由正方形可得，，又，．………………7分（Ⅱ）同解法一．17．本題主要考查概率統(tǒng)計中數(shù)據(jù)平均值與方差、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應(yīng)用用意識，考查必然與或然思想等．滿分13分．解:(Ⅰ)依題意得，，又，，∴∴解得或…………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可得B種輕型汽車不會被懲罰的車輛數(shù)為3,隨機變量．，，．…………9分故的分布列為………11分∴．………………13分18.本小題主要考查余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用意識、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．滿分13分．解法一：（Ⅰ）依題意，在中，由余弦定理：即此時該外國船只與島距離海里5分（Ⅱ）在中作于點。在中7分以為圓心，12為半徑作圓交于連接，在中，∴，∴，故在中，，9分又該外國船只到達(dá)點的時間小時。10分則我海監(jiān)船速度海里/小時。12分∴我海監(jiān)船要以北偏東，速度的最小值為每小時20海里。13分解法二：以A點為原點，以AD所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖。（Ⅰ）依題意，，,所以,.此時該外國船只距與D島距離海里5分（Ⅱ）以點D為圓心，以12為半徑作圓D，則圓D的方程為：在中作于點，則直線的方程為：7分設(shè)直線與圓D在第一象限的交點為點，聯(lián)接。聯(lián)立解得，8分所以，，所以，所以。國為該外國船只到達(dá)點的時間小時，10分所以我海監(jiān)船速度海里/小時。12分所以我海監(jiān)船要以北偏東的航向和至少每小時20海里的速度前往攔截。13分19．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．滿分13分．解法一：（Ⅰ）因為為橢圓上一點，垂直于軸，所以在中，，，，又因為所以所以，所以橢圓的方程為.…………4分（Ⅱ）逆命題：“已知是橢圓上一點，直線分別交直線：（為常數(shù)）于兩點，若為線段的中點，則直線與橢圓有且只有一個公共點”，為真命題.……………6分證明如下：設(shè)，則，又，，所以，，設(shè)的中點，則，，又因為，所以，即點，………8分所以，則，即.聯(lián)立方程，消并化簡得：，……………9分所以，所以直線與橢圓有且只有一個公共點.…10分（Ⅲ）如圖，①任作一條直線垂直于實軸；②作直線分別交直線于兩點；③作線段的中點，則直線即為所求的直線.………13分解法二：（Ⅰ）因為為橢圓上一點，垂直于軸，所以即解得所以橢圓的方程為.…………4分（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一.20．本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想、分類討論思想等.滿分14分.解法一：(Ⅰ)依題意，，…………1分由可得解得所以，.…………3分當(dāng)x變化時，與的變化情況如下表：x02+0_-0+02所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，.………5分(Ⅱ)與直線平行的直線設(shè)為，由得，即①…………6分當(dāng)時，方程①有唯一解，此時曲線與直線有公共點；當(dāng)時，方程①無解，此時直線與曲線沒有公共點.故存在直線與曲線沒有公共點.……8分(Ⅲ)，下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，.證：=1\*GB3①當(dāng)n=1時，>2不等式成立.=2\*GB3②假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即.則，于是.故當(dāng)n=k+1時，不等式成立.根據(jù)=1\*GB3①=2\*GB3②可知，對于,有.…………10分于是，所以，即是單調(diào)遞減數(shù)列.當(dāng)時，，由（Ⅰ）知，,于是有，故不是單調(diào)數(shù)列.當(dāng)時，<0，.所以，于是，故不是單調(diào)數(shù)列.當(dāng)時，，，又因為，于是.所以，故。故是單調(diào)遞增數(shù)列.當(dāng)時，.故不是單調(diào)數(shù)列.當(dāng)時，.故不是單調(diào)數(shù)列.綜上，的取值范圍是.…………14分解法二：（Ⅰ）、(Ⅱ)同解法一（Ⅲ）當(dāng)＞1時，由于，由（Ⅰ）知：當(dāng)＞1時，有，且時，＞2.所以，當(dāng)時，有，數(shù)列不單調(diào)；當(dāng)且時，＞2.因為，則當(dāng)時，有＜.又，當(dāng)1＜＜2時，有＞，數(shù)列不單調(diào)；當(dāng)＞2時，有＜，數(shù)列單調(diào)遞減.所以，當(dāng)＞2時，數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)1＜時，數(shù)列不單調(diào).當(dāng)＜1時，同理可證：當(dāng)＜0時，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)＜1時，數(shù)列不單調(diào).綜上可知：當(dāng)＜0或＞2時，數(shù)列是單調(diào)數(shù)列；當(dāng)＜1或1＜時，數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.21．（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分7分．解法一:(Ⅰ)矩陣的特征多項式為，令，解得,當(dāng)時，得,當(dāng)時，得.………3分（Ⅱ）由得，解得.所以………7分解法二:(Ⅰ)同解法一.（Ⅱ）因為,所以…………………7分（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合