2023年湖北省黃石市重點(diǎn)高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知（2-肛）（1門的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)團(tuán)=（）

X

A.2B.-2C.-3D.3

2.已知AM,BN分別為圓。：（》+1）2+丁=1與a：（x-2y+y2=4的直徑，則荏.旃的取值范圍為（）

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

3.若。＞0力＞0,則“a+z?W4”是“曲早4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22_________

4.已知點(diǎn)P是雙曲線C:三一2r=1（。＞0力＞0,c=，？萬(wàn)）上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積

ab

1i

為一。2,則雙曲線。的離心率為（）

4

A.0B.斑C.A/3D.2

2

5.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=12（）,則判斷框內(nèi)為（）

開始

A.后>7?B.k>6?C.左>5?D.k>4?

6.如圖所示點(diǎn)尸是拋物線產(chǎn)=8》的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、3分別在拋物線及圓工2+3；2一4%-12=0的實(shí)線部分上

運(yùn)動(dòng)，且A3總是平行于％軸，則AE48的周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.(6,10)B.(8,12)C.[6,8]D.[8,12]

x+y<4

上式的取值范圍是(

7.點(diǎn)P(x,y)為不等式組<yWx所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則)

x—2

y>0

A.(―Q0,—2)+co)B.(―℃>,—l]U[U+°°)C.(―2,1)D.[―2,1]

8.記s“為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和數(shù)列｛4｝對(duì)任意的p,qeN*滿足=4+4+13.若4=-7,則當(dāng)S“取最小值時(shí),

”等于()

A.6B.7C.8D.9

9.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為()

A,6兀3省萬(wàn)1

A.1-----B.—C.----D.—

6464

10.若函數(shù)“x)=-lnx+x+〃，在區(qū)間~,e上任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b,c均存在以/(a),/(Z?),/(c)為邊長(zhǎng)的

三角形，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.B.-l,e-3)C.Q-L+oo]D.(e-3,+<?)

13

11.已知。=logi213/=,c=log1314,則a,4c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>hC.h>c>aD.a>c>h

22

12.已知雙曲線與-方=l(a>03>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A6,雙曲線的右焦點(diǎn)廠為(2,0),點(diǎn)P在過(guò)尸且垂

直于x軸的直線/上，當(dāng)AA6P的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為()

22

二上=1

22

2

C.---y2=i

344

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+2..0,

13.已知實(shí)數(shù)羽丁滿約束條件<2x+y-5,,0,,則z=-x+3y的最大值為.

J..1,

x—y+1..0,

14.已知實(shí)數(shù)x,)‘滿足約束條件＜3%一丁一3,,0,則2=2%+丁的最大值為.

J..0,

15.一個(gè)村子里一共有〃個(gè)人，其中一個(gè)人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個(gè)人，這個(gè)人又把謠言告

訴了第三個(gè)人，如此等等.在每一次謠言傳播時(shí)，謠言的接受者都是在其余〃-1個(gè)村民中隨機(jī)挑選的，當(dāng)謠言傳播

%(左.2)次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是.

16.電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕

傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無(wú)悔人生，小明想約

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,

3,4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：

甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是B,第3個(gè)盒子里放的是C

乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是3,第3個(gè)盒子里放的是。

丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是。，第2個(gè)盒子里放的是C

丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是A，第3個(gè)盒子里放的是C

小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”

可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為b、c,且cos2C+3cosc-1=0.

(1)求角。的大??；

(2)若b=3a,AABC的面積為由sinAsin8,求sinA及c的值.

18.(12分)如圖，三棱錐P-ABC中，PA^PC,AB=BC,ZAPC=120\ZABC=90",AC=6PB.

(1)求證：AC±PB；

(2)求直線AC與平面Q鉆所成角的正弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=x'-alnx,aeR.

(1)若/(x)在x=l處取得極值，求。的值；

(2)求f(x)在區(qū)間［1,+8)上的最小值；

(3)在(1)的條件下，若必幻=尤2—/(無(wú))，求證：當(dāng)I<x<e2時(shí)，恒有X<)<成立.

4一%(x)

x=2+cos0

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線/的參數(shù)方程為<r-20(。為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn),

X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4s加e.

(I)求曲線c的普通方程；

(2)求曲線/和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

21.(12分)已知ZVWC中，內(nèi)角所對(duì)邊分別是a,"c,其中a=2,c=JL

(1)若角A為銳角，且sinC=X2,求sinB的值；

3

(2)設(shè)/(C)=GsinCcosC+3cos2C,求/(C)的取值范圍.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=ax(2+cosx)-sinx,/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)若a=l,證明/(x)在區(qū)間(一、卷］上沒有零點(diǎn)；

(2)在XG(0,+?>)上/(x)>0恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先求(I-')'的展開式，再分類分析(2-皿)中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為

XX

(2-m%Xl-L)3展開式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出”的值.

X

【詳解】

33rr

（I--）展開式的通項(xiàng)為Tr+I=C；-l-（--）=C；?（―1）*',

X'X

當(dāng)（2-〃詞取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為2xC；＞=2,

當(dāng)（2-〃"）取一加時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為一根xC；x（-?=3加

由題知2+3〃?=8,則加=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)（2一處）所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

由題先畫出基本圖形，結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得

AB-MN=+（M,+Oz?]{QG-（AO；+。⑻]=9-國(guó)+,結(jié)合|眄+遜|的范圍即可求解

【詳解】

如圖，

福麗=（羽■+語(yǔ)'+3）,（函'+甌'+可）=[曬'+（苑+3）]?[則'-（而"孽）]

=|雁阿+型]=9—|曬+型（其中|眄+型同2T,2+1]=[1,3],所以

ABWe[9-32,9-l2]=[0,8].

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

3.A

【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取。力的值，推出矛盾，確定必要

性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)。>0,匕>0時(shí)，a+b>24ab,則當(dāng)。+力44時(shí)，有2向Wa+bW4,解得"W4,充分性成立；當(dāng)a=l,b=4

時(shí)，滿足"W4,但此時(shí)a+8=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+匕44”是“"44”的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取〃力的值，從

假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

4.A

【解析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加,〃），代入橢圓方程可得〃小2一。2〃2=。2/,然后分別求出點(diǎn)尸到兩條漸近線的距離，由距離之

積為32'并結(jié)合〃加-日\(chéng)〃氏可得到“八。的齊次方程'進(jìn)而可求出離心率的值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。〃,〃），有零二1，得〃療一片/=a2b2.

a記

雙曲線的兩條漸近線方程為笈-毆=。和云+ay=O,則點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為

222222

\hm-an\\hm+an\^bm-an1a^

荷+“后+廣〃+必=F，

所以"=4c2,貝?。?/（,2—。2）=。4,即（片一2/）2=0,故。2—2。2=0,即e?=；=2,所以e=0.

C4v'a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造。,4c的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

5.C

【解析】

程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量值變化如下表:

KS是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循

環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.

6.B

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出［4尸|；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得3點(diǎn)橫坐

標(biāo)的取值范圍，即可由AE48的周長(zhǎng)求得其范圍.

【詳解】

拋物線丁=8h則焦點(diǎn)以2,0）,準(zhǔn)線方程為％=-2,

根據(jù)拋物線定義可得|河|+2，

圓（x—2）2+y2=回圓心為（2,0）,半徑為4,

點(diǎn)A、B分別在拋物線丁=8x及圓f+），2一4%-12=0的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.

點(diǎn)A、8分別在兩個(gè)曲線上，AB總是平行于x軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在x軸上,則由圓心和半徑可知/e（2,6）,

則A/鞏8的周長(zhǎng)為|+|+忸月=*A+2+為3-七4+4=6+和，

所以6+/G（8,12）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

7.B

【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

x+y,4

不等式組，y,,x作出可行域如圖：A(4,o),6(2,2),0(0,0),

y..O

z=吟的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到。(2,-2)的斜率，由圖象可知QA的斜率為1,。。的斜率為：-1,

x-2

則上量的取值范圍是：(-8,T]|JU，+°°)?

x-2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.

8.A

【解析】

先令p=l,q=l,找出出，4的關(guān)系，再令，=1,4=2,得到的關(guān)系，從而可求出囚，然后令P=〃，4=l,

可得4+/4=2,得出數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，得。,=〃2-12〃，可求出S〃取最小值?

【詳解】

解法一：由6=4+%+13=(4+13)+(24+13)=-7,所以勾=一11,由條件可得，對(duì)任意的

〃eN*,=4+q+13=%+2,所以｛4｝是等差數(shù)列，4=2〃-13,要使S,,最小，由解得?釉,

4+iNU22

貝！1〃=6.

解法二：由賦值法易求得4=-11,%=一9,4=一7「..,/=2〃-13總=〃2一12〃，可知當(dāng)〃=6時(shí)，S,,取最小值.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，采用了賦值法，屬于中檔題.

9.A

【解析】

求出滿足條件的正△鉆C的面積，再求出滿足條件的正AABC內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正A4BC如下圖所示：

其中正AABC的面積為So釜x4?=46,

滿足到正AABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

陰影部分區(qū)域的面積為5==、乃x2?=2萬(wàn).

2

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于2的概率是2=1-”=1-場(chǎng).

4V36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10.D

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了(x)在區(qū)間%上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

1r_1

/(x)的定義域?yàn)?0,+紇)，/(尤)=一一+1=——

XX

所以/(%)在(fl)

上遞減，在(l,e)上遞增，/(x)在x=l處取得極小值也即是最小值，/(l)=-lnl+l+〃=l+〃，

/^―j=-In—+—+//=—+1+/?,/(e)=-lne+e+〃=e-l+〃,

所以/(x)在區(qū)間Je上的最大值為/(e)=e-l+〃.

要使在區(qū)間Je上任取三個(gè)實(shí)數(shù)。，b,c均存在以/(〃)，_/e),/(c)為邊長(zhǎng)的三角形,

則需/(a)+/S)>/(c)恒成立，且/(1)>0，

也即［/(aH/e)］.〉/?a,也即當(dāng)a=b=l、c=e時(shí),2/⑴>/(e)成立，

即2(l+〃)>e-l+〃，且/(1)>0,解得〃>e—3.所以〃的取值范圍是(e—3,+x)).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.

11.D

【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得b最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和c的大小關(guān)

系，進(jìn)而得解.

【詳解】

13

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0</,=［"］過(guò)<1,

113J

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知Q=logi213>l,c=log1314>l,所以人最??；

而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

|(lgl2+lgl4)

由基本不等式可知］gl2Jgl4V,代入上式可得

,lg213--(Igl2+lgl4)

Ig213-lgl2.lgl4〉。12'L

Igl2-lgl3Igl2-lgl3

(]\

lg213--lgl68

【2J

Igl2-lgl3

Igl3+-lgl68-Igl3--lgl68

2，<2；

Igl2-lgl3

(lg13+lgV168)-(lgl3-lgVi68)

Igl2-lgl30

所以a>c,

綜上可知a>c>〃，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

12.A

【解析】

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,加）（加>0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線

計(jì)算得到答案.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,“）（根>0）,由于|AB|為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNAPB取得最大值時(shí)，AAP8的外接

圓面積取得最小值，也等價(jià)于tanNAPB取得最大值，

因?yàn)閠an=—,tanZBPF^-^-,

mm

2+Q2—a

2a

所以tanZAPB=tan(ZAPF-ZBPF)=—勺----七一

r乙ICt乙L4b2

1+---------m-\---

mmm

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=L（根>0）,即當(dāng)〃2=匕時(shí)，等號(hào)成立,

m

此時(shí)NA/歸最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值,

22

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6),代入「一與=1可得。=&，匕=后=7=夜.

ab~

r22

所以雙曲線的方程為二-2v-=1.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.8

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移計(jì)算得到答案.

【詳解】

x—y+2..0,

根據(jù)約束條件2x+y-5,,0,,畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.

y-1,

7

又目標(biāo)函數(shù)z=-x+3y,g表示直線x-3y+z=0在y軸上的截距，

由圖可知當(dāng)x—3)，+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,3)時(shí)截距最大，故二的最大值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

14.1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域

是以A(2,3),B(-1,()),C(1,0),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線的截距最大

此時(shí)z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.

【詳解】

第1次傳播，謠言一定不會(huì)回到最初的人；

從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個(gè)制造謠言的人被選中的概率都是」一

n-1

沒有被選中的概率是1-—

n-\

攵-1次傳播是相互獨(dú)立的，故為

〃-

故答案為:

〃一1J

【點(diǎn)睛】

本題考查了相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.A或D

【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：假設(shè)甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是8是對(duì)的，

則乙說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

丙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是C是對(duì)的，

丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是A是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是A；

假設(shè)甲說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是C是對(duì)的，

則丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是B是對(duì)的，

丁說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是。.

故第4個(gè)盒子里面放的電影票為?；駻.

故答案為：A或。

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)C=芻(2)sinA=^^-;C=A/J

314

【解析】

(1)由cos2C=2cos2C—I代入COS2C+3cosc-1=0中計(jì)算即可；

(2)由余弦定理可得c=J7a,所以sinA=T，sinC,由5%席=gabsinC=GsinAsin8,變形即可得到答案.

【詳解】

(1)因?yàn)閏os2C+3cosc-1=0,可得：2cos+3cosc-2=0,

cosC=—,或cosC=-2(舍)，V0<C<,

2

：.c=-.

3

(2)由余弦定理c2=4+從一2abcosC=3a2+2a2=7a2，

得c=V7a

所以sinC=J7sinA,

在.，l.「后

nXsinA——^,SinC-----,

V714

X5AASC-^absinC=>/3sinAsinB,Z.C=~

所以，———==4,

sinAsin8(sinCj

所以c=V3.

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.

18.(1)證明見詳解；(2)與

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)。，根據(jù)AC_LPO,AC_LBO,利用線面垂直的判定定理，可得AC_L平面。P8,最后可得結(jié)果.

(2)利用建系，假設(shè)AC長(zhǎng)度，可得衣，以及平面R鉆的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)。，連接。P,OB,如圖

由%=PC,AB=BC

所以AC，PO,AC，BO

由POCl30=0,PO,80u平面OPB

所以AC_L平面OPB,又PBu平面OPB

所以ACLBB

（2）假設(shè)AC=3,

由NAPC=120°,ZABC=90\AC=y^PB.

斫以PB=?OB=>,OP=是

22

則尸§2=O82+Op2，所以O(shè)P工OB

又OPLAC,ACcO8=O,AC,OBu平面ABC

所以產(chǎn)。，平面ABC,所以POLO8,PO1OC

又03J_0C,故建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖

/

Afo,-1,Ol,Cl0,p0l,Bl13,0,0l,P0,0,

22

^C=（0,3,0）MB=[|，|,0pP3名

。5力

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)

33c

—x+—y=0

n-AB=Q22

則__=>

而?AP=036n

,22

令z=K，所以3=（1,-1,0）

n-AC

則直線AC與平面從8所成角的正弦值為

nllACl5

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會(huì)使用建系的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，將幾何問(wèn)題代數(shù)化,

化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.

19.(1)2；(2)----In—；(3)證明見解析

222

【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)/(x)在x=l處取得極值，得到尸(1)=0,即可求解。的值;

(2)由(1)得/(乃=2%一@=江二^,定義域?yàn)?0,+8),分aMO,0<aW2和a>2三種情況討論，分別求得

xx

函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；

4+人(尤)2Y—22Y—2

(3)由//(%)=/—/(),得到h(x)=21nx,把x<.，只需證Inx>-----,構(gòu)造新函數(shù)0(x)=Inx-------,

%4-/?(x)x+1x+1

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由/(x)=x2-ainx,定義域?yàn)?0,+℃),貝!|f(x)=2%-色，

x

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=x2-a\nx^x^\處取得極值，

所以/'(1)=0,即2-。=0,解得。=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以a=2.

⑵由⑴得/(%)=2%-q=至二色，定義域?yàn)?0,+8),

XX

當(dāng)時(shí)，有r(x)>o,在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為/a)=i,

當(dāng)0<aK2時(shí)，由/'(幻=()得》=正，且0<正41,

22

當(dāng)無(wú)w時(shí)，ra)<o,“X)單調(diào)遞減

當(dāng)xe,+8時(shí)，f'(X)>0,八幻單調(diào)遞增;

7

所以/(%)在區(qū)間［1,4W)上單調(diào)遞增，最小值為/(1)=1,

當(dāng)a>2時(shí)，則正

>1,當(dāng)xe時(shí),f'(x)<0,7")單調(diào)遞減;

2

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

所以/(X)在X=處取得最小值f-1m］，

綜上可得：

當(dāng)aW2時(shí)，/(X)在區(qū)間［1,+8)上的最小值為1,

當(dāng)。>2時(shí)，f(x)在區(qū)間［1,+8)上的最小值為⑷也色.

222

(3)由/z(x)=x2_/(x)得/z(x)=21nx,

當(dāng)l<x<e2時(shí)，0<lnx<2,則力(x)<4,

欲證只需證*一心)］<4+〃⑸，即證g)>煞'即

、幾,、?2X-2"“，/,、12(x+l)—(2尤—2)(x-1)2

設(shè)奴x)=Inx------,則。(x)=--------；---”----=—~~2

x+1x(x+1)'x(x+l)~

當(dāng)l<x<e2時(shí)，0(x)>O,，。(幻在區(qū)間Re?)上單調(diào)遞增,

2r-2

???當(dāng)lvx</時(shí)，。(尤)>。⑴=0,即Inx------>0,

x+1

4+/z(x),4+/z(x)

故"(廠而'即當(dāng)I"-?時(shí)，恒有、<匚何成立.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能

力與計(jì)算能力，對(duì)于此類問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不

等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

20.(1)x2+(y—2)~=4(2)(2-^3,—)?

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式x=pcos0,y=psin。求解.

(2)先把兩個(gè)方程均化為普通方程，求解公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)即可.

【詳解】

(1)?.?曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4sin。，

...=4「sin。，則[2+y2=4y,

即x2+(y-2)2=4.

x=c2+cos2a-02cos~2—a+l1

2

(2)\,

y=6+26cos2—=G(2COS?—+1)

I22

:.y=>/3x,x>1

聯(lián)立f+(y—2)2=4可得f+3f=4Gx,

x=0(舍)或x=g,

公共點(diǎn)(百，3),化為極坐標(biāo)(26，1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及交點(diǎn)的求解，熟記極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點(diǎn)問(wèn)題一

般是統(tǒng)一一種坐標(biāo)形式求解后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

21.(1)2返+屏；(2)佶,。+6.

9122」

【解析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出sin3；

(2)化簡(jiǎn)/(C)=6sin(2C+f]+],由余弦定理得cosC=，：”「廠+匕),利用基本不等式求出

I3J22ab4\b)

cosC>-,確定角C范圍，進(jìn)而求出/(C)的取值范圍.

2

【詳解】

(1)由正弦定理，得：=

sinAsinC

.4tzsinC2

sinA=--------=—

c3

z.sinC<sinA,且A為銳角

「瓜人也

cosC=——,cosA=——

33

276+715

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

9

八、f(「\V3.1+COS2Crr(1.63

(2)A(C)=—sin2c+3x---