相似三角形經(jīng)典大題解析含答案

相似三角形經(jīng)典大題解析1.如圖，已知一個(gè)三角形紙片ABC，BC邊的長(zhǎng)為8，BC邊上的高為6，B和C都為銳角，M為AB一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，在△AMN中，設(shè)MN的長(zhǎng)為x，MN上的高為h．請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示h．將△AMN沿MN折疊，使△AMN落在四邊形BCNM所在平面，設(shè)點(diǎn)A落在平面的點(diǎn)為A，△AMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，最 1 1大值為多少？【答案】解：（1）QMN∥BC△AMN∽△ABChx683xh4（2）Q△AMN≌△AMN1△AMN的邊MN上的高為h，1①當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCNM內(nèi)或BC邊上時(shí)，1yS）△A②當(dāng)A落在四邊形BCNM外時(shí)，如下圖(4x8)，1設(shè)△AEF的邊EF上的高為h， 1 13則h2h6x61 2QEF∥MN △AEF∽△AMN 1 1Q△AMN∽△ABC△AEF∽△ABC 1 1S h2△A1EF1S 6△ABC 3 2 1 x6QS 6824S 2 243x212x24 △ABC2 △A1EF 6 2 3 3 9 QyS S x2x212x24x212x24 △A1MN △A1EF8 2 89所以yx212x24(4x8)83綜上所述：當(dāng)0x≤4時(shí)，yx2，取x4，y6最大當(dāng)4x8時(shí)，yx212x24，816取x，y8 3 最大Q8616當(dāng)x時(shí)，y最大，y8 3 最大MNMNEFBC A1 2．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(4，，0)B(1，，0)C(0，2)三點(diǎn)．求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】解：（1）Q該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，2)，可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2．將A(4，0)，B(1，0)代入， 116a4b20，a2，得 解得 ab20. b5.25此拋物線的解析式為yx2x2．2存在．如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，5則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m2m2，2當(dāng)1m4時(shí)，5AM4m，PMm2m2．2又QCOAPMA90°， AM AO 2 ①當(dāng) 時(shí)， PM OC 1△APM∽△ACO， 1 5 即4m2m2m2． 2 2 解得m2，m4（舍去），P(21)，． 1 2 AM OC 1 1 5 ②當(dāng) 時(shí)，△APM∽△CAO，即2(4m)m2m2． PM OA 2 2 2解得m4，m5（均不合題意，舍去）2當(dāng)1m4時(shí)，P(2，1)．類似地可求出當(dāng)m4時(shí)，P(5，2)．當(dāng)m1時(shí)，P(3，14)．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，2)或(3，14)．83．如圖，已知直線l:yx與直線l:y2x16相交于點(diǎn)C，l、l分別交x軸于 1 3 3 2 1 2A、B兩點(diǎn)．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線l、l上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且 1 2點(diǎn)G與點(diǎn)B重合．求△ABC的面積；求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng)；若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．ADBADBEOCFxyl2l（G）【答案】（1）解：由2x80，得x4．A4，0．點(diǎn)坐標(biāo)為 3 3由2x160，得x8．B點(diǎn)坐標(biāo)為8，0．∴AB8412．由y23x83，解得x5，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為5，6．y2x16．y6．1 ∴S AB·y12636． △ABC2 C28解：∵點(diǎn)D在l上且xx8，y88．D B D3 3∴D點(diǎn)坐標(biāo)為8，．8又∵點(diǎn)E在l上且yy8，2x168．x4．E D E E∴E點(diǎn)坐標(biāo)為4，．8∴OE844，EF8．解法一：①當(dāng)0≤t3時(shí)，如圖1，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR（t0時(shí)，為四邊形CHFG）．過(guò)C作CMAB于M，則Rt△RGB∽R(shí)t△CMB．ADBEORFADBEORFxy1l2lMGCADBEOCFxy1l2lG（圖1）RMADBEOCFxy1l2lG（圖2）RM BG RG tRG∴，即，∴RG2t．BMCM36QRt△AFH∽R(shí)t△AMC， ∴SS S S 361t2t18t28t． △ABC △BRG △AFH 2 2 3 4 16 44即St2t． 3 3 3當(dāng)3t8時(shí)，如圖2，為梯形面積，∵G（8－t,0）∴GR=2）∴GR=288)8(2t 3 3 3∴s14[2(4t)882t]8t80 2 3 3 3 3 3當(dāng)8t12時(shí)，如圖3,為三角形面積，s1(82t)(12t)t28t48 2 3 34．如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米／秒．過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．若a4厘米，t1秒，則PM______厘米；若a5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． QCD Q C DNPPNPP A MBA M B3【答案】解：（1）PM，4（2）t2，使△PNB∽△PAD，相似比為3:2（3）QPM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC， PM AM PM at t(at) △AMP∽△ABC， 即 ，QPM， BN AB t a at(a1)QM3a (QPAD)DQ (MPBN)BM 當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即 2 2 t(at) t 3a3(a1)a(at)tt化簡(jiǎn)得t6a， 2 2 6a6aQt≤3，≤3，則a≤6，3a≤6，6a（4）Q3a≤6時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CNPMt 6a(at)3t，把t 代入，解之得a23，所以a23．a(chǎn) 6a所以，存在a，當(dāng)a23時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．5．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？【答案】解：(1)△BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因?yàn)椤螧=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過(guò)Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,123t23t2+3321(6-t)×32(3)因?yàn)镼R∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因?yàn)椤螩=600,1所以△QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)锽E=BQ·cos600=×2t=t,2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=3t,又因?yàn)椤螾EQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因?yàn)椤鰽PR～△PRQ, QR 62t 6 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600= ,即 3,所以t=, PR 3t 56所以當(dāng)t=時(shí),△APR～△PRQ56．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．求點(diǎn)B的坐標(biāo)；已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N．使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．ABDABDEFCONxy（第26題圖1）

MADBADB12O于點(diǎn)O，∠1=∠2=45°．如圖15-1，若AO=OB，請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；將圖15-1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO=OB．N圖7-1ADOADOBC21將圖15-2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到BD圖15-3，求的值．AC圖7-2MAADOBC21 N 圖7-3【答案】解：（1）AO=BD，AO⊥BD；證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO=∠BEO． M 又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，DODOBC21EF又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°． N 圖4 ∴∠DEB=45°．∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°．∴AC=BD．延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD=90°．∴AC⊥BD．如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=∠ACO．又∵∠BOE=∠AOC，∴△BOE∽△AOC．OBC1D2OBC1D2E又∵OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD．∴BDk．AC10．如圖，已知過(guò)NA（2，4）分別作圖5 x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)。經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，線段PQ的長(zhǎng)度為2？寫出線段PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)