名師教案 高中數(shù)學(xué)人教A版 必修 第一冊 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容本單元主要學(xué)習(xí)用不等式表示現(xiàn)實問題、數(shù)學(xué)問題，為了解不等式，要探究不等式性質(zhì)，而不等式性質(zhì)的探究要先學(xué)習(xí)證明不等關(guān)系的“根本大法”，即“兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實”還要梳理等式基本性質(zhì)及蘊含的思想方法，然后通過類比的方法猜想并證明不等式的性質(zhì)，最后要會運用不等式的性質(zhì)證明其它的一些不等關(guān)系．2．內(nèi)容解析現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．實際問題中所蘊含的不等關(guān)系可抽象出不等式的關(guān)鍵是確定問題中涉及的量及其滿足的不等關(guān)系，然后用未知數(shù)表示量，把不等關(guān)系“翻譯”成不等式．兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實既是實數(shù)的基本性質(zhì)，又是研究式的大小關(guān)系的基礎(chǔ)，為不等式的研究奠定了邏輯基礎(chǔ)．這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關(guān)系，實際上就是兩個實數(shù)差的符號，從而把實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為使實數(shù)的運算問題，使實數(shù)大小關(guān)系的比較有了抓手．重要不等式是基本不等式基礎(chǔ)，該不等式從趙爽弦圖中獲得猜想，運用由一般性與特殊性獲得“=”成立的條件．證明中，運用了完全平方差公式和兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實證明了上述不等式，這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，又再一次說明了兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實在解決不等式問題中的應(yīng)用價值．等式性質(zhì)可從自身特性看，包括“對稱性”和“傳遞性”．“對稱性”即兩個相等的實數(shù)放在等號兩邊的兩種不同的表現(xiàn)形式；“傳遞性”是實數(shù)相等的內(nèi)在關(guān)系，兩者均是實數(shù)序的特征．從運算角度看，“加法”、“乘法”運算中的不變性，即等式兩邊同加或同乘同一個實數(shù)，等式保持不変；也有其派生出來的在“乘方”、“開方”等運算中的不變性．不等式與等式的性質(zhì)蘊含了同樣的數(shù)學(xué)思想方法，也包含不等關(guān)系自身的特性和運算中的不變性兩類．不等關(guān)系自身的特性有“自反性”和“傳遞性”兩種．“自反性”是不相等的兩個實數(shù)大小關(guān)系的兩種不同表達形式，是實數(shù)序特性的體現(xiàn)．“傳遞性”是三個不相等的實數(shù)之間大小關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，也是實數(shù)序特性的體現(xiàn)．運算中的不變性、規(guī)律性是指對不等號兩邊的實數(shù)同時進行“加法”、“乘法”等運算，得出新的不等關(guān)系．由于“正數(shù)乘正數(shù)大于0”，“負(fù)數(shù)乘正數(shù)小于0”，所以不等式對于乘法運算失去了“保號性”，這也是不等式性質(zhì)與等式的性質(zhì)的差異．實際上，在代數(shù)問題中，運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)，它是發(fā)現(xiàn)代數(shù)性質(zhì)的“引路人”，在代數(shù)領(lǐng)域中具有基礎(chǔ)地位．利用不等式的基本性質(zhì)可推導(dǎo)出不等式的一些其他性質(zhì)，即以基本性質(zhì)為理論依據(jù)，以運算中的不變性和規(guī)律性為研究方向，通過“猜想—證明—修正—再證明—得出性質(zhì)”的方法探究出其他的性質(zhì)．結(jié)合以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實及其簡單應(yīng)用；梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；類比等式基本性質(zhì)，探究不等式的基本性質(zhì)．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）會從實際問題所蘊含的不等關(guān)系中抽象出不等式．（2）理解兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，能運用這個基本事實比較式的大小關(guān)系．（3）運用等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法，類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)．（4）運用不等式的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明一些常用的不等式性質(zhì)；運用不等式的性質(zhì)證明一些簡單的命題．2．目標(biāo)解析達成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生能夠在生活問題、數(shù)學(xué)問題等情境中，發(fā)現(xiàn)其中所蘊含的不等關(guān)系，并將其符號化，從而用不等式表達．（2）學(xué)生能夠在比較大小的問題情境中，發(fā)現(xiàn)并運用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實比較式的大小關(guān)系，體會這個基本事實能夠使實數(shù)的運算參與到實數(shù)的大小比較中．（3）學(xué)生能夠運用類比的方法，猜想并證明不等式的基本性質(zhì)，并能夠?qū)Ρ炔坏仁脚c等式的基本性質(zhì)說出其共性與差異．（4）學(xué)生能夠分析簡單不等式的證明思路，利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等關(guān)系．教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在用不等式表示實際問題時，對沒有符號化的問題不知從何入手，學(xué)生能夠抽象不等關(guān)系，但不能用符號語言表達．教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將問題符號化，體會符號語言在數(shù)學(xué)中的作用．兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實及其應(yīng)用對學(xué)生來說較為容易，但理解這個基本事實使運算參與比較之中存在困難．教學(xué)中要讓學(xué)生動起來，在比較大小的過程中體會運算的作用．不等式性質(zhì)的探究是以兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為依據(jù)，以梳理等式性質(zhì)中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質(zhì)為方法展開的．學(xué)生雖然在初中階段接觸過一些內(nèi)容，然而是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，沒能從根源上探索其成立的道理．高中階段的等式與不等式的學(xué)習(xí)強調(diào)邏輯推理，因此學(xué)生會有一定的的困難．對于等式的基本性質(zhì)學(xué)生是熟知的，但對性質(zhì)中所蘊含的思想方法缺乏思考，尤其是體會相等關(guān)系自身的特性較為困難．教學(xué)中采用讓學(xué)生對性質(zhì)的特點進行歸類的方法，總結(jié)每類性質(zhì)的特點，引導(dǎo)學(xué)生從實數(shù)序關(guān)系的特性角度體會相等關(guān)系自身的特性．學(xué)生類比等式基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想并證明不等式的基本性質(zhì)存在困難，由于初中時學(xué)生學(xué)習(xí)過不等式的基本性質(zhì)3和性質(zhì)4，而性質(zhì)1和性質(zhì)2學(xué)生認(rèn)為是顯然成立的，學(xué)生思維達不到從邏輯推理角度證明性質(zhì)．因此，教學(xué)中在強調(diào)邏輯推理的重要性的同時，還要強調(diào)兩個實數(shù)比較大小的基本事實和實數(shù)的一些其他事實是證明的依據(jù)．學(xué)生缺少從代數(shù)角度證明不等式的經(jīng)驗，運用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實和不等式的性質(zhì)證明一些簡單命題存在一定的困難．教學(xué)中，要幫助學(xué)生進行分析，適當(dāng)采用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生生成證明思路．本節(jié)課的教學(xué)難點是從實際問題所蘊含的不等關(guān)系中抽象出不等式；梳理出等式基本性質(zhì)中蘊含的思想方法；類比等式的基本性質(zhì)及其蘊含的思想方法，猜想證明不等式的基本性質(zhì)．四、教學(xué)過程設(shè)計2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（一）從不等關(guān)系中抽象不等式問題1：在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、輕與重、不超過或不少于等．你能舉例說明生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系？師生活動：教師根據(jù)學(xué)生列舉的例子，從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度幫助學(xué)生梳理語言的表述．追問：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢査規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于，蛋白質(zhì)的含量應(yīng)不少于；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．師生活動：學(xué)生獨立思考追問中的問題、討論交流．教師引導(dǎo)學(xué)生梳理討論交流的結(jié)果，用不等式表示不等關(guān)系的關(guān)鍵是確定問題在涉及的量及其滿足的不等關(guān)系，然后用未知數(shù)表示量，把不等關(guān)系“翻譯”成不等式．有時用自然語言表達的不等關(guān)系不夠明確，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它們翻譯成大于或小于的關(guān)系，再用不等式表示．設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)運用不等式表示問題的情景，使學(xué)生意識到不等式在生活及數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生將抽象出不等關(guān)系用符號語言表達．（二）探究兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實問題2：你能用不等式表示并解決下面的問題嗎？某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬？師生活動：學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，并用不等式表達．設(shè)提價后每本雜志的定價為元，則銷售總收入為萬元．于是，不等關(guān)系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為，但不會解不等式．與解方程要用等式性質(zhì)一樣，解不等式要用到不等式的性質(zhì)．為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)．實際上，在初中階段學(xué)生已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質(zhì)．追問：那么，這些性質(zhì)為什么是正確的?還有其他不等式的性質(zhì)嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考追問中的問題、討論交流．教師指出回答這些問題要用到關(guān)于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實．若要研究不等式的性質(zhì)，即由已知不等式得出新的不等式，這樣必然需要比較兩個式子或兩個實數(shù)的大小關(guān)系．追問：大家來思考如何比較兩個式子或?qū)崝?shù)的大小關(guān)系呢？師生活動：學(xué)生獨立思考追問中的問題、討論交流．思路一：利用實數(shù)的幾何意義，由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點的位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大小關(guān)系，如圖2.1-2，思路二：利用兩個式子或?qū)崝?shù)作差，比較差值與0的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論．這個基本事實可以表示為：；；．設(shè)計意圖：兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實對學(xué)生來說并不陌生，只不過以往沒有提煉出來，此環(huán)節(jié)以問題為載體，由學(xué)生自主探究基本事實，這個基本事實把兩個實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小關(guān)系，實際上就是兩個實數(shù)差的符號，從而使實數(shù)的運算能夠參與到實數(shù)的大小比較中，為不等式的論證提供了運算工具，也為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)．（三）兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實的簡單應(yīng)用例1：比較和的大?。畮熒顒樱簩W(xué)生能夠比較順利利用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實比較出兩數(shù)大小．因為，所以．設(shè)計意圖：此題是兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實的簡單應(yīng)用，借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)（式）．這是解決不等式問題的常用方法，讓學(xué)生再次體會此方法在比較大小中的應(yīng)用．問題3：閱讀教科書第39頁“探究”，你能在圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流．教師指出這個會標(biāo)實際上就是“趙爽弦圖”——由4個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是個小正方形．由于大正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，即（設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為，）．而當(dāng)直角三角形変為等腰直角三角形，即時，中空部分縮為一個點，這時有相等關(guān)系．這樣，就引出了基本不等式的一種變形形式．追問：你能總結(jié)一下與的大小關(guān)系嗎？此不等關(guān)系中的取值范圍如何？如果，此結(jié)論是否仍成立？師生活動：學(xué)生總結(jié)出，其中是邊長，所以．當(dāng)時，上述結(jié)論是否成立的可題，只需比較與的大小關(guān)系，即，由兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．教師強調(diào)此結(jié)論是由兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實得到一類重要的不等式．設(shè)計意圖：此探究問題的設(shè)計，作為相等關(guān)系和不等關(guān)系的總結(jié)，也為引出基本不等式做了鋪墊．在推導(dǎo)過程中通過教師引導(dǎo)，學(xué)生從獨立想象，并能夠由“形”到“數(shù)”的逐步提煉出不等關(guān)系，通過再次追問，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想并證明不等式的一般過程，為不等式性質(zhì)和基本不等式的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．（四）復(fù)習(xí)等式性質(zhì)，梳理思想方法關(guān)于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)．那么不等式到底有哪些性質(zhì)呢?要研究不等式的性質(zhì)，我們可以從等式的性質(zhì)及其蘊含的思想方法中獲得啟發(fā)．問題4：請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性．你能歸納一些發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流并給出答案．教師進行總結(jié)、歸納、補充并板書出等式的性質(zhì)．這其中性質(zhì)3，4，5是學(xué)生比較熟悉的，但對于性質(zhì)1，2只有很少學(xué)生能回答出來，教師指出性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，由于它們太明顯了，是相等關(guān)系本身蘊含的性質(zhì)，反而容易被忽略．學(xué)生在教師引導(dǎo)下可以歸納出性質(zhì)3，4，5是從運算角度提出的，即等式兩邊加、減，乘，除同一個數(shù)，等式仍然成立．教師指出，這三條性質(zhì)反映了相等關(guān)系在運算中保持不変性的特點．設(shè)計意圖：通過以上問題，讓學(xué)生在梳理并觀察等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上認(rèn)識到，這些性質(zhì)包括在數(shù)學(xué)推理和運算中經(jīng)常用到的“對稱性”和“傳遞性”，還包括解方程所需要的等式對四則運算的不變性，而這兩個方面反映了“式的大小關(guān)系”的本質(zhì)屬性，這些基本屬性為探究不等式的基本性質(zhì)指明了方向．（五）通過類比，探究不等式的性質(zhì)問題5：類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流后得出：不等式的基本性質(zhì)可從不等式的自身特性和運算兩個角度來研究，教師進行總結(jié)、歸納、補充并板書出不等式的基本性質(zhì)1，2，3，4．學(xué)生在猜想不等式的基本性質(zhì)的過程中會發(fā)現(xiàn)，不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)存在差異：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“對稱性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式與四則運算的關(guān)系而言，當(dāng)乘一個負(fù)數(shù)時，不等號要調(diào)換方向，即．不等式的這種特殊性是由實數(shù)的基本性質(zhì)決定的．在對不等式進行論證時，除了要用到實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，還需要用到關(guān)于實數(shù)的其他一些基本事實，例如：（1）正數(shù)大于0，也大于一切負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)小于0，也小于一切正數(shù)．（2）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．（3）兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)的和仍是負(fù)數(shù)．（4）同號兩數(shù)相乘，其積為正數(shù)；異號兩數(shù)相乘，其積為負(fù)數(shù)．利用這些基本事實，可以對猜想出的不等式的基本性質(zhì)進行證明．例如，性質(zhì)2的證明可由，，繼而得到．性質(zhì)3的證明中學(xué)生能夠分析出要證明，只需證明與0的大小關(guān)系，也就是與0的大小關(guān)系，得出如下證明：由，得，所以，即．追問：用文字語言怎樣表達此性質(zhì)？兩個實數(shù)大小關(guān)系還可以形象地在數(shù)軸上表達出來，你能從幾何意義的角度對這個性質(zhì)進行解釋嗎？師生活動：學(xué)生用文字語言表達，即不等式的兩邊都加同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向．通過教師課件展示，的變化，學(xué)生體會此性質(zhì)的幾何意義，并注意到可用運動方向表達實數(shù)的正負(fù)．教師強調(diào)，幾何語言的表達具有“直觀”的特點，建議學(xué)生經(jīng)常從幾何視角發(fā)現(xiàn)或解釋一些代數(shù)問題，能實現(xiàn)更直觀地認(rèn)識問題，更深刻地理解問題．設(shè)計意圖：對同一個概念從不同的角度來表述，有利于揭示概念的本質(zhì)．不等式是用不等號連接起來的式子，有的不等式的內(nèi)涵是比較抽象的，為了幫助學(xué)生理解和掌握不等式的本質(zhì)，用文字語言、圖形語言等多種形式來表達重點的不等式的性質(zhì)，有助于對問題的深入理解．追問：利用以上不等式的基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出不等式的其它一些性質(zhì)嗎？師生活動：由性質(zhì)3學(xué)生得到猜想“大數(shù)加大數(shù)大于小數(shù)加小數(shù)”，即“如果，，那么”．學(xué)生分析證明方法，若要證只需證，由已知，，由“正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)”這一基本事實，猜想得證．教師評價，此證明是基于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實和實數(shù)的一些基本事實證明的，這是證明不等式的根本大法，在證明不等關(guān)系時起到重要作用．追問：在基本性質(zhì)4中，不等式的兩邊同乘同實數(shù)．如果同乘不同的實數(shù)，你有何結(jié)論？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流得出：兩邊同乘負(fù)數(shù)不等號要変方向，所以此問題中，乘法不一定具備“保號性”．同時，學(xué)生與性質(zhì)4進行對比，發(fā)現(xiàn)對于正數(shù)乘法是具有“保號性”的．教師指出此性質(zhì)為不等式性質(zhì)6，即“如果，，那么”．追問：如果性質(zhì)6中，，你有何新的結(jié)論？師生活動：學(xué)生獨立思考、討論交流得出“如果，那么”，并能推廣到“如果，那么”．教師指出這是不等式的性質(zhì)7，它是性質(zhì)6的特例．設(shè)計意圖：證明以上性質(zhì)的過程可以看作不等式的性質(zhì)在代數(shù)證明中的初步應(yīng)用，通過不等式性質(zhì)的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明—修正再證明—得出性質(zhì)—理解”的研究數(shù)學(xué)問題的過程．（六）不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用例2已知，求證．師生活動：學(xué)生獨立思考得出分析：要證明，因為，所以可以先證明．利用已知和性質(zhì)3，即可證明．設(shè)計意圖：通過本題向?qū)W生示范了應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明命題的一般思路．對于有些不等式的證明，要在“分析”中給出了證明的一般思路：從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件，而這個充分條件是容易由已知條件證明的，這實際上是綜合運用“綜合法”和“分析法”．此外，通過本例引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會這種“發(fā)展條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論、尋求聯(lián)系”的證明較復(fù)雜命題的一般思路．（七）單元小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元所學(xué)知識，并引導(dǎo)學(xué)生回答下面的問題：（1）本單元我們研究了兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，這個基本事實在研究不等式時有什么作用？（2）本單元我們還重點學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，我們采取什么樣的方法進行研究？能否梳理并總結(jié)出探究的過程？師生活動：問題（1）學(xué)生總結(jié)并回答，研究兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實是為了研究不