彈性力學(xué)初步課件

第八章彈性力學(xué)初步剛體：在任何外力作用下,形狀大小均不發(fā)生改變的物體。剛體內(nèi)任意兩質(zhì)元間的距離保持不變內(nèi)部質(zhì)元之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，宏觀上體現(xiàn)為形變或非均勻流動(dòng)。如果質(zhì)元之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)？剛體 忽略形變彈性體形變不可忽略流體無法維持固定的形狀彈性體和流體的研究方法：微元為有質(zhì)量的體積元質(zhì)量的體積元密度r力作用在微元的表面應(yīng)力：F/S微元不是離散的質(zhì)點(diǎn)彈性形變——當(dāng)物體所受外力撤除后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復(fù)原狀的形變.彈性體——在外力作用下，物體內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置發(fā)生改變；宏觀上，表現(xiàn)為物體的大小和形狀發(fā)生變化。自然界中并沒有完全彈性體，一般變形體，既有彈性，還有撤去外力后不能完全復(fù)原的塑性。假設(shè)：(1)變形體材料均勻連續(xù)，忽略實(shí)際物體中的微粒間的不連續(xù)性。認(rèn)為物體的性質(zhì)處處相同。多晶純橄欖石礦物在正交顯微鏡下圖像。顆粒之間是不連續(xù)的。每個(gè)顆粒都是橄欖石礦物。（注顏色不同是礦物雙折射的干涉產(chǎn)生的。）外力，內(nèi)力和應(yīng)力ABAB討論橫截面積遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度的細(xì)直桿。兩端受到沿軸線的力而平衡假想橫面AB將直桿分成上下兩部分。通過截面AB產(chǎn)生一對(duì)內(nèi)力?？紤]平衡。應(yīng)力

Fn是內(nèi)力在外法線方向的投影，S是橫截面積單位：帕,N/m2

應(yīng)力是物體中各部分之間相互作用的內(nèi)力8.2.1線應(yīng)變?cè)诠腆w中一個(gè)截面上的應(yīng)力一般不與此截面垂直，我們可以將它分解為法向分量和切向分量，前者稱為正應(yīng)力，后者稱為剪切應(yīng)力。純正應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的體應(yīng)變純剪切應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)變趙州橋如果設(shè)計(jì)得好，楔型石料將主要承受壓應(yīng)力（僅形變較小時(shí)成立）胡克定律即Y是彈性模量(楊氏模量),是描寫材料本身彈性的物理量.FlOCDBOABPP

是塑性應(yīng)變.斷裂點(diǎn)彈性極限8.2.2疊加原理在力和位移上都是線性的，而且均滿足小位移假設(shè)，所以疊加原理成立。由此，一維情況下成立的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與泊松比關(guān)系在多維情況下也成立8.2.3體應(yīng)變與剪切應(yīng)變1）體積形變·體應(yīng)力與體應(yīng)變?nèi)糁挥衟1單獨(dú)作用，棱邊a為縱向邊，棱邊b和c為橫向邊，三個(gè)應(yīng)變分別為：在p2單獨(dú)作用下，以及p3單獨(dú)作用下，棱邊a，b，c的應(yīng)變分別為：在應(yīng)力p1，p2，p3同時(shí)作用下，棱邊a的應(yīng)變?yōu)椋涸趹?yīng)力p1，p2，p3同時(shí)作用下，棱邊b和c的應(yīng)變?yōu)椋后w積：2）剪切形變·切應(yīng)力與切應(yīng)變剪切形變——物體受到力偶作用使物體兩個(gè)平行截面間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng).ABCD切應(yīng)力S是截面ABCD的面積，物體受到力偶發(fā)生剪切變形切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位.2.切應(yīng)力1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力Odm1m2與參考點(diǎn)的選擇無關(guān)剪切應(yīng)力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等.思考：切應(yīng)力不相等時(shí)，物體會(huì)出現(xiàn)什么狀態(tài)？

abc力偶矩3.純剪切狀態(tài)：剪切應(yīng)力互等和’分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力4.剪切應(yīng)變描述abcdbc剪切形變特征:切應(yīng)變:平行截面間相對(duì)滑移與截面垂直距離之比.即形變小時(shí)，又稱切變角.Y、G和

之間關(guān)系的推導(dǎo)FFFF水平方向的應(yīng)變?yōu)椋?）正應(yīng)力作用下2）剪切力作用下BD截面上受力為截面面積為因此拉(張)應(yīng)力為F/S

AC截面上壓應(yīng)力為-F/S在立方體處于純剪切狀態(tài)下，其剪切應(yīng)力F/S相當(dāng)于彼此大小相等、互相垂直，并與原立方體面成45°截面上的拉(張)應(yīng)力與壓應(yīng)力的組合。應(yīng)力與應(yīng)變可由下圖所示的力作用下的結(jié)論得到，這可由上一個(gè)關(guān)系式給出：其中一條對(duì)角線伸長(zhǎng)，另一條則縮短。在討論剪切應(yīng)變時(shí)，切應(yīng)變常采用角變形

角表示例題：大理石在110MPa的應(yīng)力下才碎裂，它在破裂之前經(jīng)歷的最大應(yīng)變有多大？解：由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 ， Y=55×109Pa或其它值（查得） =2×10-3例題：一種磚密度為2×103kg/m3，最大可承受40MPa的應(yīng)力。那么用這種磚一層層砌起高塔，能保持最底層的磚不破裂的塔的最大高度為多少？解：應(yīng)力為可推得：h=2040.8m例題：矩形橫截面桿在軸向拉力的作用下產(chǎn)生拉伸應(yīng)變?yōu)棣?，此材料的泊松比為σ，求證體積的相對(duì)改變?yōu)椋菏街蠽0和V分別代表原來和形變后的體積。低碳鋼的楊氏模量為

，泊松比為0.3，受到的拉應(yīng)力為=1.37Pa，求桿體積的相對(duì)變化。解：應(yīng)變泊松比：體積：得證拉應(yīng)力：所以：8.3圓棒的扭轉(zhuǎn)一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為a，其一端相對(duì)于另一端扭轉(zhuǎn)角度的圓柱形棒。由實(shí)驗(yàn)知，在小變形的條件下，一根受扭轉(zhuǎn)的棒所受的力矩與扭轉(zhuǎn)角

成正比，其比例系數(shù)取決于棒的材料以及棒的幾何尺寸。下面我們將導(dǎo)出這個(gè)比例系數(shù)。扭轉(zhuǎn)的本質(zhì)是剪切應(yīng)變。這是一個(gè)材料內(nèi)部不同部分受有不同應(yīng)力的問題。把圓柱棒分成許多很薄的同軸柱形殼分別進(jìn)行考察。我們討論其中一個(gè)半徑為，厚度為的薄柱殼。柱殼面上一個(gè)小正方形，受扭轉(zhuǎn)后變成一個(gè)平行四邊形。在剪切力作用下，此柱殼元的切變角為利用虎克定律，剪切應(yīng)力為同時(shí)切應(yīng)力還可表示為一端的剪切力除以端面積F提供了環(huán)繞柱軸的力矩M：總力矩M應(yīng)等于該柱殼整個(gè)圓周的每個(gè)M之和：即，一個(gè)空心薄柱殼的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(即轉(zhuǎn)動(dòng)彈性模量)一根實(shí)心棒可以看成許許多多同心薄柱殼構(gòu)成，而且每一柱殼有相同的扭轉(zhuǎn)角總轉(zhuǎn)動(dòng)力矩等于每一柱殼上的力矩之和。因此試推導(dǎo)鋼管扭轉(zhuǎn)常量D的表達(dá)式。例題：一鋁管直徑為4cm，壁厚1mm，長(zhǎng)10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求鋁管的扭轉(zhuǎn)角。已知鋁的剪變模量G=2.65*1010Pa。解：扭轉(zhuǎn)角：代入數(shù)據(jù)，得：梁的彎曲AABCC′B′M1M2AA′BC′B′C矩形橫截面梁，不計(jì)自重,如圖MAA′bh彎曲后，靠近上緣各層發(fā)生壓縮形變；靠近下緣各層，發(fā)生拉伸形變.處于中間的的CC′層(中性層)既不伸長(zhǎng)也不壓縮.中性層曲率M是加于梁的力偶矩，E為材料的楊氏模量，b為梁寬度，h為梁的高度.彎曲形變特點(diǎn):鐵軌的橫截面呈“工”字形：鐵軌在列車壓力下彎曲，拉壓應(yīng)力集中于上下緣之故。人體骨骼當(dāng)桿型物體彎曲和扭轉(zhuǎn)形變時(shí)，拉伸或剪切應(yīng)力都是集中于最外側(cè)骨骼呈中空狀矩形橫截面邊長(zhǎng)2:3的梁在力偶矩作用下發(fā)生純彎曲。對(duì)于截面的兩個(gè)不同取向，同樣的力偶矩產(chǎn)生的曲率半徑之比為多少？解：依據(jù)梁彎曲的曲率公式，有：設(shè)邊長(zhǎng)分別為：2a、3a一種取法：b=2a，h=3a則：另一種取法：b=3a，h=2a則：8.4彈性波8.4.1剪切波（橫波）靜態(tài)扭棒扭矩沿棒處處相等，并正比于如果扭轉(zhuǎn)是均勻的，有在棒中任取一長(zhǎng)度為x的一小段棒，兩端面1,2的位置坐標(biāo)分別為x和x+x，所受轉(zhuǎn)扭分別為和當(dāng)x足夠小時(shí)，有近似關(guān)系：作用于此小段棒的凈扭矩為：小段棒的質(zhì)量為為材料的密度它相對(duì)于圓棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：轉(zhuǎn)矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度之積：即化簡(jiǎn)為：8.4.2漲縮波（縱波）以彈性細(xì)棒中傳播的聲波的為例取彈性棒中的任意一小段棒，此小段棒兩端的平衡位置為x和x+x

，運(yùn)動(dòng)中兩端面的位移為y和y+y

，應(yīng)力為 和 。設(shè)棒的橫截面積為S，材料的楊氏模量為E。則這小段棒受到的合力為小段棒的質(zhì)量為由牛頓第二定律得這是一維波動(dòng)方程，聲速為其中為棒的密度。在粗而厚的物體中傳播的聲波，其波速將比一根細(xì)棒中傳播的聲速大一些。這是由于大物體中的橫向尺寸比聲音波長(zhǎng)大得多，推壓該物體不會(huì)向旁伸展，受到橫向約束。這種情況下的彈性模量E′大于材料的E：因此聲速可以表示為：因有關(guān)系G<E<E′，縱波比剪切波傳播得更快。8.4.3固體介質(zhì)中縱波、橫波的轉(zhuǎn)換固體材料既可以傳播縱波(P波)也可以傳播橫波(S波)。當(dāng)固體材料中的彈性波遇到界面時(shí)，即使入射的只有縱波，反射和折射出的也會(huì)既有縱波也有橫波。在某些特殊條件下，縱波入射只反射橫波；橫波入射只反射縱波。這種現(xiàn)象稱為“偏振交換”或“波型轉(zhuǎn)換”。應(yīng)用：轉(zhuǎn)換波測(cè)界面深度利用PS-P的到時(shí)差可以計(jì)算轉(zhuǎn)換界面的深度P1P1P0S0臺(tái)站介質(zhì)2介質(zhì)1界面應(yīng)用在礦藏勘探上8.4.4實(shí)例：超聲波探測(cè)與成像、CT、地震波反演在固體中傳播的彈性波遇到界面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，可以用來檢