線性空間及線性變換

第六章線性空間及線性變換一、基本概念和重要結(jié)果1.空間的直和

我們用W=V1+V2記子空間V1與V2的和,用W=V1△V2記W是V1與V2的直和.(1)W=V1△V2當(dāng)且僅當(dāng)W=V1+V2,對任意的有,其中,i=1,2,且表示法是唯一的.(2)W=V1△V2當(dāng)且僅當(dāng)W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.(3)W=V1△V2當(dāng)且僅當(dāng)W=V1+V2且V1∩V2={0}.(4)W=V1△V2當(dāng)且僅當(dāng)W=V1+V2且W的維數(shù)=V1的維數(shù)+V2的維數(shù).當(dāng)前1頁，總共69頁。(5)若是線性空間V的一組基,則其中表示由生成的子空間.(6)若W=V1+V2且V1與V2正交,則W=V1△V2.

上面的結(jié)論可推廣到多個(gè)子空間的情況.(7)設(shè)線性變換/A的特征多項(xiàng)式為:則V可分解為A的不變子空間的直和V=V1△V2△…△Vs,其中:是A屬于的根子空間.當(dāng)前2頁，總共69頁。2.子空間的性質(zhì)

我們用dimV表示線性空間V的維數(shù).(1)設(shè)V1和V2是線性空間V的子空間,則

dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2).(2)設(shè)V1,V2,…,Vm是線性空間V的真子空間,則必存在,使,(3)設(shè)V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r個(gè)線性無關(guān)的向量,且r<m,則可以從u1,u2,…,um中去掉r個(gè)向量,使剩下的m-r個(gè)向量與v1,v2,…,vr合在一起仍生成子空間V1.3.子空間的和與交的基與維數(shù)的求法

設(shè)V1和V2是線性空間V的子空間,是V1的一組基,是V2的一組基.當(dāng)前3頁，總共69頁。(1)V1+V2的基與維數(shù).

令矩陣,求A的秩,則V1+V2的維數(shù)等于A的秩r,A中r個(gè)線性無關(guān)的列即為V1+V2的基.(2)V1∩V2的基與維數(shù).

令,解這個(gè)方程組求它的一個(gè)基礎(chǔ)解系:(xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,則i=1,2,…,d是V1∩V2的一組基,V1∩V2的維數(shù)等于d=k+l-r.4.線性變換的值域與核

線性變換/A的值域,/A的核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.當(dāng)前4頁，總共69頁。(2)dim/AV+dimA-1(0)=dimV.(4)/AV和/A-1(0)都是線性變換/A的不變子空間.(5)/A與/B可換,則/B的核與值域也是/A的不變子空間.(1)dim/AV=A的秩,,其中是線性空間V的一組基.(3)設(shè)是/AV的一組基且,1≤i≤r,則V=/A-1(0)△.一般地V不等于/AV與/A-1(0)的直和.5.不變子空間(1)線性空間V的子空間W是線性變換/A的不變子空間當(dāng)且僅當(dāng)對任意的有.當(dāng)前5頁，總共69頁。(3)不變子空間的和與交是不變子空間.(4)任一空間是數(shù)乘變換的不變子空間.(6)設(shè)V1是線性變換/A的不變子空間,則對任一多項(xiàng)式f,V1是f(A)的不變子空間.(8)V1是線性變換/A和/B的不變子空間,則它也是/A+/B及/A/B的不變子空間.(2)設(shè)是線性變換/A的特征根,則A屬于的特征子空間是A的不變子空間.(5)設(shè)W是線性空間V的子空間且,則W是A的不變子空間當(dāng)且僅當(dāng),i=1,2,…,r.(7)設(shè)/A和/B是線性變換且/A/B=/B/A,是/A的特征子空間,則也是/B的不變子空間.當(dāng)前6頁，總共69頁。二、基本方法1.V1,V2是線性空間V的兩個(gè)子空間,證明V=V1△V2只要證明以下兩點(diǎn):(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.3.證明多個(gè)子空間的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.4.幾種常見的線性空間:2.求線性空間V的基與維數(shù),可先找到V的一個(gè)生成元組,然后證明線性無關(guān).(1)數(shù)域P上的線性空間Pn,dimPn=n,是Pn的一組基,其中=(0,…,1,…,0),i=1,2,…,n.當(dāng)前7頁，總共69頁。(2)數(shù)域P上的線性空間Pm×n,dimPm×n=mn,Eij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n是Pm×n的一組基,其中Eij是第i行第j列的元素為1,其余元素為0的m×n矩陣.(3)數(shù)域P上的線性空間P[x]n,dimP[x]n=n.1,x,x2,…,xn-1是P[x]n的一組基.5.求線性變換的特征值與特征向量的方法:(1)取定V的一組基,寫出在這組基下的矩陣A.(2)求出|E-A|在數(shù)域P中的全部根,它們就是的全部特征值.(3)對每個(gè)特征值,解齊次線性方程組(E-A)X=0,求出一組基礎(chǔ)解系,它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo).當(dāng)前8頁，總共69頁。

注意:在解方程|E-A|=0時(shí),最好能分離出關(guān)于的因式,否則可用求整系數(shù)的有理根的方法求它的根.(一般地,A的元素是整數(shù)).三、例題考點(diǎn)1：線性空間的定義、維數(shù)與基,坐標(biāo)變換

解:(1)顯然只要驗(yàn)證對加法和數(shù)乘封閉即可.

例6.1.1(西安交通大學(xué),2004年)設(shè)A∈Rn×n(R表示實(shí)數(shù)域)記S(A)={Z|AZ=ZA,Z∈Rn×n}(1)證明:S(A)為Rn×n的子空間.(2)若取A為對角陣,求S(A)的基與維數(shù).考點(diǎn)點(diǎn)撥:主要對線性空間的定義、線性空間的維數(shù)和基的求出,以及線性空間中不同基之間的坐標(biāo)變換的考查.當(dāng)前9頁，總共69頁。(2)對任何矩陣C,若:

那么比較等式兩邊易得C(i,j)=0(i≠j),于是S(A)的維數(shù)為n維,它的一組基可取為E11,E22,…,Enn.□

例6.1.2(北京航空航天大學(xué),2005年)設(shè)向量組與是兩組n維向量,證明:若這兩個(gè)向量組都線性無關(guān),則的維數(shù)等于齊次方程組的解空間的維數(shù).

對任意Z1,Z2∈S(A),任意k∈R,有A(Z1+Z2)=AZ1+AZ2=Z1A+Z2A=(Z1+Z2)A.知Z1+Z2∈S(A).(kZ1)A=kAZ1=A(kZ).知kZ1∈S(A).即知S(A)為一個(gè)子空間.當(dāng)前10頁，總共69頁。

記矩陣

X=(x1,x2,…,xs,y1,y2,…,yt)T.

證明:設(shè),,那么由題知dim(W1)=s,dim(W2)=t.

那么方程組AX=0的解空間的維數(shù)為:s+t-r(A),注意到W1+W2=,那么顯然有dim(W1+W2)=r(A).于是有:s+t-r(A)=dimW1+dimW2-dim(W1+W2)=dim(W1∩W2).即解空間的維數(shù)等于的維數(shù).□當(dāng)前11頁，總共69頁。

例6.1.3(北京理工大學(xué),2004年)設(shè)A,B分別是數(shù)域K上的p×n、n×m矩陣,令V={x|x∈Km,ABx=0},W={y|y=Bx,x∈V}.證明:W是向量空間的子空間,且dimW=r(B)-r(AB).

證明:要證明W是一個(gè)子空間,只要說明它對加法和數(shù)乘封閉即可.

若y1,y2∈W,k∈K,那么存在x1,x2∈V,使得y1=Bx1,y2=Bx2,顯然V是方程組ABx=0的解空間,它是一個(gè)子空間,那么有x1+x2∈V,kx1∈V,這時(shí)y1+y2=Bx1+Bx2=B(x1+x2).于是有y1+y2∈W,而ky1=kBx1=B(kx1),知ky1∈W,知W必是向量空間的一個(gè)子空間.

把B看成是向量空間Km到向量空間Kn的線性映射,那么有:W=B(V),于是有:dimImB|V+dimkerB|V=dimV(I)當(dāng)前12頁，總共69頁。

注意到ImB|V=W,那么有dimImB|V=dimW.而dimV=m-r(AB),kerB|V=kerB∩V.若Bx=0,顯然有ABx=0,所以有kerBV,那么有B=B∩V.

注意到dimkerB即為Bx=0的解空間的維數(shù),它等于m-r(B),于是有dimkerB|V=dimkerB∩V=dimkerB=m-r(B),代入等式(I)有:dimW+(m-r(B))=m-r(AB).移項(xiàng)即得:dimW=r(B)-r(AB).□

例6.1.4(中南大學(xué),2003年)設(shè)P是一個(gè)數(shù)域,A是Pn×n中一個(gè)矩陣,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.證明:(1)F(A)是Pn×n的一個(gè)線性子空間.(2)可以找到非負(fù)整數(shù)m,使I,A,A2,…,Am是F(A)的一組基.(3)F(A)的維數(shù)等于A的最小多項(xiàng)式的次數(shù).當(dāng)前13頁，總共69頁。

解:(1)任取f(A),g(A)∈F(A),k∈P,有f(A)+g(A)=(f+g)(A).顯然由f(x),g(x)∈P[x]可得(f+g)(x)=f(x)+g(x)∈P[x],于是有f(A)+g(A)∈F(A).而kf(A)=(kf)(A),那么由kf(x)∈P[x]可知kf(A)∈F(A),即知F(A)是Pn×n的一個(gè)線性子空間.(2)不妨設(shè)A的最小多項(xiàng)式為,并記=m+1,那么由m(A)=0且的首項(xiàng)系數(shù)為1可知Am+1可被I,A,A2,…,Am線性表出.

顯然有任意f(A)∈F(A),都可使得f(A)被I,A,A2,…,Am線性表出.下證I,A,A2,…,Am線性無關(guān),利用反證法.

若I,A,A2,…,Am線性相關(guān),那么存在一組不全為零的數(shù)k0,k1,…,km∈P,使得:

k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.當(dāng)前14頁，總共69頁。

令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,顯然有h(A)=0且

,這將與是A的最小多項(xiàng)式矛盾.于是I,A,A2,…,Am線性無關(guān),那么I,A,A2,…,Am構(gòu)成F(A)的一組基.

(3)顯然由第(2)問知I,A,A2,…,Am構(gòu)成F(A)的一組基,那么有dim(F(A))=m+1=□

例6.1.5(北京大學(xué),2002年)用Mn(K)表示數(shù)域K上所有n階矩陣組成的集合,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法它成為K上的線性空間.數(shù)域K上n階矩陣稱為循環(huán)矩陣.用U表示K上所有n階循環(huán)矩陣組成的集合.證明:U是Mn(K)的一個(gè)子空間,并求U的一個(gè)基和維數(shù).當(dāng)前15頁，總共69頁。

證明:令矩陣:

注意到J2,J3,…,Jn-1的形式,并有Jn=In,那么有.

若A,B∈U,k∈K,并記A=a1In+a2J+a3J2+…+anJn-1,B=b1In+b2J+b3J2+…+bnJn-1.那么有:kA=(ka1)In+(ka2)J+(ka3)J2+…+(kan)Jn-1,A+B=(a1+b1)In+(a2+b2)J+(a3+b3)J2+…+(an+bn)Jn-1,當(dāng)前16頁，總共69頁。

即U必是Mn(K)的一個(gè)子空間,且其中的所有矩陣都可以表示為In,J,J2,J3,…,Jn-1的線性組合,注意到In,J,J2,J3,…,Jn-1是線性無關(guān)的,那么有dim(U)=n,且U的一組基即為：In,J,J2,J3,…,Jn-1.□

例6.1.6(北京交通大學(xué),2004年)設(shè)V是數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式全體構(gòu)成的線性空間,a1,a2,…,an是n個(gè)互不相同的數(shù),f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),而.證明:f1(x),f2(x),…,fn(x)是V的一組基.

證明:顯然有dim(V)=n,若要證明f1(x),f2(x),…,fn(x)是V的一組基,只要證明它們是線性無關(guān)的即可.作線性組合k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)=0.

將x=aj代入,注意到fi(aj)=0(i≠j),那么可得kjfj(aj)=0.當(dāng)前17頁，總共69頁。

注意到a1,a2,…,an互不相同,顯然有fj(aj)≠0,于是有kj=0,由j可以任取,可知k1=k2=…=kn=0.即f1(x),f2(x),…,fn(x)線性無關(guān),成為V的一組基.□考點(diǎn)2：線性子空間的和、交、并、直和及之間的關(guān)系,同構(gòu)的概念

例6.2.1(上海交通大學(xué),2004年)設(shè)A是數(shù)域P上n階可逆矩陣.任意將A分為兩個(gè)子塊.證明n維線性空間Pn是齊次線性方程組A1X=0的解空間V1與A2X=0的解空間V2的直和.考點(diǎn)點(diǎn)撥：對線性子空間的和、交、并、直和及之間的關(guān)系,同構(gòu)的概念的考查.當(dāng)前18頁，總共69頁。

那么有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).

對任意的X∈Rn,不妨設(shè)

其中分別是r維和n-r維向量.

那么有:

有:

證明:由于A是可逆矩陣,那么A的所有行向量線性無關(guān),不妨設(shè)r(A1)=r,那么顯然有r(A2)=n-r.注意到當(dāng)前19頁，總共69頁。

知X1∈V1,X2∈V2.顯然V為V1和V2的和.又有dimV1=n-r,dimV2=n-(n-r)=r,dim(V1+V2)≤dimV=n.于是由維數(shù)公式

dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2可知dim(V1∩V2)≤0,必有dim(V1∩V2)=0,也即V1∩V2={0},顯然V為V1和V2的直和.□

例6.2.2(浙江大學(xué),2006年)設(shè)W,W1,W2是向量空間V的子空間W1

W2,W1∩W=W2∩W,W1+W=W2+W.證明:W1=W2.證明:對于i=1,2,都有dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(Wi∩W).由題目條件有dim(W1∩W)=dim(W2∩W),dim(W1+W)=dim(W2+W).當(dāng)前20頁，總共69頁。

那么顯然有dimW1=dimW2.又由W1

W2,可知W1=W2.□

例6.2.3(武漢大學(xué),2006年)設(shè)數(shù)域K上的n維矩陣A,B,C,D關(guān)于矩陣的乘法兩兩交換,且滿足AC+BD=I,又設(shè)線性方程組ABX=0,BX=0與AX=0的解空間分別是W,I,M.證明:W是I與M的直和.

證明:任取,那么有,注意到AC+BD=In(I)將等式(I)兩邊同時(shí)作用,那么有.

注意到A,B,C,D關(guān)于乘法兩兩交換,于是有:則有.即有W=I+M.當(dāng)前21頁，總共69頁。

若,那么有,于是將等式(I)兩邊同時(shí)作用有,即有I∩M={0}.那么有W=I△M.□

例6.2.4(北京理工大學(xué),2005年)設(shè)A為數(shù)域F上的n階矩陣,f(x),g(x)∈F[x],證明：如果d(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式,那么齊次線性方程組d(A)X=0的解空間等于f(A)X=0的解空間與g(A)X=0的解空間的交集.

證明:由題知,存在u(x),v(x)∈F[x],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).且存在h(x),k(x),使得f(x)=h(x)d(x),g(x)=k(x)d(x).

那么有u(A)f(A)+v(A)g(A)=d(A)(I)

f(A)=h(A)d(A),g(A)=k(A)d(A)(II)當(dāng)前22頁，總共69頁。

證明:(1)必要性

不妨設(shè)d(A)X=0的解空間為W，f(A)X=0的解空間為U,g(A)X=0的解空間為V.

若d(A)X=0,那么由(II)知

f(A)X=h(A)d(A)X=0,g(A)X=k(A)d(A)X=0,于是有WU∩V.

若f(A)X=0且g(A)X=0,那么由(I)可知d(A)X=u(A)f(A)X+v(A)g(A)X=0于是有U∩VW，那么可得W=U∩V.□

例6.2.5(重慶大學(xué),2005年)設(shè)A,B為n階方陣,證明:r(AB)=r(B)的充要條件是ABx=0的解均為Bx=0的解.

記ABx=0的解空間為W1,Bx=0的解空間為W2,那么如果Bx=0,顯然有ABx=0,即有W2

W1.當(dāng)前23頁，總共69頁。

由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),且r(AB)=r(B)可知dimW1=dimW2.那么有W1=W2,顯然有ABx=0的解均為Bx=0的解.(2)充分性

若ABx=0的解均為Bx=0的解,那么有W1

W2.

又顯然有W2

W1,于是可得W1=W2,那么dimW1=dimW2.

由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),即知r(AB)=r(B).□

例6.2.6(復(fù)旦大學(xué),2002年)設(shè)n為一個(gè)自然數(shù),V是由所有n×n實(shí)矩陣構(gòu)成的n2維實(shí)向量空間,U和W分別為由所有n×n對稱矩陣和反對陳矩陣構(gòu)成的空間.證明:V=U△W,即V是U和W的直和.當(dāng)前24頁，總共69頁。

然后證明是直和.只要證明U∩W={0}即可.

證明:先證明V=U+W,顯然U+W

V,下證V

U+W,任取A∈V,有容易驗(yàn)證是對稱矩陣,是反對陳矩陣,因此有V

U+W,可得V=U+W.

任取B∈U∩W,有BT=B,BT=-B,于是B=-B,即2B=0,從而B=0,因此U∩W={0}.

綜上所述,V=U△W.□

例6.2.7(上海大學(xué),2005年)Fn是n×n矩陣的全體,已知V1={x|Ax=0,x∈Fn},V2={x|(A-I)x=0,x∈Fn},求證:Fn=V1△V2的充分必要條件是A2=A.當(dāng)前25頁，總共69頁。

證明:(1)充分性:

若A2=A,那么有A(A-I)=(A-I)A=0.

即有:Fn=V1+V2

那么有V1+V2={0}

于是Fn=V1△V2.有:

顯然有:

于是有:

若∈V1∩V2,那么顯然有A=0,(A-I)=0,兩式相減即得=0當(dāng)前26頁，總共69頁。

證明:(2)必要性:

若Fn=V1△V2,那么有n=dim(Fn)=dimV1+dimV2.記dimV1=r,那么有dimV2=n-r.于是A的特征值0的特征子空間的維數(shù)為r,屬于特征值1的特征子空間的維數(shù)為n-r,那么存在可逆矩陣P,使得:

于是:□當(dāng)前27頁，總共69頁。

例6.2.8(北京師范大學(xué),2006年)V是n維線性空間,V1,V2是V的子空間,且V1,V2的維數(shù)相等.證明:存在一個(gè)子空間W,使得V=V1△W=V2△W.

證明:不妨設(shè)dim(V1∩V2)=r,dimV1=dimV2=m,那么有dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)=2m-r.

將它擴(kuò)充為V的一組基為:

記空間V1∩V2的一組基為:

那么可將它擴(kuò)充為V1的一組基為:

也可將它擴(kuò)充為V2的一組基為:

那么顯然有V1+V2的一組基為:當(dāng)前28頁，總共69頁。

那么有dimW=m-r+(n+r-2m)=n-m.

注意到dimV1=m,那么有dimV=dimV1+dimW.記:

由的線性無關(guān)顯然可得是線性無關(guān)的.

若,那么有:

那么移項(xiàng)有當(dāng)前29頁，總共69頁。

且有kr+1-lr+1=0,…,km-lm=0.

將lj=0(j=r+1,…,m)代入上式有ki=0(i=r+1,…,m).

于是有dimV=dim(V1+W)=dimV1+dimW.

顯然有V=V1△W.

同理有V=V2△W.□

那么由的線性無關(guān)有ki=0(i=1,2,…,r),lj=0(j=r+1,…,n+r-2m).

于是有=0,即V1∩W={0}.

例6.2.9(北京郵電大學(xué),2003年)

證明:同一個(gè)數(shù)域P的兩個(gè)有限維的線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù).

證明:設(shè)V和V/都是數(shù)域P上的有限維線性空間.當(dāng)前30頁，總共69頁。

必要性的證明見下面的理論鏈接(6),下證充分性.

設(shè)dimV=dimV/=n,在V,V/中可取一組基:

令:

從(I)看出,V中的每一個(gè)向量在V/中都有唯一的向量與對應(yīng).由于是V/的一組基,因此V中不同的向量對應(yīng)于V/中不同的向量;并且對V/中每個(gè)向量,都有V中的向量對應(yīng)于.因此是V到V/的雙射 .當(dāng)前31頁，總共69頁。

注(理論鏈接):關(guān)于線性空間的同構(gòu)概念和性質(zhì)如下:

設(shè):

則:

因此是一個(gè)V到V/的同構(gòu)映射,從而V≌V/.□(1)設(shè)V與V/都是域F上的線性空間,如果有V到V/的一個(gè)雙射,使得對于任意V,k∈F,有.當(dāng)前32頁，總共69頁。

那么稱是V到V/的一個(gè)同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu)).如果V到V/有一個(gè)同構(gòu)映射,則稱V和V/是同構(gòu)的,記為V≌V/.(2)(0)是V/的零元素0/.(3)對任意的,有.(4)對于V中的任一組向量,F中任意一組元素k1,k2,…,ks有:(5)V中向量組線性相關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)是V/中線性相關(guān)向量組.(6)如果是V的一個(gè)基,則是V/的一個(gè)基.當(dāng)前33頁，總共69頁。

證明如下:考點(diǎn)3:線性映射、線性變換與矩陣

由(5)可知是V/的一個(gè)線性無關(guān)的向量組.任取,由于是V到V/的一個(gè)滿射,因此存在,使得.

設(shè):

則:

因此是V/的一個(gè)基.考點(diǎn)點(diǎn)撥：對線性映射的定義,線性變換在不同基下的矩陣表示及聯(lián)系的考查,其中包括了對線性變換的逆與直和及子空間一系列概念的綜合考查.當(dāng)前34頁，總共69頁。

例6.3.1(上海交通大學(xué),2004年)

設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換,.證明:(1)的特征值只能是1或0.(2)若用V1與V0分別表示對應(yīng)于特征值1和0的特征子空間,則,.(3)

解:(1)不妨設(shè)為的某個(gè)特征值,對應(yīng)于這個(gè)特征值的一個(gè)特征向量(是非零向量)為,那么由于,有,也即有,于是,那么或.于是的特征值只能為1或0.(2)使得,那么當(dāng)前35頁，總共69頁。

那么有,于是.

另一方面,若,那么,顯然有,即有.

于是有.,即有,顯然有,即有.

若,那么,即,于是,則.(3)

于是V=V1+V0.當(dāng)前36頁，總共69頁。

證明:(1)必要性

而若V1∩V0,那么有.

即有,那么有V1∩V0={0}

可見有.□

例6.3.2(浙江大學(xué),2003年)設(shè)A為n階復(fù)矩陣,若存在正整數(shù)m使得Am=0,則稱A為冪零矩陣.求證:(1)A為冪零矩陣的充要條件是A的特征值全為零.(2)設(shè)A不可逆,也不是冪零矩陣,那么存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=,其中B是冪零矩陣,C是可逆矩陣.

若A是冪零矩陣,那么若取A的特征值為,對應(yīng)于的特征向量為,有A=,于是0=0=An=,即可得=0,所以A的特征值全為0.當(dāng)前37頁，總共69頁。

充分性:若A的特征值全為零,那么A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J中對應(yīng)的Jordan塊都形如Jk(0),不妨設(shè)這些Jordan塊中階數(shù)最大的為m,那么顯然有Jm=0,由A相似于其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,那么存在可逆矩陣P使得A=PJP-1,那么有Am=PJmP-1=0.(2)由于A不可逆,那么A必有特征值為零,那么A的特征值多項(xiàng)式必可寫成的形式(其中k>0,且的首項(xiàng)系數(shù)為1.).

若=1,那么,于是f(A)=An=0,知A必為冪零矩陣,導(dǎo)致矛盾.可見,于是將分解為一次因式的乘積,可得A的所有的初等因子,將A的所有的對應(yīng)于特征值零的Jordan塊組成塊對角矩陣B,顯然B是個(gè)冪零矩陣,而將A的所有的對應(yīng)于非零特征值的Jordan塊組成對角矩陣C,由于上三角陣C當(dāng)前38頁，總共69頁。

顯然J為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形那么存在可逆矩陣P,使得:的主對角線上沒有零元,顯然C可逆,令□

例6.3.3(浙江大學(xué),2004年)設(shè)V=Pn×n是P上的線性空間.取定A,B,C,D∈Pn×n,對任意X∈Pn×n,令

(X)=AXB+CX+XD.求證:(1)是V的線性變換.(2)當(dāng)C=D=0,可逆的充要條件是|AB|≠0.當(dāng)前39頁，總共69頁。(2)充分性

證明:(1)顯然有(X)∈V,知是V上的線性變換,下面證明它必是線性的.

即為V上的線性變換.

若|AB|≠0,那么有|A|≠0且|B|≠0,則矩陣A,B都可逆.若令Y=AXB,那么有X=A-1YB-1,于是可令

-1(X)=A-1XB-1,易驗(yàn)證,即有可逆.當(dāng)前40頁，總共69頁。

特別地,取Y=In代入(I)式并在兩邊取行列式有|AXB|=1≠0,顯然可得|AB|≠0.□

證明:必要性.

必要性:若可逆,那么顯然有為V上的雙射,且是滿射,那么任取Y∈V,存在X∈V使得AXB=Y(I)

例6.3.4(華中科技大學(xué),2006年)

設(shè)是數(shù)域P上的n維線性空間V的線性變換,W1,W2是V的子空間,并且V=W1△W2,證明:有逆變換的充分必要條件是:

若有逆變換,那么是個(gè)V上的雙射,顯然也是V上的同構(gòu)變換,注意到同構(gòu)變換不改變向量組的線性相關(guān)性那么顯然有:當(dāng)前41頁，總共69頁。.即有,由是個(gè)單射知,即有,由V是W1與W2的直和知.即有,知,于是比較維數(shù)有:

而若,那么存在使得:

也即有:

充分性:若且V=W1△W2,下面證明必可逆.

由V=W1△W2,不妨設(shè)dimW1=r,取W1的一組基和W2的一組基合起來構(gòu)成V的一組基.若一個(gè)空間中的一組向量線性相關(guān),那么這組向量在下的象也必線性相關(guān),那么顯然有.若或,將導(dǎo)致的矛盾,于是必有.當(dāng)前42頁，總共69頁。

例6.3.5(武漢大學(xué),2003年)設(shè)V1和V2是向量空間V的子空間,且V=V1△V2(即V是V1與V2的直和),若定義映射：

注意到張成了空間,由知必線性無關(guān),那么就構(gòu)成了的一個(gè)基.同理構(gòu)成了的一個(gè)基,由V=W1△W2

知這兩組基合起來就構(gòu)成了V的一組基,于是取V上的變換如下:將V上的基依次映射到基

顯然易驗(yàn)證.

即有是的逆變換.□當(dāng)前43頁，總共69頁。

證明:(1)f1,f2是V的線性變換.(2)f12=f1,f22=f2.(3)f1f2=f2f1=0(零變換),f1+f2=idV(V的恒等變換).知f1,f2都是V的線性變換.

證明:(1)對∈V和常數(shù)k有:當(dāng)前44頁，總共69頁。即知f12=f1,f22=f2.即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV.□(2),有：(3),有：且有：當(dāng)前45頁，總共69頁。

下面證這個(gè)線性變換是唯一的.

可見有S=T,即得唯一性.□

例6.3.6(重慶大學(xué),2003年)設(shè)e1,e2,…,en是n維線性空間Vn的一組基,對任意n個(gè)向量,證明:存在唯一的線性變換T使得.

證明:顯然,由于e1,e2,…,en是它的一組基,那么可寫為=l1e1+l2e2+…+lnen(I)

作Vn上的線性變換T為,那么顯然有T()=l1T(e1)+l2T(e2)+…+lnT(en)

若還有一個(gè)線性變換S滿足,那么對于(I)中任取的有S()=l1S(e1)+l2S(e2)+…+lnS(en)當(dāng)前46頁，總共69頁。

例6.3.7(重慶大學(xué),2004年)已知全體實(shí)的2維向量關(guān)于下列運(yùn)算構(gòu)成R上的線性空間V:(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+[k(k-1)/2]a2)(1)求V的一組基.(2)定義變換/A(a,b)=(a,a+b),證明:/A是一個(gè)線性變換,并求/A在V的一組基下的矩陣表示.

解:(1)顯然dimV=2,那么只要找到V中的兩個(gè)線性無關(guān)的向量即可組成V的一組基,考查V中的兩個(gè)向量:e1=(1,0),e2=(0,1).

下面證明它們是線性無關(guān)的,令它們的線性組合為零,有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).

于是有:(k1,[k1(k1-1)/2]+k2)=(0,0).當(dāng)前47頁，總共69頁。即有e1,e2線性無關(guān),并組成V的一組基.(2)任取(a,b),(c,d)∈V,k∈R,有/A((a,b)+(c,d))=/A((a+c,b+d+ac))=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d))=(a+c,a+b+c+d+ac)

即知/A((a,b)+(c,d))=/A(a,b)+/A(c,d).

那么有:

易推得:

而當(dāng)前48頁，總共69頁。

顯然有:/A(k(a,b))=k/A(a,b).

即知/A是個(gè)線性變換.

由(1)知e1,e2是V的一組基,下面求線性變換/A在這組基下的矩陣表示.

由/A(e1)=/A((1,0))=(1,1),不妨設(shè)(1,1)=l1e1+l2e2

解得:l1=l2=1.

而顯然:/A(e2)=/A((0,1))=(0,1)=1·(0,1),

那么可得

于是有:

即為/A在基e1,e2下的矩陣表示.□當(dāng)前49頁，總共69頁。

例6.3.8(北京科技大學(xué),2004年)如果都是冪等的線性變換.證明:(1)如果,則也是冪等變換.(2)如果是冪等變換,則.

證明:(1)若,那么

即也是冪等變換.(2)(大連理工大學(xué),2007年考過)當(dāng)前50頁，總共69頁。

如果是冪等變換，則.

設(shè)全空間為V,且不妨設(shè)為的某個(gè)特征值,且對應(yīng)于這個(gè)特征值的一個(gè)特征向量(是非零向量)為,那么由,有.

也即有,于是,那么或.

于是的特征值只能為1或0,那么記V1和V0分別為線性變換的對應(yīng)于特征值1和特征值0的特征子空間,那么,有:由知于是V=V1+V0.

而若,那么有當(dāng)前51頁，總共69頁。

于是有V=V1△V0.

即有,那么V1∩V0={0}.

由易得,存在,使得

等式(I)兩邊同時(shí)作用有

注意到,且(I)式兩邊同時(shí)作用有

那么由(II)易推得

注意到的特征值只能有1和0,那么必有(否則就有特征值為-1,導(dǎo)致矛盾),于是就有:

即有:.□當(dāng)前52頁，總共69頁。

例6.3.9(華東師范大學(xué),2002年)設(shè)/A為數(shù)域K上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換,滿足/A2=/A,C為/A在V的某組基下的矩陣,且有r(C)=r.(1)證明:(i)A+E為V的可逆線性變換;(ii)r(C)=tr(C).(2)試求|2E-C|.(E為單位矩陣或恒等變換)

證明:(1)(i)顯然只要證明C+I是個(gè)可逆陣即可.

由/A2=/A可知C2=C.由對矩陣作分塊矩陣的初等變換可得r(C)+r(I-C)=n.若設(shè)r(C)=r,那么矩陣C對應(yīng)于特征值1的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為r個(gè),對應(yīng)于特征值0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n-r個(gè),將這些特征向量合并成可逆矩陣P,有:當(dāng)前53頁，總共69頁。

即知C+I可逆,那么/A+/E為V上的可逆線性變換.(ii)顯然由(I)式可得:(2)由(I)知:

那么有:

顯然有:□當(dāng)前54頁，總共69頁?？键c(diǎn)4:特征值、特征向量、矩陣的對角化與矩陣的冪考點(diǎn)點(diǎn)撥：對矩陣的特征值、特征向量的定義和性質(zhì)，以及利用矩陣的完全的特征向量系對角化并利用對角化形式計(jì)算矩陣的冪的考查,包含了將矩陣看成是線性變換的情形.

例6.4.1(上海交通大學(xué),2004年)對于數(shù)域P上的n維線性空間V,假設(shè)存在V上的線性變換,滿足(1);(2)的秩小于的秩.試證明:與至少有一個(gè)公共的特征向量.分析:注意將線性變換轉(zhuǎn)換成矩陣的形式以簡化條件.當(dāng)前55頁，總共69頁。

那么由題目條件可知:CB=0,r(A)<r(B).

下面找出A和C的一個(gè)公共的特征向量.

由條件CB=0知,B的列向量全屬于線性方程組Cx=0的解空間,那么顯然有B的列秩滿足r(B)≤n-r(C).

由r(A)<r(B)知r(A)+r(C)<n.

不妨設(shè)Ax=0,Cx=0的解空間分別為V1,V2,那么dimV1+dimV2=n-r(A)+n-r(C)>n.

證明:取定V中的一組基e1,e2,…en,不妨設(shè)在這組基下的矩陣表示分別為A,B,C.

注意到V1+V2

V,顯然有dim(V1+V2)≤dimV=n.當(dāng)前56頁，總共69頁。

利用維數(shù)公式

dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)>0

證明:必要性顯然,下證充分性.

即存在非零向量V1∩V2,顯然就是屬于A和C的特征值為零的公共的特征向量.那么以e1,e2,…en為基,以為坐標(biāo)的V中的向量即為與的一個(gè)公共的特征向量.□

例6.4.2(浙江大學(xué),2006年)設(shè)A為實(shí)矩陣,證明存在正交矩陣G,使得G-1AG為上三角矩陣的充要條件是A的特征值均為實(shí)數(shù).

若A的特征值全為實(shí)數(shù),對A的階數(shù)n使用數(shù)學(xué)歸納法.

n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.當(dāng)前57頁，總共69頁。

假設(shè)在n-1時(shí)結(jié)論成立,那么在A的階數(shù)為n時(shí),取A的一個(gè)特征值為所對應(yīng)的一個(gè)單位特征向量,顯然有,那么將擴(kuò)充為n維列向量空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為,將A看成是V上的線性變換,有:

令正交陣,那么.

顯然有矩陣與矩陣A相似,那么它們有著相同的特征值,于是n-1階矩陣A1的特征值必全為實(shí)數(shù).利用歸納假設(shè),存在正交矩陣P1使得P1-1A1P1=D為上三角矩陣,若令,顯然G-1AG為上三角矩陣.□當(dāng)前58頁，總共69頁。

例6.4.3(北京航空航天大學(xué),2004年)設(shè)T是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,是T的一個(gè)特征值,是T的關(guān)于特征值的特征子空間,證明:的維數(shù)≤的重?cái)?shù)

分析:也即特征值的幾何重?cái)?shù)不超過其代數(shù)重?cái)?shù),在一般的高代書上都有解答.

證明:設(shè)dim=t,且有e1,e2,…,et是的一組基,由于中的元素都是T的關(guān)于的特征向量,那么有:

將e1,e2,…,et擴(kuò)充為V的一組基,記為e1,…,et,et+1,…,en,那么T在這組基下的矩陣表示為:當(dāng)前59頁，總共69頁。

注:幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)的定義:

顯然n維空間V上的線性變換有完全的特征向量系當(dāng)且僅當(dāng)有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

設(shè)是V上的線性變換,是的一個(gè)特征值,V0是關(guān)于的特征