高三圓錐曲線復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)和大題含答案)

考大綱求1）圓錐曲線認(rèn)識(shí)圓錐曲線的實(shí)質(zhì)背景，認(rèn)識(shí)圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)質(zhì)問題中的作用；②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；③認(rèn)識(shí)雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；④認(rèn)識(shí)圓錐曲線的簡單應(yīng)用；⑤理解數(shù)形聯(lián)合的思想。2）曲線與方程認(rèn)識(shí)方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。基本知識(shí)回首1）橢圓橢圓的定義設(shè)F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)（稱焦點(diǎn)），P為動(dòng)點(diǎn)，則知足|PF1|+|PF2|=2a(此中a為定值，且2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓,符號(hào)表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞|F1F2|)。②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程22x+y=1（＞b＞0）a2b2a范圍x[a,a]y[b,b]

焦點(diǎn)在y軸上的橢圓y2+x2=1（＞b＞0）a2b2ax[b,b]y[a,a]圖形對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)極點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)B1(0,b),B2(0,b)軸長軸A1A2的長為：2a短軸B1B2的長為：2b焦距FF=2c12離心率ec,e(0,1)aa,b,c關(guān)a2b2c2系例題例1：橢圓x2y21的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|4，則|PF2|；92F1PF2的大小為。變式1：已知F、F是橢圓C:x2y21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓C上的一12a2b2點(diǎn)，且PF1PF2。若PF1F2的面積為9，則b。例2：若點(diǎn)

P到點(diǎn)

F(4,0)

的距離比它到定直線

x+5=0的距離小

1，則

P點(diǎn)的軌跡方程是（）A．y2=

16x

B．y2=

32x

C．y2=16x

D．y2=32x變式2：動(dòng)圓與定圓

A：(x+2)2+y2=1外切，且與直線

∶x=1相切，則動(dòng)圓圓心

P的軌跡是（）A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線變式3：拋物線的極點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)P(m,3)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為（）A．x28y．2．2．2x4yx4yx8yBCD變式4：在拋物線y2=2x上有一點(diǎn)P，若P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是。課后作業(yè)221．已知橢圓x+y=1,F1、F2分別為它的左右焦點(diǎn)，CD為過F1的弦，則△F2CD的周169長是（）A．10B．12C．16D．不可以確立2．設(shè)P為雙曲線x2y21上的一點(diǎn)，，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若12F1F2|PF1|:|PF2|3:2，則△PF1F2的面積為（）A．63B．12C．123D．243．已知直線l1:4x3y60和直線l2:x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）A．2B．3C．11D．37516答案：例題例1、2，120°解：∵a29,b23，∴ca2b2927，∴FF27，12又PF14,PF1PF22a6，∴PF22，22422又由余弦定理，得cosF1PF2271，2242∴F1PF2120，故應(yīng)填2，120°。變式1、3解：依題意，有，PF1PF22aPF1PF218可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，2PF222PF14c故有b＝3。例2、C變式2、D變式3、D變式4、（2,2）課后作業(yè)1．C2．B3．解：直線l2:x1為拋物線y24x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F1,0的距離，故此題化為在拋物線y24x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)和F1,0直線l2的距離之和最小，最小值為F1,0到直線l1:4x3y40660的距離，即dmin52，應(yīng)選擇A。（2）雙曲線①雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2（稱為焦點(diǎn)）的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(0＜2a＜|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,符號(hào)表示：||PF1|－|PF2||=2a(0＜2a＜|F1F2|)。②雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2－y2（＞0,b＞）y2－x2=1（a＞0,b＞0）a2b2=1a0a2b2范圍x[a,a]x[b,b]y[b,b]y[a,a]圖形對(duì)稱性極點(diǎn)軸焦距離心率a,b,c關(guān)系例題

對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)實(shí)軸A1A2的長為：2a虛軸B1B2的長為：2bF1F2=2cec,e(1,+)ac2a2b2例3：假如方程x2ky22表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．(0,)B．(0,2)C．(1,)D．(0,1)變式5：雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)，那么k的值是（）A．1B．－1C．65D．－6533變式6：曲線x2y21的離心率∈(1,2)，則k的取值范圍是（）4keA．(－∞,0)B．(－3,0)C．(－12,0)D．(－60,－12)例4：設(shè)F1和F2為雙曲線x2y21(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若F1，F(xiàn)2，22abP(0,2b)是正三角形的三個(gè)極點(diǎn),則雙曲線的離心率為（）A．3B．2C．5D．322變式7：過橢圓x2y21(ab0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2a2b2為右焦點(diǎn)，若F1PF260o，則橢圓的離心率為（）A．2B．3C．1D．12323變式8：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，a2b2使F1AF290o且AF13AF2，則雙曲線的離心率為（）A．5B．10C．15D．5222變式9：雙曲線x2y21（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，a2b2且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（）A．(1,3)B．1,3C．(3,+)D．3,例5：設(shè)雙曲線x2y21(a0,b0)的虛軸長為2，焦距為23，則雙曲線的a2b2漸近線方程為（）．2x．y2x．y2xD．y122變式10：已知雙曲線x2y21(b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其一條漸近2b2線方程為yx，點(diǎn)P(3,y0)在雙曲線上.則PF1·PF2＝（）A．－12B．－2C．0D．4變式11：雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）412A．23B．2C．3D．1答案：例題例3、C變式5、B變式6、C例4、B解：由tanc3有3c24b24(c2a2),則ec2,應(yīng)選B。62b3a變式7、B，解：因?yàn)镻c,b2F1PF260有3b2，再由2a，進(jìn)而可得aaec3，應(yīng)選B。a3變式8、B變式9、B例5、C解：由已知獲得b1,c3,ac2b22，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為ybx2xa2變式10、C解：由漸近線方程為yx知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2y22，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（－20203,1)或P(3,1).，）和（，），且P(不如去P(3,1)，則PF1(23,1)，PF2(23,1).∴PF1·PF2＝(23,1)(23,1)(23)(23)10變式11、解：雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線y3x的距離為412d340223,選A（3）拋物線①拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線（定點(diǎn)F不在定直線l上）。②拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)yyyy圖形FoxFoFxoxoxF極點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱性對(duì)于x軸對(duì)稱對(duì)于x軸對(duì)稱對(duì)于y軸對(duì)稱對(duì)于y軸對(duì)稱焦點(diǎn)（p,0）（-p,0）（0,p）（0,-p）2222離心率e=1準(zhǔn)線方程ppppxxyy2222③知識(shí)拓展拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1,y1)，B(x2,y2)則1.x1x2p2，y1y2p2；42.弦長丨AB丨=x1x22p(α為弦AB的傾斜角)；p=2sin3.112；FAFBp以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；，O與B在準(zhǔn)線上的射影B’三點(diǎn)共線，B，O與A在準(zhǔn)線上的射影A’三點(diǎn)共線。例題例6：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4的焦點(diǎn)，與拋物線訂交于兩點(diǎn)、，則線xAB段AB的長是。變式12：拋物線y2=2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)F的距離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是變式13：設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（

）A．訂交

B．相切

C．相離

D．以上答案均有可能變式

14：過拋物線

y2

2px(p

0)的焦點(diǎn)

F作傾斜角為

45o的直線交拋物線于

A、B兩點(diǎn)，若線段

AB的長為

8，則

p

________________課后作業(yè)1．若雙曲線x2y21ao的離心率為，則a等于（）a2322A．2B．3C．3D．122．雙曲線x2y21（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜a2b2角為30o的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）A．6B．3C．2D．333．已知雙曲線的極點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為。4．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則雙曲線方程為（）A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y214121241066105．拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，0）B．（2，0）C．（4，0）D．（4，0）6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)。若點(diǎn)P在雙曲線上，且9uuuruuuurPF1PF20，則PF1PF2（）A．10B．210C．5D．257．已知橢圓x2y21(ab0)的左焦點(diǎn)為F，右極點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，a2b2且BFuuuruuurx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P。若AP2PB，則橢圓的離心率是（）A．3B．2C．1D．122328．已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)，P(x，y)，P(x，y)111222333在拋物線上，且2x2x1x3，則有（）A．FP1FP2FP32FP222B．FP1FP3C．2FP2FP1FP32FP1FP3D．FP2答案：例題例6、8變式12、2變式13、B變式14、2，解：由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為yxp，2y22pxx23pxp2聯(lián)立有p0，yx42又AB2(3p)24p2。(11)8p24課后作業(yè)．解：由x2y2可知虛軸b=3，而離心率e=ca232，解得a=1或23aaaa=3，參照選項(xiàng)知而應(yīng)選D。2．B3．34．A5．解：由y28x,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(p,0)(2,0)，應(yīng)選B。26．Buuuruuur17．D，對(duì)于橢圓，因?yàn)锳P2PB，則OA2OF,a2c,e28．C解圓錐曲線常用方法（1）韋達(dá)定理的應(yīng)用例題:x2y2例1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1221(ab0)的左焦點(diǎn)為abF1(1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C1上．（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2:y24x相切，求直線l的方程．課后作業(yè)、雙曲線x2y21的漸近線與圓(x3)2y2r2(r0)相切，則r=（）36A．3B．2C．3D．62、設(shè)雙曲線x2y21的一條漸近線與拋物線yx21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a2b2雙曲線的離心率為（）A．5B．5C．5D．5423、已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A3B3C2D232321(1):c=1,1a2b21,2x2y213b21b2P(0,1)b214a2b21112x2y21522ykxm6ykxmx2y212y(2k21)x24kmx(2m22)01(4km)24(2k21)(2m22)7m22k218ykxmy24xyk2x2(2km4)xm202(2km4)24k2m209km110將②代入①解得：24k210k解得：k21,(k21舍去），故k2,或許k2222當(dāng)k1時(shí)，m2,當(dāng)k1時(shí)，m212分故切線方程為：y2x2或許y2x214分22課后作業(yè)1、A2、D解：雙曲線x2y21的一條漸近線為ybx,由方程組a2b2a

bxayx2

,1bxb2消去y,得x210有獨(dú)一解,所以40,aa所以bca2b2b22,5應(yīng)選。e,aaaaD3、解：設(shè)AF12AF22,F1F23,所以橢圓的離心1,由△ABF是正三角形知c2cF1F23，應(yīng)選A。率e2aAF1AF23a（2）圓錐曲線弦長問題例題例2：已知橢圓C:x222y2=1(a＞b＞0)的離心率為6,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距ab3離為3。（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為3，2求△AOB面積的最大值。課后作業(yè)1、設(shè)P是橢圓x2y21a1短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ的a2最大值。2、已知橢圓的中心在座標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。（1）求橢圓的方程；（2）直線l過點(diǎn)(0,2)且與橢圓訂交于、兩點(diǎn)，當(dāng)面積獲得最大值時(shí)，PABAOB求直線l的方程。答案：例題c6例2、解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意a3∴b1，a32∴所求橢圓方程為xy21。32）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)。①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB3。②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm。m3，得m23(k21)．由已知1k224把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，∴x1x26km，x1x23(m21)。3k213k21∴AB21k2x2x21k236k2m212m2113k2123k2112(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k21)2(3k21)2312k2312(k0)≤3124。9k46k21212369k6k2當(dāng)且僅當(dāng)21，即k3時(shí)等號(hào)建立．當(dāng)k0時(shí)，AB3，k239k綜上所述ABmax2?！喈?dāng)AB最大時(shí)，△AOB面積取最大值S133ABmax222課后作業(yè)1、解:依題意可設(shè)(0,1),(,),則||=x2y12,又因?yàn)樵跈E圓上,Q所以x2a21y2，2a21y2y22y11a2y22y1a2PQ1211a2y11a2a21a2因?yàn)閥1,>1,若a≥2,則1≤1，當(dāng)y1時(shí)，||取最大值1a21a2PQa2a21；a21若1<a<2，則當(dāng)y=－1時(shí)，|PQ|取最大值2。2、解：設(shè)橢圓方程為x2y21(abc)a2b2bca22（1）由已知得2a24b21cc21a2b2c2∴所求橢圓方程為x2y21。2（2）解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)ykx2由x2y21，消去y得對(duì)于x的方程：(12k2)x28kx602由直線l與橢圓訂交于、B兩點(diǎn)，∴0224(12k20解得A64k)k232x1x28k12k2又由韋達(dá)定理得6x1x212k2∴|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x21k216k22412k2原點(diǎn)O到直線l的距離d21k2∵SAOB1|AB|d16k224222k23。212k212k2令m2k23(m0)，則2k2m23∴S22m22≤2m24m42m當(dāng)且僅當(dāng)m4即m2時(shí)，Smax22m此時(shí)

k

14

。

所以，所求直線方程為

142y

4

023）圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題碰到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。1．在橢圓x2y21中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－b2x0；a2b2a2y02．在雙曲線x2y21中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=b2x0；a2b2a2y03．在拋物線y22px(p0)中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=p。y0例3、對(duì)于雙曲線x2y21，過點(diǎn)B(1,1)可否作直線m，使m與雙曲線交于P,Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是PQ的中點(diǎn)。例4、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,52)，且截直線3xy20，所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)2方程。課后作業(yè)1、假如橢圓x2y2（4，2）均分，那么這條弦所在的直線方程是369A2、已知直線y=－x+1與橢圓x2y21(ab0)訂交于、兩點(diǎn)，且線段的中a2b2ABAB點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為3、已知拋物線C的極點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P2,2為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為4、已知橢圓x2y21的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。21）求過點(diǎn)O、F，而且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，而且線段AB的中點(diǎn)在直線xy0上，求直線AB的方程。答案：例3、解：假定存在直線m，設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，則2x12y122(1)2x22y222(2)x1x22(3)y1y22(4)（1）－（2）得：2x1x2x1x2y1y2y1y20∴4x1x22y1y20∴ky1y22x1x2∴m的方程為：y12x1即y2x1y2x1得2x24x304242380由2y22x2∴m與已知雙曲線無交點(diǎn)，即假定不建立，∴m不存在。例4、解：設(shè)所求橢圓方程為y2x21（a＞b＞0），由a2b250，得a2b250，a2b2將3xy20與y2x21（＞b＞0）聯(lián)立消去y得a2b2a10b250x212b2xb2b24b0設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則x1x26b21，解出b225、a275，5(b25)22yx所求橢圓方程為+=1。7525課后作業(yè)1、x2y802、223、y24x解：設(shè)拋物線為y2kx，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得：x2kx0，x1x2k22，故y24xy4、解：（1）∵a22，b21,∴c1,F1,0,l:x2∵圓過點(diǎn)O、F，∴圓心M在直線x1上。B2N113lAFOx設(shè)M(,t),則圓半徑r()(2)。222由OMr,得(1)2t23,解得t2。22∴所求圓的方程為(x1)2(y2)29。24（2）設(shè)直線的方程為yk(x1)(k0),AB代入x2y21,整理得(12k2)x24k2x2k2202∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，記A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)N(x0,y0),則x1x24k22k2,112k21,y0k1,x02(x1x2)2k2k(x01)2k2Q線段ABN在直線xy0上，的中點(diǎn)∴x0y02k2k0,2k212k21∴k0，或k1當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)F不在直2線xy0上?！嘀本€AB的方程是y0,或x2y10.分類題型種類一：三角形面積例1：已知橢圓C:x2y21（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，且長軸長a2b2是短軸長的2倍.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與直線ykx1訂交于兩個(gè)不一樣的點(diǎn)A,B，線段AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為1，求△OAB的面積.例1：解：（Ⅰ）由題意c1,a2b，又a2b21，所以b21，a22所以橢圓的方程為x2y2124分.（Ⅱ）設(shè)A(0,1)，B(x1,y1)，P(x0,y0)，x22y22,聯(lián)立ykx1消去y得(12k2)x24kx0（*），6分x4kx14k解得x12k212k20或，所以，22k2所以B(4k2,12k2)P(,12)8分12k12k，12k12k，111由直線OP斜率為1，則2kk，解得2（知足（*）式鑒別式大于零）10分l:y11225x2(y12O到直線2的距離為5，所以ABx11)3，1222所以△OAB的面積為2353.513分練習(xí)1：已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過點(diǎn)M(2，0)的直線l與圓x2y21交于P，Q兩點(diǎn)．uuuruuur1，求直線l的方程；（I）若OPOQ2（Ⅱ）若OMP與OPQ的面積相等，求直線l的斜率．練習(xí)1：解：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(2,0)，可設(shè)直線l：yk(x2)．P、Q兩點(diǎn)在圓x2y21上，所以u(píng)uuruuur1，因?yàn)镺POQuuuruuur1uuuruuuruuuruuur1因?yàn)镺POQ，所以O(shè)POQOPOQcosPOQ2所以O(shè)到直線l的距離等于1．2所以POQ1202所以|2k|1，得k15k21215所以直線l的方程為x15y20或x15y206分uuuuruuur（Ⅱ）因?yàn)镺MP與OPQ的面積相等，所以MQ2MP，uuuur(x2,yuuur(x2,y)．設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，所以MQ2)，MP211所以x222(x12)x22(x11)（*）；y22y1即y22y1因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)在圓上，所以x12y121x22y221x12y121x17，把（*）代入，得，所以84(x11)24y12115．y18所以直線l的斜率kkMP15，即k15.13分99種類二：與圓的知識(shí)聯(lián)合例2：已知橢圓x2y21(ab0)的長軸為4，且點(diǎn)(1,3)在該橢圓上。a2b22I）求橢圓的方程；II）過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程。例2：解：（Ⅰ）由題意：2a4，a2．所求橢圓方程為x2y21．4b2又點(diǎn)(1,3)在橢圓上，可得b1．所求橢圓方程為x2y21．5分24（Ⅱ）由（Ⅰ）知a24,b21，所以c3，橢圓右焦點(diǎn)為(3,0)．因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以u(píng)uuruuur0．OAOB若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為x3．直線AB交橢圓于(3,1),(3,uuuruuur310，不合題意．1)兩點(diǎn)，OAOB224若直線AB的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為yk(x3)．由yk(x3),可得(14k2)x283k2x12k240．x24y240,因?yàn)橹本€AB過橢圓右焦點(diǎn)，可知0．2224，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x283k2,x1x212k4k14k1y1y2k2(x13)(x23)k2[x1x23(x1x2)3]1k2．4k2uuuruuury1y212k24(k22)11k24所以O(shè)AOBx1x214k24k14k2．1uuuruuur0，即11k24k24,k211．0，可得由OAOB14k21111所以直線l方程為y211(x3)．14分11練習(xí)2：已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，短軸長為23．（Ⅰ）求橢圓

C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線

l：

y

kx

mk

0

與橢圓交于不一樣的兩點(diǎn)

M、N（M、N不是橢圓的左、右極點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右極點(diǎn)

A．求證：直線

l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．練習(xí)2：解:（Ⅰ）設(shè)橢圓的長半軸為a，短半軸長為b，半焦距為c，則2c2,a2,2b23,解得∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為b3,a2b2c2,x2y214分43Ⅱ）由方程組x2y21消去y，得34k2x28kmx4m2120643ykxm分由題意△2434k24m2120，整理得：34k2m20①8km7分設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，則x1x28km，x1x24m212．834k234k2分由已知AMAN，且橢圓右極點(diǎn)為A(2,0)∴x12x22y1y2010分即1k2x1x2km2x1x2m240，也即1k24m212km28kmm240，34k234k2整理得7m216mk4k20．解得m2k或m2k，均知足①11分7當(dāng)m2k時(shí)，直線l的方程為ykx2k，過定點(diǎn)(2,0)，不切合題意舍去；當(dāng)m2k時(shí)，直線l的方程為ykx2，過定點(diǎn)(2,0)，777故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0)．13分(7種類三：中點(diǎn)問題例3：若橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為3.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,求直線MF1的斜率k的取值范圍.例3：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為x2y21(ab0)1分a2b2a2c由ac3a23,c3,b3.4分a2b2c2所以，橢圓C的方程為x2y21.○5分129(Ⅱ)F1(3,0)、F2(3,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為F2，直線MF1的斜率k0；6分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為m，直線AB的方程為ym(x3)○7分由○○聯(lián)立消去y并整理得：(342)x2832x12m2360mm43m2m(x03)33m設(shè)M(x0,y0)，則x04m2,y034m210分3當(dāng)m0時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MF1的斜率k0；11分當(dāng)my03m，0時(shí)，k38m2x03|k|3|m|1168m23818|m|182|m|3|m|3|m|6k60.13分8且k8MF1的斜率k的取值范圍是[6614分綜上所述，直線8,].8練習(xí)3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,1)的距離比點(diǎn)P到x軸的距4離大1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l:ykx1交曲線C于A,B兩點(diǎn)，M是4線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）證明：曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；（Ⅲ）若曲線C上存在對(duì)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍．（Ⅰ）解：由已知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,11)的距離與P到直線y的距離相等．44由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以(0,1)為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的44拋物線．所以曲線C的方程為yx2．3分（Ⅱ）證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)．2由yx,得x2kx10．所以x1x2k，x1x21．ykx1,設(shè)M(x0,y0)，則x0k．因?yàn)镸Nx軸，所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為k．22由yx2，可得y'2x所以當(dāng)xk時(shí)，y'k．2所以曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率為k，與直線AB平行．8分（Ⅲ）解：由已知，1xb．k0．設(shè)直線l的垂線為l'：yk代入yx2，可得x21xb0（*）k若存在兩點(diǎn)D(x3,y3),E(x4,y4)對(duì)于直線l對(duì)稱，則x3x41，y3y412b22k22k又(x3x4,y3y4)在l上，所以1bk(1)1，b11．222k22k22k2由方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根所以(1)24b0，即1220kk2k2所以12，解得k2或k2．13分k222種類四：與向量知識(shí)聯(lián)合例4：已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為（3，0），右極點(diǎn)為（2，0）.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l:ykx2與橢圓C恒有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)A和B，且OA?OB2(此中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.解：（1）由題意可得：a2,c3ba2c243=1所求的橢圓方程為：x2y214（2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)x2y21得：(1k2)x222kx10由4ykx24x1x222k,x1x21（*）(22k)24?(1k2)0121k24k44解得：k1或k122由OA?OB2可得：x1x2y1y22，即x1x2(kx12)(kx22)2整理得：(1k2)x1x22k(x1x2)0把（*）代入得：(1k21(22k)412k20)?12k?0即：2k21k214k44解得：3k333綜上：k的取值范圍是：-3k1或1k33223練習(xí)4：在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：x2y21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為a2b2F1、F2.此中F2也是拋物線C2：24x的焦點(diǎn)，點(diǎn)12yM為C與C在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|5.3（1）求C1的方程；uuuuruuuuruuuur（2）平面上的點(diǎn)N知足MNMF1MF2，直線l∥MN，且與C交于A、B兩點(diǎn)，uuuruuur1若OA·OB=0，求直線l的方程。5

C

e

3

3,02I

CII

l:y

1x

m

C

AB

AB

x2T

m

TABC2y24xF2(1，0)15522611MC2MF2x11x1y33133481，MC1C1c19a23b25b2a21.b29a437a240a2a13C1x2y21743uuuuruuuuruuuurOMF1MF2MNMF1NF226l∥MNlOMlk3623ly6(xm)83x24y212，216mx8m24010y9xy6(xm)，A(x1，y1)B(x2，y2)x1x216mx1x28m24.1199uuuruuurOAOBx1x2y1y20x1x2y1y2x1x26(x1m)(x2m)7x1x26m(x1x2)6m278m246m16m6m21(14m228)012999m2(16m)249(8m24)0ly6x23y6x2314ICx2y21(ab0)a2b2Qc3,ec3a2,:3b2a2c21,4a2Cx2y2145IIx2y21得x24(1xm)24,即x22mx2m22041xm令2y0,得84m20,2m2.LLLL7分2Ax1,y1,Bx2,y2ABMx0,y0x1x22m,x1x22m22ABx22y22x1y15x1x224x1x252m294111x02x1x2m,y02x0m2m,M1m10m,2設(shè)Tt,0,1QMTAB,kMTkAB02m11tm2解得t3m,T3m,04411|MT|1m21m25|m|.1644STAB1|AB||MT|15(2m2)5|m|2245(m21)21.1382m2m21m1STAB5.148Ix2y21得x21m)2即22mx2m220II由44(x4,x12y令0,得84m20,2m分2Ax1,y1,Bx2,y2ABMx0,y0x1x22m,x1x22m228x1xxm,y1xm1m,02120202m,1m2MTABMTy2x3m2y0x3mT3m,044

109ABxR,R2m,0|TR|5|m|.114STAB1|TR||y1y2|1|TR||x1x2|241|TR|(x1x2)24x1x245m2(2m2)5m2(2m2)5,138828m21m1STAB5.148種類六：存在性問題已知雙曲線中，c5，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點(diǎn).a2(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)在雙曲線右支上能否存在一點(diǎn)P，使F1PF2，此中F1、F2分別為雙曲線的左右3焦點(diǎn)，若存在求PF2的值，若不存在，請(qǐng)說明原因答案：解：(Ⅰ)x2－y2＝1（Ⅱ）2224(2007廣東文19)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為22的圓C與直線yx相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓x2y2＝1與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和a29C為10．求圓C的方程.嘗試究圓C上能否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長。若存在，懇求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明原因．:(1)C(m,n)mnm2則解得2ng222n所求的圓的方程為(x2)2(y2)28略（2008廣東理）設(shè)b0，橢圓方程為x2y21，拋物線方程為x28(yb)．如圖42b2b2所示，過點(diǎn)F(0，b2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F1．（1）求知足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，嘗試究在拋物線上能否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)并說明原因（不用詳細(xì)求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．解：（1）由x28(yb)得y1x2b，8當(dāng)yb2得x4，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,b2)，y'1x，y'|x41，4過點(diǎn)G的切線方程為y(b2)x4即yxb2，令y0得x2b，F(xiàn)1點(diǎn)的坐標(biāo)為(2b,0)，由橢圓方程得F1點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,0)，2bb即b1，即橢圓和拋物線的方程分別為x2y21和x28(y1)；22QA作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P,以PAB為直角的RtABP只有一（）過個(gè)，同理以PBA為直角的RtABP只有一個(gè)。若以APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,1x21)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)和8(2,0)，uuuruuur21221452g1)x10。4864對(duì)于x2的二次方程有一大于零的解，x有兩解，即以APB為直角的RtABP有兩個(gè)，所以拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得ABP為直角三角形。種類七：軌跡方程問題例題：已知AF1F2的周長為6，點(diǎn)F1(1,0),F2(1,0)。（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F1且斜率為1的直線與點(diǎn)A的軌跡C交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求POQ的面積。答案：(Ⅰ)x2y21（II）62437高考鏈接（一）小題1、（2007廣東理

11）在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，有必定點(diǎn)

A(2，1)，若線段

OA的垂直均分線過拋物線

y2

2px(p

0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是2、（2008廣東理

11）經(jīng)過圓

x2

2x

y2

0的圓心

C，且與直線

x

y0垂直的直線方程是．33、（2009廣東理11）巳知橢圓G的中心在座標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為2，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為__________________．4、（2010廣東理12）若圓心在x軸上、半徑為2的圓O位于y軸左邊，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是5、（2012廣東理12）曲線y=x3-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為。（二）解答題：理科1、(2007廣東理18)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為22的圓C與直線yx相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓x2y2＝1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．a(chǎn)29求圓C的方程.(2)嘗試究圓C上能否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長。若存在，懇求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明原因．2、(2008廣東理18)設(shè)b>0，橢圓方程為x2y21，拋物線方程為x28(yb)，如圖4所示，過點(diǎn)F(0,b+2)2b2b2作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦G點(diǎn)．求知足條件的橢圓方程和拋物線方程；設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，嘗試究在拋物線上能否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)并說明原因．（不用詳細(xì)求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）3、(2009廣東理19)已知曲線C：yx2與直線l：xy20交于兩點(diǎn)A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB，記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面地區(qū)（含界限）為D，設(shè)點(diǎn)P(s,t)是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合，若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若曲線G：x22axy24ya2510與D有公共點(diǎn)，試求a的最小值．254、(2010廣東理20)已知雙曲線x2y21的左、右極點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x1,y1)是雙曲線上不2同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；(2)若過點(diǎn)H(0,h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1l2，求h的值．5、(2010廣東理21)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離(A,B)為：(A,B)x2x1y2y1，對(duì)于平面xOy上給定的不一樣兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，(1)若點(diǎn)C(x,y)是平面xOy上的點(diǎn)，試證明：(A,C)(C,B)(A,B)；在平面xOy上能否存在點(diǎn)C(x,y)，同時(shí)知足①(A,C)(C,B)(A,B)；②(A,C)(C,B)若存在，懇求出全部切合條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)予以證明．6、(2011廣東理19)設(shè)圓C與兩圓(x5)2y24，(x5)2y24中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．求C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)M(35,45)，F(xiàn)(5,0)，且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求MPFP的最大值及此時(shí)點(diǎn)P55的坐標(biāo)．7、(2011廣東理21)在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L：y1x2．實(shí)數(shù)p，q知足p24q0，x1，x24是方程x2pxq0的兩根，記(p,q)max{x1,x2}．(1)過點(diǎn)A(p0,1p02)(p00)作L的切線交y軸于點(diǎn)B．證明：對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)4Q(p,q)，有(p,q)p0；2(2)設(shè)M(a,b)是定點(diǎn)，此中a，b知足a24b0，a0，過M(a,b)作L的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為E(p1,1p12)，E(p2,1p22)，l1，l2與y軸分別交于F，F(xiàn)．線段EF上44異于兩頭點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M(a,b)Xp1p2(a,b)p1；2(3)設(shè)D{(x,y)yx1,y1(x1)25}．當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí)，求(p,q)的最小值44(記為min)和最大值(記為max)．8、（2012廣東理20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2y21(ab0)的離心率e=2C1：2b2，且橢圓Ca3上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3.1）求橢圓C的方程；2）在橢圓C上，能否存在點(diǎn)M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1訂交于不一樣的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明原因。文科1、（2013年文科20題）已知拋物線C的極點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F0,cc0到直線l:xy20的距離為32．設(shè)2P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB，此中A,B為切點(diǎn)．求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)Px0,y0為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上挪動(dòng)時(shí)，求AFBF的最小值．d0c23222，解得c1（負(fù)根舍去）【分析】（1）依題意拋物線C的方程為x24y；2）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，P(x0,y0)，4y,即y12,得y1由x24x2x.yy1x1(xx1)∴拋物線C在點(diǎn)A處的切線PA的方程為2，yx1xy11x12即22.12yx1xy1∵y14x12，∴.∵點(diǎn)P(x0,y0)在切線l1上,y0x1x0y1.∴2①y0x2x0y2同理，2.②A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)都知足方程y0xx0y.綜合①、②得，點(diǎn)2∵經(jīng)過A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的直線是獨(dú)一的，∴直線AB的方程為y0xx0y，即x0x2y2y00；2（3）由拋物線的定義可知AFy11,BFy21，所以AFBFy11y21y1y2y1y21x24y0，消去x得y2x022聯(lián)立x0x2y2y02y0yy00，y1y2x022y0,y1y2y02Qx0y020AFBFy022y0x021=y022y0y02212=2y022y0+5=2y01+922y019當(dāng)2時(shí)，AFBF獲得最小值為22、（2012年文科20題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C1:x2y21(ab0)的左焦點(diǎn)F1(1，a2b20)，且在P(0，1)在C1上。（1）求C1的方程；（2）設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y24x相切，求直線l的方程【分析】（1）由題意得：b1,ca2b21a2,bc1x2y21故橢圓C1的方程為：2（2）①設(shè)直線l:xm，直線l與橢圓C1相切m2直線與拋物線C2:y24x相切m0，得：m不存在②設(shè)直線l:ykxm直線l與橢圓C1相切(12k2)x24kmx2m220兩根相等10m22k21直線與拋物線C2:y24x相切k2x22(km2)xm20兩根相等20km1k2,m2k2,m2l:y2(x2)解得：2或223、（2011年文科21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:x2交x軸于點(diǎn)AP是l上一點(diǎn)，M是線段OP，設(shè)的垂直均分線上一點(diǎn)，且知足∠MPO=∠AOP（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）已知T（1，-1）