優(yōu)選教案：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 均值不等式及其應(yīng)用

2.2不等式《2.2.4均值不等式及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理．2．能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理求最值．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1．均值不等式定理的證明和應(yīng)用．2．會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。﹩栴}．教學(xué)難點(diǎn)：注意運(yùn)用定理求最大（小）值的條件課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程一、整體概述問題1：閱讀課本第71~75頁(yè)，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)將要研究均值不等式及其應(yīng)用．（2）起點(diǎn)是不等式的性質(zhì)以及比較法，目標(biāo)是知道均值不等式，會(huì)證明均值不等式定理，會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。﹩栴}．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)．設(shè)計(jì)意圖：通過閱讀讀本，讓學(xué)生明晰本階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、探索新知1．情境與問題問題1：給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值，實(shí)質(zhì)上是這兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？?jī)蓚€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值之間有什么相對(duì)大小關(guān)系呢？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）假設(shè)一個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，求與這個(gè)矩形周長(zhǎng)相等的正方形的邊長(zhǎng)，以及與這個(gè)矩形面積相等的正方形的邊長(zhǎng)，并比較這兩個(gè)邊長(zhǎng)的大?。唬?）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測(cè)一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對(duì)大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)12b14131師生活動(dòng)：學(xué)生完成上述問題，從具體實(shí)例中可以看出，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值．教師總結(jié)．2．探究新知知識(shí)點(diǎn)1均值不等式均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．師生活動(dòng)：學(xué)生證明，教師指點(diǎn)！證明因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以，即．而且，等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b．教師點(diǎn)評(píng)：值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正實(shí)數(shù)，因此我們可以代入任意滿足條件的數(shù)或式子，比如一定是正確的．設(shè)計(jì)意圖：均值不等式的證明不是太難，放手讓學(xué)生自己證明，這樣既能較好地復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)和證明方法，又能幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解定理中等號(hào)成立的條件．其證明方法還可能是綜合法、分析法和反證法等．綜合法證明如下：因?yàn)椋?，所以．即．又因?yàn)閍>0，b>0，所以，即．顯然，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．知識(shí)點(diǎn)2均值不等式的幾何意義問題2：均值不等式也稱為基本不等式（基本不等式中的a，b還可以為零），其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？師生活動(dòng)：與學(xué)生一起探討：將均值不等式兩邊平方可得．如果矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，可以看成與矩形周長(zhǎng)相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個(gè)幾何意義為：所有周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大．【想一想】你能推廣這個(gè)結(jié)論嗎？比如所有周長(zhǎng)相等的三角形中，什么樣的三角形面積最大？平面上，周長(zhǎng)相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？預(yù)設(shè)的答案：正三角形，圓設(shè)計(jì)意圖：通過類比可以發(fā)現(xiàn)新的問題，得到新的結(jié)論．類比思想是我們學(xué)習(xí)過程中常用的合情推理！問題3：如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC=a，BC=b，D為半圓上一點(diǎn)，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個(gè)幾何意義？師生活動(dòng)：與學(xué)生一起探討：在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得，又，由圖可知，所以，變形為．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個(gè)圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．三、初步應(yīng)用例1（1）已知x>0，求的最小值，并說明x為何值時(shí)y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y=（1+x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值時(shí)x的值．（3）求函數(shù)y＝x（1－x），的最大值．師生活動(dòng)：與學(xué)生一起探討如何利用均值不等式求最值，教師書寫規(guī)范解答．預(yù)設(shè)的答案：解：（1）因?yàn)閤>0，所以根據(jù)均值不等式有其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即x2=1，解得x=1或x=－1（舍）．因此x=1時(shí)，y取得最小值2．（2）當(dāng)x∈（－1，3）時(shí)，一1<x<3，因此1+x>0，3一x>0．由均值不等式可得．從而（1+x）（3－x）≤4，即y≤4．當(dāng)且僅當(dāng)1+x=3－x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立．從而x=1時(shí)，y取得最大值4．（3）錯(cuò)解：由，易知1－x>0，從而．所以y的最大值為．正解：，當(dāng)時(shí)，．設(shè)計(jì)意圖：通過該例說明可利用均值不等式求一類函數(shù)最值．方法總結(jié)：（1）在利用均值不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均為正數(shù)；二定，不等式一邊為定值；三相等，不等式中的等號(hào)能取到，即a=b有解．（2）兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．（3）利用均值不等式求最值時(shí)，等號(hào)必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號(hào)不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．例2（1）已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)為36，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？師生活動(dòng)：師生一起分析：在（1）中，矩形的長(zhǎng)與寬的積是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬之和的兩倍的最小值；在（2）中，矩形的長(zhǎng)與寬之和的兩倍是一個(gè)常數(shù)，要求長(zhǎng)與寬的積的最大值．教師書寫規(guī)范解答．預(yù)設(shè)的答案：解：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為x與y，依題意得xy=100．因?yàn)閤>0，y>0，所以所以2（x+y）≥40．當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，由，可知此時(shí)x=y=10．因此，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都是10時(shí)，它的周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)為40．（2）設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為x與y，依題意得2（x+y）=36，即x+y=18．因?yàn)閤>0，y>0，所以因此，即xy≤81．當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，由，可知此時(shí)x=y=9．因此，當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都是9時(shí)，它的面積最大，最大面積為81．設(shè)計(jì)意圖：通過該例說明如何利用均值不等式求解實(shí)際應(yīng)用問題．方法總結(jié)：求實(shí)際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解．（4）正確地寫出答案．練習(xí)：教科書P76練習(xí)A1，3補(bǔ)充練習(xí)：（1）已知a為大于0的常數(shù)，x>0，求的最小值，并求y取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；（2）已知x<0，求的最大值，并求y取得最大值時(shí)相應(yīng)x的值；（3）已知x>1，求的最小值，并求y取得最小值時(shí)相應(yīng)x的值；（4）已知x<1，求的最大值，并求y取得最大值時(shí)相應(yīng)x的值．師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師完善．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉利用均值不等式求最值．參考答案為：（1）當(dāng)時(shí)，y有最小值為；（2）當(dāng)x＝－1時(shí)，y有最大值為一2；（3）當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為3；（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值為一1．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)1．板