【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)(山東理)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)：9.6雙曲線(含答案解析)

基礎(chǔ)穩(wěn)固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題x2y25，且其右焦點(diǎn)為F1.(2015廣·東卷)已知雙曲線22的離心率e＝42(5，0)，則雙曲線C：a－b＝1C的方程為()x2－y2＝1B.x2－y2＝1A.439162222x－y＝1D.x－y＝1C.16934c52分析由于所求雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(5，0)且離心率為e＝a＝4，因此c＝5，a＝4，b＝22c2－a2＝9，因此所求雙曲線方程為x－y＝1，應(yīng)選C.169答案Cx2y2π，則雙曲線2.(2016南·昌模擬)若雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線傾斜角為6C的離心率為()2323A.2或3B.3C.2或3D.2分析由題意b＝3b2c2－a2123a3，∴2＝2＝，e＝，aa33應(yīng)選B.答案B3.(2015天·津卷)已知雙曲線x2y2(2，3)，且雙曲線的2－2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)ab一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝47x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()x2－y2＝1B.x2－y2＝1A.212828212222C.x－y＝1D.x－y＝13443分析雙曲線x2y2的漸近線方程為b(2，3)，因此2b2－2＝1y＝±x，又漸近線過點(diǎn)＝3，abaa即2b＝3a，①拋物線y2＝47x的準(zhǔn)線方程為x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即a2＋b2＝7，②聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，x2y2所求雙曲線的方程為4－3＝1，選D.答案D24.(2015全·國(guó)Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是雙曲線C：x－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，2→→)若MF1·MF2<0，則y0的取值范圍是(A.－3，3B.－3，33366C.－22，22D.－23，233333分析由題意知a＝2，b＝1，c＝3，不如設(shè)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，→→3－x0，－y0).因此MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(→→22233∵M(jìn)F1·MF2＝x0－3＋y0＝3y0－1＜0，因此－3<y0<3.應(yīng)選A.答案A5.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：x224＋y＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()36A.2B.3C.2D.2分析|F1F2|＝23.設(shè)雙曲線的方程為x2y22－2＝1(a＞0，b＞0).ab|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2，c36∴a＝2，∴e＝a＝2＝2.應(yīng)選D.答案D二、填空題6.已知F為雙曲線C：x2－y2＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2916倍，點(diǎn)A(5，0)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為________.x2y2分析由9－16＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.|PQ|＝4b＝16>2a.又∵A(5，0)在線段PQ上，∴P，Q在雙曲線的右支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，|PF|－|PA|＝2a＝6，由雙曲線定義知|QF|－|QA|＝2a＝6，|PF|＋|QF|＝28.∴△PQF的周長(zhǎng)是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.答案44227.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－y2＝1(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，ab若邊MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是________.分析由于MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2為正三角形，邊長(zhǎng)都是c＝2＝3＋1.2c，因此3c－c＝2a，因此e＝a3－1答案3＋1x2y2(2016·萊西一中模擬)過雙曲線C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為________.分析如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，將點(diǎn)P的橫坐22標(biāo)2a代入xy222－2＝1中，得y＝3b，ab不如令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，－3b)，3bb此時(shí)kPF2＝＝，獲得c＝(2＋3)a，即雙曲線C的離心率e＝ca＝2＋3.答案2＋3三、解答題9.(2016江·南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在座標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)P(4，－10).求雙曲線的方程；→→＝0.(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：·MFMF12解∵e＝2，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0).∵雙曲線過點(diǎn)(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線的方程為x2－y2＝6.(2)證明法一由(1)可知，a＝b＝6，c＝23，∴F1(－23，0)，F(xiàn)2(23，0)，∴kMF1＝m，kMF2＝m，3＋23－233kMF1·kMF2＝m2＝－m212.∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，9－39－m2＝6，m2＝3，→→2＝0.故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF法二由(1)可知，a＝b＝6，∴c＝23，F(xiàn)1(－23，0)，F(xiàn)2(23，0)，→→MF1＝(－23－3，－m)，MF2＝(23－3，－m)，→→＝(3＋23)×(3－22∴MF1·MF223)＋m＝－3＋m，∵點(diǎn)M(3，0)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，→→＝0.∴MF1·MF210.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為23.求雙曲線C的方程；若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線段AB的垂直均分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍.解(1)設(shè)雙曲線x2y2C的方程為2－2＝1(a>0，b>0).ab由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，x22∴雙曲線C的方程為3－y＝1.(2)設(shè)A(xA，yA)、B(xB，yB)，將y＝kx＋2代入x2222－62kx－9＝0.3－y＝1，得(1－3k)x1－3k2≠0，36（1－k2）>0，由題意知62k解得3xA＋xB＝1－3k2<0，3<k<1.9AxB＝1－3k2>0，∴當(dāng)33<k<1時(shí)，l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn).由(2)得：xA＋xB＝62k2，1－3k∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)2k(xA＋xB)＋22＝1－3k2.∴AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為32k，21－3k21－3k2.1設(shè)直線l0的方程為：y＝－kx＋m，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程，得m＝422.1－3k∵323<k<1，∴－2<1－3k<0.∴m<－22.∴m的取值范圍為(－∞，－22).能力提高題組(建議用時(shí)：20分鐘)2211.(2016柳·州、北海、欽州三市聯(lián)考)已知雙曲線x2－y2＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有一ab個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|＝5，則雙曲線的漸近線方程為()A.x±2y＝0B.2x±y＝0C.x±3y＝0D.3x±y＝0分析2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，準(zhǔn)線方程為直線x＝－2，∵雙曲線x2y2拋物線y22a－b＝1(a＞0，b＞0)與拋物線y2＝8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，則雙曲線的半焦距c＝2，∴a2＋b2＝4①，又∵|PF|＝5，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，代入拋物線y2＝8x得y＝±26，則P(3，±26)，∵924x2y2點(diǎn)P在雙曲線上，則有a2－b2＝1②，聯(lián)立①②，解得a＝1，b＝3，∴雙曲線a2－b2＝1的漸近線方程為y＝±3x.答案D2212.(2016太·原二模)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直ab線l與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)A，B，若|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，則雙曲線的離心率為()6＋3B.6＋3A.2C.5＋22D.5＋222分析∵|AB|＝|AF2|，∠F1AF2＝90°，∴|BF2|＝2|AF2|.又由雙曲線的定義知|BF1|－|BF2|2a，∴|AF1|＋|AB|－2|AF2|＝2a，即|AF1|＋(1－2)·|AF2|＝2a.又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2(22)a，|AF1|＝2(1＋2)a.在Rt△AF1F2中，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即[2(2＋2)a]2＋[2(1＋2)a]222c＝(2c)，∴2＝9＋62，∴e＝9＋62＝6＋3.應(yīng)選B.答案Bx2y213.(2014浙·江卷)設(shè)直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m，0)知足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是________.x－3y＋m＝0，am，bm得點(diǎn)A的坐標(biāo)為分析由b3b－a3b－a，y＝ax，x－3y＋m＝0，－am，bm由b得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，y＝－ax，3b＋a3b＋aa2m3b2m則AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為9b2－a2，9b2－a2，3b2m而kAB＝1，由|PA|＝|PB|，可得AB的中點(diǎn)C與點(diǎn)P連線的斜率為－9b2－a23，即kCP＝23am9b2－a2－m＝－3，化簡(jiǎn)得b21a＝，4b215因此雙曲線的離心率e＝1＋a＝1＋4＝2.答案52x2y2y＝3x，右14.(2016蘭·州診療)已知曲線C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程為ab2焦點(diǎn)F到直線x＝a的距離為3c2.求雙曲線C的方程；(2)斜率為

1且在

y軸上的截距大于

0的直線

l與雙曲線

C訂交于

B、D

兩點(diǎn)，已知

A(1，→→0)，若DF·BF＝1，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.解依題意有b＝3，c－a2＝3，ac2∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，22y∴雙曲線C的方程為x－＝1.證明設(shè)直線l的方程為y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點(diǎn)為M，y＝x＋m，由2得2x2－2－3＝0，2－y＝12mx－mx3∴x1＋x2＝m，x