第二十一講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用原卷版

第二十一講：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考點梳理】1.法向量的求解=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．第三步：化解方程組令其中一個為1，求其它兩個值.2.判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．3.平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．4.空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．5.點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．【典型題型講解】考點一：直線與平面所成的角【典例例題】例1．（2022·廣東茂名·一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，.(1)證明：；(2)若三角形AED為等邊三角形，PA=AD=6，F(xiàn)為PB上一點，且，求直線EF與平面PAE所成角的正弦值.【方法技巧與總結(jié)】設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東惠州·一模）如圖1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E為AD的中點，連結(jié)BE，AC交于F，將△ABE沿BE折疊，使得平面ABE⊥平面BCDE（如圖2）.(1)求證：AF⊥CD；(2)求平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求證：平面平面ACD；(2)若，，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.3．（2022·廣東汕頭·一模）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，P是線段上一點.(1)是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(2)當(dāng)為何值時，直線與面所成的角的正弦值最大.考點二：二面角【典例例題】例1．（2021·廣東佛山·一模）某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長為3，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻折后，點E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．(1)證明底面；(2)設(shè)點T為BC上的點，且二面角的正弦值為，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·一模）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.2．（2022·廣東湛江·一模）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，四邊形是菱形，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.3．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點．(1)求證：平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時，求二面角N-AE-B的余弦值．4．（2022·廣東廣東·一模）如圖，在四棱錐中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分別是AB，AD的中點．(1)證明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角的大小為60°，求四棱錐的體積．5．（2022·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，是以為斜邊的等腰直角三角形，為中點，.(1)求證：；(2)點為棱上一點，若，求二面角的余弦值.6.如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點E是線段BC（包括端點）上的動點．（1）探究點E位于何處時，平面平面PED；（2）設(shè)二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：考點三：點到平面距離【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）已知圓錐的底面半徑為2，母線長為，點C為圓錐底面圓周上的一點，O為圓心，D是的中點，且．（1）求三棱錐的表面積；（2）求A到平面的距離．例2.在正方體中，E為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱上的動點．（1）點H在棱BC上，當(dāng)時，平面，試確定動點F在棱上的位置，并說明理由；（2）若，求點D到平面AEF的最大距離．【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，平面的法向量為，點是平面內(nèi)一點，點是平面外的任意一點，則點到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對值，即或【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東梅州·二模）如圖①，在直角梯形中，，，，，?分別是，的中點，將四邊形沿折起，如圖②，連結(jié)，，.(1)求證：；(2)當(dāng)翻折至?xí)r，設(shè)是的中點，是線段上的動點，求線段長的最小值.2.如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且．（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．3.如圖，矩形和梯形，，平面平面，且，過的平面交平面于．（1）求證：與相交；（2）當(dāng)為中點時，求點到平面的距離：4.某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．【鞏固練習(xí)】一、單選題1．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方體的棱長為a，E是棱的動點，則下列說法正確的（

）個．①若E為的中點，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點時，直線與平面所成的角正切值為④過點，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，，則下列說法正確的是（

）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為B．若平面的法向量，則直線平面C．若，分別為平面，的法向量，則平面平面D．點到直線的距離為3．直三棱柱，中，，，點D是線段上的動點（不含端點），則（

）A．平面B．與不垂直C．的取值范圍為D．的最小值為三、填空題4．如圖，在棱長為的正方體中，點為棱的中點，點為底面內(nèi)一點，給出下列三個論斷：①；②；③．以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：___________．5．如圖，在正方體中，分別為棱，的中點，則與平面所成角的正弦值為___________．四、解答題6．如圖，在三棱柱中，，．（1）證明：平面平面．（2）設(shè)P是棱的中點，求AC與平面所成角的正弦值．7．如圖，ABCD是邊長為6的正方形，已知，且并與對角線DB交于G，H，現(xiàn)以ME，NF為折痕將正方形折起，且BC，AD重合，記D，C重合后為P，記A，B重合后為Q．（1）求證：平面平面HGQ；（2）求平面GPN與平面GQH所成二面角的正弦值．8.如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四邊形是正方形．（1）指出棱與平面的交點E的位置（無需證明），并在圖中將平面截該