放射性廢料的處理問(wèn)題

核廢料的處理單位：解放軍理工大學(xué)氣象學(xué)院組員：楊平呂劉祥余彭新偉日期：2008年8月5日核廢料的處理摘要本文通過(guò)對(duì)物體所受阻力與物體運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系的分析，通過(guò)加速度與物體受力關(guān)系、速度與加速度關(guān)系、速度與時(shí)間的關(guān)系、距離與時(shí)間的關(guān)系，找出了距離與速度的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立了物體運(yùn)動(dòng)的模型，通過(guò)具體計(jì)算解決了核廢料投入海底的安全隱患，分析了圓桶在阻力與速度比例關(guān)系不同時(shí)，圓桶的運(yùn)動(dòng)狀況，將模型應(yīng)用于火車行駛的過(guò)程中，討論了火車運(yùn)動(dòng)上限的問(wèn)題。在求解第一問(wèn)——關(guān)于核廢料投入海底的安全性問(wèn)題，我們利用上述各種關(guān)系，建立了微分方程，并用Mathematica軟件對(duì)方程進(jìn)行了求解，并作出了下降時(shí)速度與時(shí)間的圖像，以及距離與時(shí)間的圖像，當(dāng)阻力與速度成正比，比例為常數(shù)時(shí)，帶入具體數(shù)值后得到了圓桶下降到海底時(shí)的速度大小為，此速度大于題中所給的的速度，因此圓桶會(huì)因?yàn)樽矒羲俣忍螅淙牒５讜r(shí)發(fā)生破裂，從而我們的出結(jié)論這種將核廢料裝入圓桶投入海底的處理核廢料的方法存在很大的安全隱患，所以生態(tài)學(xué)家的擔(dān)心是正確的，美國(guó)原子能委員會(huì)應(yīng)該尋找其他處理核廢料的方法確保不會(huì)發(fā)生核污染。在第二個(gè)問(wèn)題中，考慮到了比例常數(shù)與速度的關(guān)系。阻力為時(shí)，我們利用與第一問(wèn)相同的計(jì)算公式進(jìn)行求解，利用Mathematica軟件計(jì)算出了這種情況下圓桶速度不超過(guò)的條件下，圓桶所下沉的深度和下沉的時(shí)間，下沉深度為，下沉?xí)r間為。在討論第三個(gè)問(wèn)題——火車行駛速度上限問(wèn)題時(shí)，因?yàn)樗拿芏缺瓤諝獾拇螅虼怂凶枇εc速度的比例常數(shù)要比空氣中的大，但不影響模型在這個(gè)問(wèn)題上的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)公式的分析以及第一問(wèn)中圖形的觀察，我們得到的結(jié)論是當(dāng)火車牽引力一定時(shí)行駛速度有上限，不能無(wú)限增大，要使火車速度不斷增大，就要不斷增大火車牽引力，而實(shí)際生活中火車牽引力是不可能無(wú)限增大。通過(guò)建立合理的模型和對(duì)條件的合理假設(shè)，我們解決了核廢料處理中的污染問(wèn)題，合理解釋了火車行駛中速度上限的問(wèn)題，可以利用這種模型對(duì)類似的其它問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，例如傘兵跳傘速度問(wèn)題和飛機(jī)飛行問(wèn)題等。一、問(wèn)題重述放射性材料的處理在國(guó)際上一直一來(lái)是一個(gè)很棘手的問(wèn)題。由于廢料具有反射性，如果處理不當(dāng)，會(huì)給生態(tài)環(huán)境帶來(lái)很大的威脅。各個(gè)國(guó)家的生態(tài)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題非常關(guān)注，都在努力地尋求一種可靠有效的處理方法。美國(guó)原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料的方法時(shí)把它們裝在密封的圓桶里，再扔到水深90多米的海底。生態(tài)專家擔(dān)心圓桶沉至水底時(shí)與海底發(fā)生碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。而美國(guó)原子能委員會(huì)分辨說(shuō)這是不可能的。工程師做過(guò)實(shí)驗(yàn)得到當(dāng)圓桶下沉速度超過(guò)與海底相撞時(shí)，可能發(fā)生破裂，從而造成污染。為避免破裂，專家計(jì)算沉到海底時(shí)的速度是多少。若,則說(shuō)明這種方法是安全可靠的。否則就應(yīng)該停止這種方法來(lái)處理放射性廢料。當(dāng)阻力與速度的比值與速度有關(guān)，即為時(shí)，結(jié)果又是怎樣，求出安全條件下圓桶能夠到達(dá)的深度與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。將此模型應(yīng)用到火車行駛問(wèn)題上，考慮空氣對(duì)火車的阻力與火車速度的關(guān)系，假設(shè)空氣中物體運(yùn)動(dòng)的速度與所受到的阻力仍成正比，考慮比例系數(shù)與水中的差別，判斷火車行駛上限問(wèn)題。二、問(wèn)題分析由題目要求可知，將濃縮的放射性廢料投入海中的方法是否安全，關(guān)鍵在于當(dāng)圓桶落到海底時(shí)的速度大小，當(dāng)?shù)竭_(dá)海底的速度小于時(shí)，這種方法就是安全的，當(dāng)?shù)竭_(dá)海底的速度大于時(shí)，就會(huì)因?yàn)閳A桶的破裂而造成核污染。考慮到圓桶下降到海底時(shí)的速度與圓桶所受重力和浮力以及水對(duì)圓桶的阻力有關(guān)，還與圓桶下降深度和時(shí)間有關(guān)，現(xiàn)在要建立數(shù)學(xué)模型，將圓桶所受重力、浮力、水對(duì)圓桶的阻力以及下降距離、時(shí)間和速度聯(lián)系起來(lái)，求出圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度，以此來(lái)判斷將濃縮的放射性廢料放入圓桶扔到海底的處理方法是否正確。對(duì)題目的分析可知，圓桶在下降過(guò)程中可以假設(shè)圓桶所受重力和浮力不變，主要考慮水對(duì)圓桶阻力的變化，由題可知水對(duì)圓桶的阻力與圓桶下降速度成正比，比例系數(shù)為,因此圓桶受到向下的重力和向上的浮力和阻力，當(dāng)重力大于浮力與阻力之和時(shí)圓桶做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重力與浮力阻力之和為零時(shí)圓桶加速度為零，圓桶做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此后阻力大小不變，合力為零，速度達(dá)到最大值，在圓桶所受合力為零之前，圓桶所受合力不斷變小，加速度變小，速度不斷增大，現(xiàn)在要找出下降速度與下降距離的關(guān)系。由物理知識(shí)可知物體在受外力時(shí)產(chǎn)生加速度，即，同時(shí)加速度又是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即，由以上兩個(gè)條件可知圓桶下降時(shí)的速度與圓桶所受重力、浮力、阻力以及下降時(shí)間的關(guān)系，由此可建立一個(gè)關(guān)于圓桶下降速度與圓桶所受重力、浮力、阻力和時(shí)間的微分方程，由于加速度和速度都在變化，所以下降距離可由速度對(duì)時(shí)間的積分求出。在求第二個(gè)問(wèn)題時(shí)，是將第一問(wèn)中的改成，其他條件與第一問(wèn)相同，因此數(shù)學(xué)模型與第一問(wèn)相同，計(jì)算中具體考慮計(jì)算提案件即可求解，第三個(gè)問(wèn)題是將第一個(gè)問(wèn)題的模型應(yīng)用到火車在空氣中前進(jìn)速度的問(wèn)題上，以此來(lái)判說(shuō)明駛速度的上限問(wèn)題，空氣中物體運(yùn)行速度與它所受的空氣阻力仍成正比，與速度的比例常數(shù)要小于水中阻力與速度的比例常數(shù)，在設(shè)空氣中比例常數(shù)時(shí)應(yīng)該比水中的小，由此才能作出合理的結(jié)果。三、條件假設(shè)與說(shuō)明假設(shè)重力加速度，在圓桶下降過(guò)程中為一常量。假設(shè)圓桶投入海中的初始速度為0。假設(shè)海水密度不隨深度變化而改變，在下降過(guò)程中海水中無(wú)劇烈海水流動(dòng)，海水近似為靜止，不考慮其它偶然因素的影響。不考慮海底條件對(duì)圓桶撞擊的影響，即在圓桶速度以大于速度落到海底時(shí)圓桶一定破裂，小于速度時(shí)，圓桶一定不破裂。在將模型用到火車運(yùn)動(dòng)問(wèn)題上時(shí)，假設(shè)火車沿水平面直線運(yùn)動(dòng)，并且在行駛過(guò)程中無(wú)惡劣氣象條件，在行駛路線上空氣密度不發(fā)生變化。假設(shè)火車受到空氣阻力與速度的比例常數(shù)k為定值，與火車形狀無(wú)關(guān),不考慮火車車廂的長(zhǎng)短與多少。假設(shè)火車受到地面阻力為定值，與速度無(wú)關(guān)，火車的最大牽引力為一定值。以上假設(shè)條件使模型建立簡(jiǎn)化，假設(shè)1為對(duì)重力加速度的規(guī)定，在圓桶下降過(guò)程中，重力加速度會(huì)有微小變化，但變化量很小可以認(rèn)為重力加速度為一常量，假設(shè)2為對(duì)圓桶入水時(shí)速度的假設(shè)，因?yàn)闉榱舜_保將放射性廢料扔到海底時(shí)不發(fā)核生污染，在投入海中時(shí)不會(huì)給圓桶加以較大初速度，因此假設(shè)圓桶初速度為0是合理的。假設(shè)3、4是排除了外界環(huán)境的因素的影響，考慮一般情況的結(jié)果。假設(shè)5、6是對(duì)火車行駛中受空氣阻力影響的合理限定。假設(shè)7考慮到火車在地面上行駛，地面可以作為剛體處理，因此火車與地面的摩擦力可以認(rèn)為是與火車速度無(wú)關(guān)的常量，由此而簡(jiǎn)化模型。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)物理含義重力加速度圓桶加速度圓桶質(zhì)量圓桶所受重力圓桶所受浮力圓桶所受阻力圓桶所受合力水的密度圓桶體積圓桶下沉速度圓桶下降深度圓桶受到水的阻力與下降速度的比例常數(shù)火車行駛時(shí)受到空氣的阻力與速度的比例常數(shù)火車牽引力火車行駛速度火車加速度火車質(zhì)量火車受到地面的摩擦力火車受到空氣的阻力五、模型的建立與求解問(wèn)題一的解答根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)，我們利用物理知識(shí)建立了速度與時(shí)間的關(guān)系以及圓桶下降距離和速度時(shí)間的關(guān)系，進(jìn)而可以求出圓桶下降速度與下降距離的關(guān)系，建立方程計(jì)算具體值，根據(jù)假設(shè)條件：由已知得：由題可知：(1)當(dāng)圓桶在水中下沉?xí)r圓桶所受合力為：(2)浮力公式為：(3)圓桶重力為：(4)合力產(chǎn)生的加速度為：（5）加速度與速度關(guān)系為：（6）所以：將（1）、（2）、（3）、(4)式代入可得：（7）由（7）計(jì)算：得到v與t的關(guān)系為：在mathematics中運(yùn)行以下程序（附件1）可得到圓桶速度隨時(shí)間的變化曲線。（如圖1）圖1在mathematics中運(yùn)行以下程序（附件2）：得出：再運(yùn)行（附件3）：可以得到圓桶下降的深度隨時(shí)間的變化曲線。（如圖2）圖2當(dāng)=時(shí)，同過(guò)計(jì)算得：所以當(dāng)圓桶到達(dá)海底時(shí)速度大于，由圖一、二也可直觀看出圓桶到達(dá)海底的速度，圓桶會(huì)被撞碎發(fā)生核污染，因此核廢料不應(yīng)投入海底應(yīng)該考慮其它方法避免核污染。問(wèn)題二的解答當(dāng)，時(shí)：圓桶所受合力為：浮力公式為：計(jì)算得： 在mathematics中運(yùn)行附件4可以得到圓桶下沉速度隨時(shí)間的變化曲線(圖3)和圓桶下沉深度隨時(shí)間的變化曲線（圖4）圖3圖4在Mathematics中代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到：當(dāng)下沉速度為時(shí)，下沉深度達(dá)到速度已，下沉?xí)r間為。問(wèn)題三的解答火車在行駛過(guò)程中，受到牽引力、鐵軌對(duì)火車的摩擦力和空氣對(duì)火車的阻力，火車受到空氣阻力與火車速度成正比比例常數(shù)為，由于空氣密度比海水小的多，所以應(yīng)比k小。火車加速度為:所以得到與的關(guān)系：得到與的關(guān)系：由公式可知：當(dāng)時(shí)，加速度為，此時(shí)速度達(dá)到最大值，這個(gè)模型與第一問(wèn)模型相同，數(shù)據(jù)有所改變，但不影響函數(shù)的圖形，由圖1可以看出當(dāng)時(shí)間達(dá)到一定時(shí)速度保持不變，因此火車行駛速度有上限，不能無(wú)限增大。模型評(píng)價(jià)本模型通過(guò)物理公式的推到，用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行了解答，第一個(gè)問(wèn)題和第二個(gè)問(wèn)題帶入了確定數(shù)值進(jìn)行了精確解答，對(duì)核廢料處理問(wèn)題作出了合理解釋，通過(guò)第一問(wèn)的解答發(fā)現(xiàn)，將核廢料裝入圓桶投入90米深的海水中會(huì)造成核污染。由我們的結(jié)論避免了核污染的可能，對(duì)問(wèn)題二的解答是基于海水阻力與速度的另一種關(guān)系來(lái)計(jì)算的，對(duì)問(wèn)題三的解答是通過(guò)對(duì)公式的定性分析來(lái)解釋的，通