2018版高中數學第一章三角函數111任意角學案蘇教版

隨意角學習目標1.認識角的看法.2.掌握正角、負角和零角的看法，理解隨意角的意義.3.嫻熟掌握象限角、終邊同樣的角的看法，會用會合符號表示這些角．知識點一角的有關看法思慮1用旋轉方式定義角時，角的構成因素有哪些？思慮2將射線OA繞著點O旋轉到OB地點，有幾種旋轉方向？思慮3假如一個角的始邊與終邊重合，那么這個角必定是零角嗎？梳理(1)角的看法：一個角能夠當作平面內____________繞著________O從一個地點OA________到另一個地點OB所成的圖形．點O是角的極點，射線OA，OB分別是角α的________和________．依據角的旋轉方向，分為以下三類種類定義正角按________方向旋轉所形成的角叫做正角負角按________方向旋轉所形成的角叫做負角零角假如射線沒有作任何旋轉，那么也把它當作一個角，叫做零角知識點二象限角、軸線角思慮把角的極點放在平面直角坐標系的原點，

角的始邊與

x軸的非負半軸重合，旋轉該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么地點？梳理以角的極點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，成立平面直角坐標系．這樣，角的________(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．假如角的終邊在座標軸上，則稱這個角為軸線角．知識點三終邊同樣的角思慮1假定60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關系，它們與60°分別相差多少？思慮2怎樣表示與60°終邊同樣的角？梳理終邊同樣角的表示一般地，與角α終邊同樣的角的會合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任一與角α終邊同樣的角，都能夠表示成角α與整數個________的和．種類一隨意角看法的理解例1(1)給出以下說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角必定不是負角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．此中正確命題的序號為________；(把正確命題的序號都寫上)(2)將時鐘撥快20分鐘，則分針轉過的度數是________．反省與感悟

解決此類問題要正確理解銳角、

鈍角、0°～90°角、象限角等看法．角的看法推行后，確立角的重點是確立旋轉的方向和旋轉量的大?。粉櫽柧?寫出以下說法所表示的角．順時針擰螺絲2圈；將時鐘撥慢2小時30分，分針轉過的角．種類二象限角的判斷例2在0°～360°范圍內，找出與以下各角終邊同樣的角，并判斷它們是第幾象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.引申研究確立αn(n∈N*)的終邊所在的象限．反省與感悟判斷象限角的步驟：當0°≤α<360°時，直接寫出結果．當α<0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，轉變?yōu)榕袛嘟铅滤鶎俚南笙蓿粉櫽柧?以下各角分別是第幾象限角？請寫出與以下各角終邊同樣的角的會合S，并把S中合適不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來．(1)60°；(2)－21°.種類三終邊同樣的角命題角度1求與已知角終邊同樣的角例3在與角10030°終邊同樣的角中，求知足以下條件的角．最大的負角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反省與感悟

求合適某種條件且與已知角終邊同樣的角，其方法是先求出與已知角終邊同樣的角的一般形式，再依條件建立不等式求出k的值．追蹤訓練3寫出與α＝－1910°終邊同樣的角的會合，并把會合中合適不等式－＜360°的元素β寫出來．

720°≤β命題角度2求終邊在給定直線上的角的會合例4寫出終邊在直線y＝－3x上的角的會合．反省與感悟求終邊在給定直線上的角的會合，

常用分類議論的思想，即分

x≥0和

x<0兩種狀況議論，最后再進行歸并．3追蹤訓練

4

寫出終邊在直線

y＝

3

x上的角的會合．種類四地區(qū)角的表示例5以下圖．寫出終邊落在射線OA，OB上的角的會合；寫出終邊落在暗影部分(包含界限)的角的會合．反省與感悟解答此類題目應先在0°～360°上寫出角的會合，再利用終邊同樣的角寫出切合條件的全部角的會合，假如會合能化簡的還要化成最簡．追蹤訓練5以下圖，寫出終邊落在暗影部分的角的會合．1．－1120°角所在象限是________．2．與－457°角終邊同樣的角的會合是________．3．2017°是第________象限角．4．與－1692°終邊同樣的最大負角是________．5．寫出終邊落在座標軸上的角的會合S.1．對角的理解，初中階段是以“靜止”的目光看，高中階段應用“運動”的看法下定義，理解這一看法時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”．2．對于終邊同樣的角的認識一般地，全部與角α終邊同樣的角，連同角α在內，可構成一個會合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊同樣的角，都能夠表示成角α與整數個周角的和．注意：(1)α為隨意角．k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)．相等的角終邊必定同樣；終邊同樣的角不必定相等，終邊同樣的角有無數多個，它們相差360°的整數倍．k∈Z這一條件不可以少．答案精析問題導學知識點一思慮1角的構成因素有始邊、極點、終邊．思慮2有順時針和逆時針兩種旋轉方向．思慮3不必定，若角的終邊未作旋轉，則這個角是零角．若角的終邊作了旋轉，則這個角就不是零角．梳理(1)一條射線端點旋轉始邊終邊逆時針順時針知識點二思慮終邊可能落在座標軸上或四個象限內．梳理終邊知識點三思慮1它們的終邊同樣．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相差了－2個周角及1個周角．思慮260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角題型研究例1(1)①(2)－120°追蹤訓練1(1)－720°(2)900°例2解(1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內，與－150°角終邊同樣的角是210°角，它是第三象限角．(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內，與650°角終邊同樣的角是290°角，它是第四象限角．(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內，與－950°15′角終邊同樣的角是129°45′角，它是第二象限角．引申研究αn平分射線，它們與解一般地，要確立n所在的象限，能夠作出各個象限的從原點出發(fā)的坐標軸把周角分紅4n個地區(qū)，從x軸的非負半軸起，按逆時針方向把這4n個地區(qū)挨次標上1,2,3,4，，4n，標號為幾的地區(qū)，就是依據α所在第幾象限時，α的終邊所落在的地區(qū)，n這樣，αn所在的象限就能夠由標號地區(qū)所在的象限直觀的看出．追蹤訓練

2

解

(1)60°角是第一象限角，全部與

60°角終邊同樣的角的會合

S＝{β|

β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中合適－360°≤β<720°的元素是300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.

60°＋

(－1)×360°＝－(2)－21°角是第四象限角，全部與－

21°角終邊同樣的角的會合

S＝{β|

β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中合適－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.例3解與10030°終邊同樣的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°≤·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得kk＝－26，故所求的角為β＝670°.追蹤訓練3解由終邊同樣的角的表告知，與角α＝－1910°終邊同樣的角的會合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，1111∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.3636當k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°；當k＝5時，β＝5×360°－1910°＝－110°；當k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°.例4解{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}追蹤訓練4解終邊在y＝3(x≥0)上的角的會合是1＝{α|α＝30°＋k·360°，3xSk∈Z}；終邊在y＝3(x<0)上的角的會合是2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．3xS所以，終邊在直線y＝33x上的角的會合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．3故終邊在直線

y＝

3

x上的角的會合是

S＝{α|

α＝30°＋

n·180°，

n∈Z}．例5解(1)終邊落在射線OA上的角的會合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．終邊落在射線OB上的角的會合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．終邊落在暗影部分(含界限)的角的會合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．追蹤訓練5解設終邊落在暗影部分的角為α，角α的會合由兩部分構成：①{α|k·360°＋30°≤α<·360°＋105°，k∈Z}；k②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的會合應該是會合①與②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}{α|2k·180°＋30°≤α<2k·