貴州省貴陽市花溪第二中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 18第十八講 圓的基本性質(zhì)

【例題求解】【例】在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為3和2，則∠BAC度數(shù)為 ．作出輔助線，解直角三角形，注意ABAC注：由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié)合起來．圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性．【例】如圖用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑( )5A．2 B．2

5C． 4

51716思路點(diǎn)撥所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點(diǎn)，通過設(shè)未知數(shù)求解．1/9⌒⌒【例3】如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．思路點(diǎn)撥用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它．⌒【例4】如圖甲，⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M．(1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)；求證：△FDM∽△COM； ⌒GOBDEBCDED，AB于點(diǎn)FM，證明你的結(jié)論．思路點(diǎn)撥(1)在Rt△COG中，利用OG=∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考．

1 1OA=OC；(2)證明∠COM=∠FDM，∠CMO=2 22/9】已知：在△BAC的平分線，以C為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)ADF，交AEM，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．(1)求證：AF＝DF；(2)求∠AED的余弦值；(3)如果BD＝10，求△ABC的面積．EN思路點(diǎn)撥(1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝AE

，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值．直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵．學(xué)歷訓(xùn)練1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OD＝3cm，則過點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB= 2．閱讀下面材料：對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋．對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋．3/9回答下列問題：(1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋的最小值是 (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋的最小值是 (3)長(zhǎng)為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋的最小值是 么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性．請(qǐng)問以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ，是中心對(duì)稱圖形的(分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a，b，c填)．a(chǎn)．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形．b．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．如圖是⊙O的直徑是弦若那么AB兩點(diǎn)到直線CD的距離之和( A．12cm B．10cm 8cm 4/9一種花邊是由如圖的弓形組成的的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為( )5 16A．2 C．3 2 3⌒⌒⌒

⌒⌒⌒如圖在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧ABCD如果那么AB+CD與E的大小關(guān)系（ A．AB+CD＝EF B．AB+CD=FAB+CD<EF 不能確定電腦CPUCPU1cm10．05cm一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66⌒的兩條半徑OA與OBAmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC不過圓心的直線l交⊙OCDABOAE⊥l，垂足為E，BFl，垂足為F．(1)在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；請(qǐng)你觀察(1)(1(2)所得出的結(jié)論．5/9以ABO，COC2＝AC×BC，則∠CAB= ．⌒如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上，若BC=5，則折痕在內(nèi)的分DE長(zhǎng)為 ．如圖已知AB為⊙O的弦直徑MN與AB相交于內(nèi)于于若8 6則MC—ND= ．⌒O的半徑為D是直徑AB36°，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為 ．1，在平面上，給定了半徑為rO，對(duì)于任意點(diǎn)POPP′，使得OP×OP′=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)．2，⊙OAB，它們的反演點(diǎn)分別為A′和B如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形．①選擇：如果不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與相交，那么它關(guān)于的反演圖形( A．一個(gè)圓B．一條直線C．一條線段D．兩條射線②填空：如果直線l與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是 ，該圖形與圓O的位置關(guān)系6/9是 ．如圖已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓對(duì)角線AC是直徑對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為且PC=0．6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)． ⌒AB>AC，D為BACDE⊥ABE，求證：BD2-AD2=AB×AC．將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm0．1cm)13O′，經(jīng)過原點(diǎn)Oxy軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OAOB(OA>OB)x