可靠性和完全性(提綱)

可靠性完性現(xiàn)在邏輯基本上都是采用如下結(jié)：形語(yǔ)語(yǔ)

語(yǔ)語(yǔ)與法關(guān)形語(yǔ)：從初始符號(hào)出發(fā)，形成主對(duì)象—公式要一些其它輔助對(duì)象，如在一階邏輯，就有項(xiàng)的概念公式是一種特殊符號(hào)（由初符號(hào)組成的符號(hào)串語(yǔ)給出某種結(jié)構(gòu)某種定，定義出刻畫(huà)邏輯規(guī)律效式階，我們從結(jié)構(gòu)和賦值出發(fā)出式解下真所有解釋下都真定義出有效式有效式是一種特殊的公式，所有效式的集合是全體公式的一個(gè)子集。語(yǔ)：由理推導(dǎo)規(guī)則組成。按種標(biāo)準(zhǔn)的方法給證明序和內(nèi)定理有一些推廣的概念，最重要的推有效式是一種特殊的公式，所有定理的集合是全體公式的一個(gè)子集。語(yǔ)與法關(guān)：最重要的有兩個(gè)可靠性和完全性?？煽啃运鶅?nèi)定理都是有效。完全性所有效式都是內(nèi)定。一階推系的靠可靠性有標(biāo)準(zhǔn)的證明方法：1.明每個(gè)公理都是有效的。2.明推導(dǎo)規(guī)則保持有效性不。1

3.納證明證明序列中的每個(gè)式都是有效式，所以?xún)?nèi)定理是有效式。(1)(=僅如果(=()=(2)(…)當(dāng)當(dāng)（如果(=()=1n1n證定義得()=(=()((=是（如果()())=僅（果(=()對(duì)n作歸1.n=()當(dāng)僅當(dāng)（如果()=)112.n=…也是…，由歸納假設(shè)(…1k+11k1())=當(dāng)當(dāng)（如果)=)=()=k1kk+1()=當(dāng)且僅當(dāng)（如果()()(…)k+11n且僅當(dāng)（如果()==()1n如()=()(=如()=()(=證果)=(=())(=一階推演系統(tǒng)的公理都是有效式證。任給解釋?zhuān)?=T,((=由定理，任給解釋都有()=()()。任給解釋()T,()T,()=))=T得()))=(=)()==T由定理，任給解釋都有(()())()()任給解釋?zhuān)?)T,()=反法證明((=假設(shè)(=)()()(==()()=)(=(=。由定理，任給解釋都有(()))x(t中對(duì)x入自由。任給解釋?zhuān)?x=給aA，都()=代入引理得((t()由定理，任給解釋都有(x(t)xx任給解釋())=x)()=()x,a=所以任給A，(=()由定理，任給解釋都有()(xx))x的自由變項(xiàng)。2

任給解釋?zhuān)?)給aA，由合同引理得=由定理，任給解釋都有(x)一階推演系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則保持有性不變。

()(=(x)如和都效式，也有效式。如有效式，則x是效式。證任解釋為和都效式以()()(=這就證明了任給解釋?zhuān)加?=是有效式。任解釋?zhuān)珹，有效式，所以()此()就x,a證明了任給解釋?zhuān)?(x)x是效。一階推演系統(tǒng)可靠性定理一階推演系統(tǒng)的內(nèi)定理都是有效。證設(shè)內(nèi)定理，,…,（=是的證明序列，歸納證明任給（1k1n是有效式，當(dāng)k，就是說(shuō)是有效式。1.是，由定理i2.1存在使得=。kji由歸納假設(shè)得和都效式，由定理jkji2.2存在j在變項(xiàng)，使x。ij由歸納假設(shè)得是式，由定=x是有效式。jj和A8是效式。

k

都證t任給解釋?zhuān)?t)，(tts((t(s任給解釋?zhuān)?ts)==(t)取a(t)則由代入引理得((s=()((t=由定理，任給解釋都有(ts((t(s=帶等詞的一階推演系統(tǒng)可靠性定帶等詞的一階推演系統(tǒng)的內(nèi)定理是有效式。證略和諧和大諧和諧

是公式集。如果存在公式，得，則稱(chēng)是和。否則稱(chēng)是和諧的。由定義，是和諧的條件是：不在公式使得。3

和諧集等價(jià)條件(1)是諧的當(dāng)當(dāng)（任公式有(2)是的且僅當(dāng)（存在式，證果（任給公式，有存在公式，使得且。如果存在公式，使得且，給公式，由{,}得。由可得。和諧集的性質(zhì)單性如果是不諧，則也不諧。以是諧的，則也是和諧的。有性

是和諧的當(dāng)當(dāng)

的每個(gè)有限子集是和諧的。(3)當(dāng)當(dāng){是的。(4)當(dāng)僅當(dāng){諧的。證果是不和諧，則任給公式，都有，以公式，都因此是和諧的。證：是諧的當(dāng)存的有限子集不和諧的。設(shè)不和諧的存式得且取到推演序列為…,，1n令=,…,}，是的子集且，地存在有限的限子集，11n112使得。存在的有子集=，得且，因此存在有限212子集使得是和諧的。設(shè)存在的子集是不和諧，由單調(diào)性得不和諧的。證：且僅當(dāng){不和諧的。設(shè)，}又{，{是和。設(shè){是和諧的，則{}，演理得由}得。類(lèi)于留給讀者。極大是極大和諧的。

是和諧的公式集。如果任給公式都有{是諧的，則稱(chēng)極大和諧集的性質(zhì)

是極大和諧的公式集。推封閉性如果，。內(nèi)理封閉性如果是定，。分規(guī)則如

且，4

(4)當(dāng)且僅當(dāng)(5)

當(dāng)且僅當(dāng)。證證法。如果，{是不和諧的，由定理，，是不和諧的，矛盾。如內(nèi)定理，則由由(如且，，由(如，的和諧性。如果，是諧的由定理，由(。如，兩種情況明或。情況，。顯然有或。情況，。由，或。如果或，兩種情況明。情況，。由，(內(nèi)，所以()，再由(情況，類(lèi)似情況，由定理(由((4)當(dāng)且僅當(dāng)。(5)

當(dāng)且僅當(dāng)。是極大和諧的公式集。(1)當(dāng)當(dāng)且。(2)當(dāng)當(dāng)或。證(1)

當(dāng)且僅當(dāng)(且當(dāng)

當(dāng)且僅當(dāng)

且當(dāng)且僅當(dāng)。(2)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)或集

當(dāng)且僅當(dāng)

或。稱(chēng)是集。

是公式集。如果任在公式x，存項(xiàng)使得，則極大和諧存在定理是有限公式集，則存在極大和諧集，得。證注我們的語(yǔ)言是可數(shù)的，所全體公式也是可數(shù)的，將全體公式排成序列：,…,,……，1n任給，歸納定義有限如下：n(1)=。0(2)分三種情況定義如下：k+12.1{不。令=。kkk+1k2.2{和不x形令={kkkk+1kk2.3{和=x{出的元可到的{}kkkkkkk是有限公式集={}){。k+1kk令

{

n

|5

證明一：每個(gè)

n

都是和諧的。(1)=是的。0(2)分三種情況證明如下：k+12.1{不。由歸納假，是和諧的，所以=是諧的。kkk2.2{和令={和的kkk+1kk2.3{和=x反法。kkk假設(shè)=({}){和諧的，則{}k+1kkkk由概括規(guī)則得{}y注不{的由kkkk由內(nèi)定理yx得{yx，所以{}xkk由內(nèi)定理xx得{x}x，以{}x。kk這就是{}由演繹理得。kkkkkk再由內(nèi)定理{，所以，因此不和kkkkkkkkkk諧，矛盾。證明二：

nn+1

，所以

n

|是調(diào)顯然。證明三：

{

n

|是的。反證法。如果=∪{

n

|nN}是和諧的，則存在的子集,…,1

，存在公式使得s{…,}。1s因?yàn)閧,}∪{|所以存在,…,，得,…,，取1snns1n1s,…,中的集合（最大集合的存在是{|N}的調(diào)性保證的n1n{…,}，所以，此和諧，矛盾。1sntntnt證明四：

{

n

|集任給存在公式，x一是個(gè)}=和{和nnnn意是{的子集nnn由定義存在變項(xiàng)，。以，存在變項(xiàng)，使得。n+1一階推系的全可滿(mǎn)足(1)是公式。如果存在解釋得()是滿(mǎn)足的。(2)是公式集。如果存在解釋?zhuān)媒o式，有(=，是可滿(mǎn)足的，記為()(1)可足且僅當(dāng)不有的(2)是集。如果可，任給公式，都可足證略注意，任給公式都足的，并不保證可滿(mǎn)足的。6

完全性是說(shuō)：任給公式，如果是效，是內(nèi)定理。等價(jià)地說(shuō)：任給公式如果不定理，則不效。完全性證明思路：(1)不是內(nèi)定理，{和理將擴(kuò)極大和諧的集證極大和諧的Hintikka集是滿(mǎn)的，就是對(duì)極大和諧的集構(gòu)造一個(gè)解釋?zhuān)?)由滿(mǎn)足得到可滿(mǎn)足，得到不有的典范結(jié)構(gòu)和典范解釋是公式集。以下結(jié)構(gòu)稱(chēng)為=<A,>稱(chēng)為的結(jié)構(gòu)：(1)A={tA是體的集合。(2)定義如下2.1c是量。(c)=2.2R是n謂詞。(R)=。1n1n2.3是函數(shù)詞。

n

A…,