比例線段 知識(shí)講解

比例線段(基礎(chǔ))知識(shí)講解責(zé)編：常春芳1、1、2、3、4、了解相似的圖形及相似多邊形的概念及性質(zhì)；了解兩條線段的比和比例線段的概念并能根據(jù)條件寫出比例線段;會(huì)運(yùn)用比例線段解決簡單的實(shí)際問題；掌握黃金分割的定義并能確定一條線段的黃金分割點(diǎn)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似形相似的圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形.要點(diǎn)詮釋：相似的圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等形.相似多邊形一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).要點(diǎn)詮釋：相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).要點(diǎn)二、比例線段兩條線段的比：用同一個(gè)長度單位去度量兩條線段a，b，得到它們的長度，我們把這a兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.記作丁或a：b.b成比例線段：在四條線段a,b,c,d中，如果其中兩條線段a，b的比等于另外兩條線段c，d的比，即a=C(或a:b=c:d)，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.這bd時(shí)，線段a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a,d叫做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段是相等的，即a,b,c之間有a:b=b:c，那么線段b叫做線段a,c的比例中項(xiàng).比例的性質(zhì)：基本性質(zhì)ac如果丁=；，那么ad=bc(b,dNO).bd反之也成立，即ac如果ad=bc，那么丁=；■(b,dNO).bd合比性質(zhì)ac a+bc+d如果丁=~'那么一-—=—.(b,dNO)bd b d等比性質(zhì)如果a=a=??.=a，且人+、+?..、如那么:零產(chǎn)飛=a.bbb12n b+b+???+?b1 2 n 1 2 n1要點(diǎn)詮釋：兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，若單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比；兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù).要點(diǎn)三、黃金分割1.定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值土！叫做黃金數(shù).2要點(diǎn)詮釋：<5-1 F618.2作一條線段的黃金分割點(diǎn):圖4—7如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：經(jīng)過點(diǎn)B作BDXAB，使BD=1AB.2連接AD，在DA上截取DE=DB.在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【典型例題】類型一、相似形▼1.指出下列各組圖中，哪些組肯定是相似形兩個(gè)腰長不等的等腰三角形兩個(gè)半徑不等的圓兩個(gè)面積不等的矩形(4)兩個(gè)邊長不等的正方形

【思路點(diǎn)撥】要注意：(1)相似的圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形.【答案】(2)(4).【解析】(1)等腰三角形的形狀不一定相同，因此兩個(gè)腰長不等的等腰三角形不一定相似;中面積不等的兩個(gè)矩形，雖然它們的邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，所以無法確定它們一定相似；(2)(4)中兩個(gè)半徑不等的圓與兩個(gè)邊長不等的正方形都是形狀完全相同的圖形，是相似形.【總結(jié)升華】識(shí)別兩個(gè)圖形是否是相似形，可以從形狀來識(shí)別，對(duì)于多邊形，也可以用“對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等”來識(shí)別.舉一反三：【變式】如圖，左邊是一個(gè)橫放的長方形，右邊的圖形是把左邊的長方形各邊放大兩倍，類型二、比例線段02.下列四組線段中，成比例線段的有()A.3cm、4cm、5cm、6cm B.4cm、8cm、3cm、5cmC.5cm、15cm、2cm、6cm D.8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.5 21【解析】四個(gè)選項(xiàng)中只有-=7=-，故選C.【總結(jié)升華】根據(jù)成比例線段的定義.舉一反三：【變式】判斷下列線段a、b、c、d是否是成比例線段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=V^，c=2\阮，d=5^/^.【答案】(1).??a_4_2c_5_1【答案】(1).??b~6~3,d~lQ~2線段a、b、c、d不是成比例線段.a_2_2^5e_2^15_2^5.皿—三??虧3，?.?線段a、b、c、d是成比例線段.03.（2014?甘肅模擬）若就蛀（abo0）,求碧4的值.ZJ5 a-b+c【思路點(diǎn)撥】先設(shè)房與壬=k，可得a=2k,b=3k,c=5k,再把a(bǔ)、b、c的值都代入所求式子計(jì)算即可.【答案與解析】解：設(shè)3^專虹△?_[,一】則a=2k,b=3k,c=5k,±土=必+汨阪_1低芟.所項(xiàng)宜—b+c瓜一3k+5k業(yè)2【總結(jié)升華】解此類題學(xué)生容易誤認(rèn)為設(shè)k后，未知數(shù)越多更不易解出，實(shí)際上分子、分母能產(chǎn)生公因式約去.類型三、黃金分割04.（2015慈溪市一模）如圖，扇子的圓心角為x°,余下扇形的圓心角為y°,x與y的比通常按黃金比來設(shè)計(jì)，這樣的扇子外形比較美觀，若黃金比取0.6，則x為（ ）.A.144°B.135°C.136°D.108°【答案】B.【解析】由扇子的圓心角為x°,余下扇形的圓心角為y°,黃金比為0.6,根據(jù)題意得：x：y=0.6=3：5,又Vx+y=360,則x=360x^=135【總結(jié)升華】此題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出x與y的關(guān)系式.5.如圖所示，矩形ABCD是黃金矩形（即竺=&1^0.618），如果在其內(nèi)作正BC2方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE，試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？D EAC —B【思路點(diǎn)撥（1）矩形的寬與長之比值為*5T，則這種矩形叫做黃金矩形.2（2）要說明ABFE是不是黃金矩形只要證明竺=v5-1即可.AB2【答案與解析】矩形ABFE是黃金矩形.理由如下：AEAD-EDADED因?yàn)椤? = ——ABABABAB=-1= *5+」）-1盤+1-1_，&-1、；5-1 一（*5-1Q+1）廠所以矩形ABFE也是黃金矩形.【總結(jié)升華】判斷四邊形是否是黃金矩形，要根據(jù)實(shí)際條件靈活選擇判斷方法.舉一反三：【變式】以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P,連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示，B C（1） 求AM，DM的長，（2） 試說明AM2=AD?DM（3） 根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎?【答案（I）：正方形ABCD的邊長是2,P是AB中點(diǎn)，...AD=AB=2，AP=1，ZBAD=90°，???PD=h：'A尸2+AD2=-J5VPF