八個有趣模型-搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學生版)1912

八個有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球當講到付雨樓老師于2018年1月14日總第539期微文章，我如獲至寶.為有了教學的實施，我以付老師的文章主基石、框架，增加了我個人的理解及例題，形成此文，仍用文原名，與各位同行分享.不當之處，敬請大家批評指正.一、有關(guān)定義1．球的定義：空間中到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫球面，簡稱球.2．外接球的定義：若一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球.3．內(nèi)切球的定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.1．性質(zhì)：性質(zhì)1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點是圓心）.PA1D1O2B1C1cObOOANaDO1EFBM1C初圖1初圖22．結(jié)論：結(jié)論1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中點是球心；結(jié)論2：若由長方體切的得多面體的所有頂點是原長方體的頂點，則所多得面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點處；結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3．終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1．若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2．內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（類比：與多邊形的內(nèi)切圓）.3．正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4．正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5．基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）PPPPcCcCcCcAbBbCaabbAAaBaBBA圖1-1圖1-2圖1-3圖1-4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2abc2，即2Ra2b2c2，求出R22例1（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是（3）在正三棱錐SABC中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則M、NSC、BCAMMNSA23正三棱錐SABC外接球的表面積是.S解：引理：正三棱錐的對棱互相垂直.證明如下：如圖（3）-1，取AB,BC的中點D,E，連接AE,CD，AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心，ACSH平面ABC，SHAB，DHEBACBC，ADBD，CDABABSCD，平面，(3)題-1(引理）ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱錐的對棱互垂直，S本題圖如圖（3）-2，AMMN，SB//MN，AMSBACSBSBSAC，，平面，MSBSA，SBSC，SBSA，BCSA，SA平面SBC，SASC，ACN故三棱錐SABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236，即4R236，正三棱錐B(3)題-2（解答圖）SABC外接球的表面積是36.（4）在四面體SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,則該四面體的外接球的表面積為（）10B.7C.D.3340A.11643（5）如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的表面積是11（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為的等腰直角三角形和邊長為的正方形，則該幾何體外接球的體積為(6)題圖類型二、對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（ABCD，，）ADBCACBD第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；ADBCx，第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為abc，,,AxABCDy，ACBDz，列方程組，Dycyzz2b2xCa2xabx2y2z2，Bbc2y2(2R)abc222222c2a2z2圖2-1abc1abc413abc.補充：圖2-1中，VABCD6x2y2z2x2y2z2xyz222，，第三步：根據(jù)墻角模型，2Ra2b2c2，RR2288求出R.ABCD5,ACBD6,ADBC7,則該三棱錐外接例2（1）如下圖所示三棱錐ABCD，其中球的表面積為.ABDC(1)題圖ABCD中，，，，則三棱錐外接ABCD（2）在三棱錐ABCD2ADBC3ACBD4球的表面積為.（3）正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為（4）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如下圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.(4)題類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）CC1C11AA1FA1FO21OB1BOO212B1OOCCCAEAAEO1OO1B1BB圖3-1圖3-2圖3-3題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）O是ABC的外心，則OO平面；O的位置，ABC11第一步：確定球心第二步：算出小圓O的半徑AOr，OO1AA1h（AAh也是圓柱的高）；2211111hh第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2()2r2Rr()2，解出.R22211例3（1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，9且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為8柱ABCABC的各頂點都在同一球面上，若ABACAA2,BAC120，則此（2）直三棱1111球的表面積等于.（3）已知EAB所在的EAEB3,AD2,AEB60平面與矩形所在的平面互相垂直，ABCD，EABCD的外接球的則多面體表面積為.（4）在直三棱柱ABCABC中，AB4,AC6,A,AA4，則直三棱柱ABCABC的外接31111111球的表面積為.第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑——正弦定理求大圓直徑是通法）PPPPOOOO1AO1AOAAC1CCCBBBB圖4-1圖4-2圖4-3圖4-4PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓P的射影是ABC的外1．如圖4-1，平面的直徑），且心三棱錐PABC的三條側(cè)棱相等三棱PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心O，則P,O,O三點共線；11POh第二步：先算出小圓O的半徑AOr，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；111第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R；11事實上，ACP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.RPAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且PAAC，則2．如圖4-2，平面利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2rOO2Rr2OO2211PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）3．如圖4-3，平面OC2OC2OO2R2r2OO2AC2R2OO21111PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）4．題設(shè)：如圖4-4，平面第一步：易知球心O必是PAC的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；PACAC2rabc第二步：在PAC中，可根據(jù)正弦定理sinAsinBsinC2R，求出.R例4（1）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為23，則該球的表面積為.邊長和各側(cè)棱長都為2，各頂點都在同一球面上，則此球體積為（2）正四棱錐SABCD的底面（3）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．33B．C．33D．343412（4）在三棱錐PABC中，PAPBPC3,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外60PAABC接球的體積為（）B.4C.4D.A．33ABCSABC的所有頂點都在球的求面上O,1SCO是邊長為的正三角形,為球的直（5）已知三棱錐徑,且SC2，則此棱錐的體積為（）2A．632．32D．2B．C6類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）PA平面ABC，求外接球半徑.1．題設(shè)：如圖5，POCADOB1圖5解題步驟：第一步：將ABC畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過AADPDPD球心O；O為ABC的外心，所以O(shè)O平面，算出小圓O的半徑1ODr（三角形的外接圓直第二步：ABC111abc1徑算法：利用正弦定理，得sinAsinBsinC2r），；1OOPA2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2rOO2Rr2OO2.211P的射影是ABC的外心三棱錐的PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點PABC2．題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個圖形，P點也是圓錐的三條側(cè)棱相等三棱錐頂點.PPPPOOOOOOOCCCCA1AADA1OB11BBB圖5-1圖5-2圖5-3圖5-4PPPAAAOOOBC2OOD2BC2DBO圖5-6圖5-7圖5-8解題步驟：O的位置，取ABC的外心第一步：確定球心O，則1P,O,O三點共線；1POh第二步：先算出小圓O的半徑AOr，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；111OAOA2OO2R2(hR)2r，解出R2第三步：勾股定理：211方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．3B．216C．22223D．以上都不對22正視圖側(cè)視圖俯視圖第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)A'OHHD21ACEB圖66所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出和的外心BCDABDH和H；12第一步：先畫出如圖ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心O，連接第二步：過1H和H分別作平面BCD和平面2OEOC；,第三步：解OEH，算出，在中，勾股定理：OHRtOCHOHCH2OC2211111O,H,E,H四點共面且四點共圓，證略.注：易知12例6（1）三棱錐PABC中，平面平面，△和△三棱錐PABC外接球的半徑為.PACABCPACABC2均為邊長為的正三角形，則（2）在直角梯形ABCD中，//ABCD，，，，沿對角線BD折成四面A90C45ABAD1體ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該項球的表面積為3（3）在四面體SABC中，，ABBCABBCSACB2，二面角的余弦值為，則四3面體SABC的外接球表面積為（4）在邊長為的菱形ABCD中，，沿對角線BD折成二面角為的四ABDC120BAD6023面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為（5）在四棱錐ABCD中，，，BDA120BDC150ADBD2，CD3，二面角ABDC120的平面角的大小為，則此四面體的外接球的體積為類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型PBCOA圖7APBACB90，求三棱錐PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點，O題設(shè)：如圖7，OP,OC，則OAOBOCOP1AB，為三棱錐外接球球心，然后在中OPABCOCP連接2求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7（1）在矩形ABCD中，4AB，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）125125125．C．D．963125A．B12（2）在矩形ABCD中，2AB，BC3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐ABCD的外接球的表面積為．第四講多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題PPABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.8-1，三棱錐E,H分別是兩個三角形的外心；1．題設(shè)：如圖第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，EO13第二步：求DHBD，POPHrPDABP，是側(cè)面的高；ACHDOEPO第三步：由POE相似于，建立等式：PDHB，解出r圖8-1DHPD2．題設(shè)：如圖8-2，四棱錐PABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑P第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點共線；12第二步：求FHBC，，是側(cè)面的高；POPHrPFPCDGOAOGPOD第三步：由POG相似于，建立等式：，解出PFHEHFHFPFBC圖8-2PABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑3．題設(shè)：三棱錐方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；VOABCVOPABVOPACV