八.速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)

激光原理與技術(shù)

LaserPrinciple&Technology物理與光電工程學(xué)院顧芳2.2速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)NanjingUniversityofInformationScience&Technology物理學(xué)專(zhuān)業(yè)方向選修課回顧：實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的兩個(gè)必要條件:①工作物質(zhì)粒子有適當(dāng)?shù)哪芗?jí)結(jié)構(gòu)②有合適的激勵(lì)能源在1.5節(jié)中進(jìn)行了定性分析，本節(jié)將進(jìn)行定量分析。

速率方程方法以及速率方程的求解步驟速率方程方法:分析粒子系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)的一種方法

速率方程組:描述各能級(jí)粒子數(shù)(密度)變化速率的方程組(2)求出速率方程的穩(wěn)定解(數(shù)學(xué)解):求出穩(wěn)態(tài)下()各能級(jí)的粒子數(shù),或比值

其中nj，ni分別是激光上能級(jí)和下能級(jí)上的粒子數(shù)。穩(wěn)態(tài)----達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，穩(wěn)態(tài)下各能級(jí)粒子數(shù)密度不再變化(即)。

(3)確定粒子數(shù)反轉(zhuǎn)(即）的物理?xiàng)l件(物理解)(1)列出速率方程:(i=1,2,...m)m是參與光和物質(zhì)相互作用的能級(jí)數(shù)。若粒子有m個(gè)能級(jí)，則可列出m個(gè)方程，其中(m-1)個(gè)獨(dú)立。速率方程的求解步驟:

2.2速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)2.2.1三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)2.2.2速率方程組2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布2.2.4小信號(hào)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布2.2.5均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布2.2.6均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)2.2.1三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)一、雙能級(jí)系統(tǒng)及其速率方程1、能級(jí)圖

規(guī)定:實(shí)線箭頭代表輻射躍遷;虛線箭頭代表非輻射躍遷。其中：W12：受激吸收幾率(激勵(lì)幾率)

W21：受激輻射幾率

A21：自發(fā)輻射幾率

ω21：非輻射躍遷幾率

非輻射躍遷表示原子在不同能級(jí)躍遷時(shí)并不伴隨光子的輻射或吸收，而是把多余的能量傳給了別的原子或吸收別的原子傳給它的能量，所以不存在選擇定則的限制。

2、速率方程：雙能級(jí)系統(tǒng)只有1個(gè)獨(dú)立的速率方程方程中的每一項(xiàng):某一過(guò)程的幾率與該過(guò)程始態(tài)能級(jí)上的粒子數(shù)乘積等于該過(guò)程導(dǎo)致的粒子數(shù)變化率能級(jí)E2上粒子數(shù)密度的變化率為：第一項(xiàng)：受激吸收引起的n2的增加率,取正號(hào)(過(guò)程幾率與過(guò)程始態(tài)上粒子數(shù)的乘積);第二項(xiàng)：受激輻射引起的n2的減少率,取負(fù)號(hào);第三項(xiàng)：自發(fā)輻射引起的n2的減少率,取負(fù)號(hào);第四項(xiàng)：非輻射躍遷引起的n2的減少率,取負(fù)號(hào)。若設(shè)

g1=g2

,則

W12=W21=W,速率方程變?yōu)?/p>

3、穩(wěn)定解(數(shù)學(xué)解):穩(wěn)態(tài)下,故

可見(jiàn):對(duì)二能級(jí)系統(tǒng)，一般總有；僅當(dāng)受激吸收幾率很大時(shí)(),

4、結(jié)論：在光頻區(qū)，雙能級(jí)系統(tǒng)不可能實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)二、實(shí)現(xiàn)上下能級(jí)之間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)產(chǎn)生激光的物理過(guò)程：1、三能級(jí)系統(tǒng)圖(紅寶石激光器):其中

E1

：基態(tài)能級(jí),又是激光下能級(jí),也是抽運(yùn)能級(jí)。

E2

：激光上能級(jí),是亞穩(wěn)能級(jí)(ω21小)。

E3

：抽運(yùn)能級(jí),非輻射躍遷幾率大(ω32大)其主要特征是激光的下能級(jí)為基態(tài)，極易積累粒子(幾乎聚集了所有粒子)，發(fā)光過(guò)程中下能級(jí)的粒子數(shù)一直保存有相當(dāng)?shù)臄?shù)量，對(duì)抽運(yùn)的要求很高。所以不易實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn).可見(jiàn)：四能級(jí)系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，只要求n2＞n1，而不必令n2＞n0，而n0則是極易積累的基態(tài)粒子數(shù)。E0:基態(tài)能級(jí)E1:非基態(tài)能級(jí)，也是一個(gè)激發(fā)態(tài)能,是激光下能級(jí),

t1小而w10大(迅速弛豫到E0，抽空E1，減少n1)，常溫下基本上是一個(gè)空能級(jí)。E2:激光上能級(jí)/亞穩(wěn)能級(jí)(易積累n2)E3:光抽運(yùn)能級(jí),

τ3小，而ω32

大(迅速弛豫到E2)

2、四能級(jí)系統(tǒng)圖(大多數(shù)激光物質(zhì)是該系統(tǒng)）:1、圖中所示為一個(gè)簡(jiǎn)化的四能級(jí)圖，n0、n1、n2分別為基態(tài)、上能級(jí)、下能級(jí)的粒子數(shù)密度；n為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，R1、R2分別是激勵(lì)能源將基態(tài)E0上的粒子抽運(yùn)到E1、E2能級(jí)上的速率；

2、速率方程:3個(gè)能級(jí)應(yīng)有2個(gè)獨(dú)立方程（1）E2能級(jí)在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：2.2.2速率方程組此處因?yàn)榭紤]到介質(zhì)的線型函數(shù)遠(yuǎn)比傳播著的光能量密度為r的單色受激輻射光的線寬要寬得多，故用(1-54)式和(1-55)式因?yàn)镋2能級(jí)向E1能級(jí)的自發(fā)躍遷幾率A21遠(yuǎn)大于E2能級(jí)向基級(jí)能級(jí)E0的自發(fā)躍遷幾率A20

，所以這里沒(méi)有考慮由A20引起的躍遷。(1-54)(1-55)ρv（2）E1能級(jí)在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：式中各項(xiàng)的物理過(guò)程及物理意義如同以上所述?？偟牧Ｗ訑?shù)為各能級(jí)粒子數(shù)之和速率方程組以上三式即為在增益介質(zhì)中同時(shí)存在抽運(yùn)、吸收、自發(fā)輻射和受激輻射時(shí)各能級(jí)上的粒子數(shù)密度隨時(shí)間變化的速率方程組。2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布一、當(dāng)激光器工作達(dá)到穩(wěn)定時(shí),抽運(yùn)和躍遷達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，各能級(jí)上粒子數(shù)密度并不隨時(shí)間而改變，即：假設(shè)能級(jí)E2、E1的簡(jiǎn)并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，則有：將上兩式相加可得：由上幾式可得：則激光上下能級(jí)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式為：式中t1、t2

分別為上、下能級(jí)的壽命。（2-7）小信號(hào)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布P342.2.4小信號(hào)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布由式一、小信號(hào)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布它是當(dāng)分母中的第二項(xiàng)為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值。而分母中的第二項(xiàng)一定是個(gè)正值，因此它又是粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值可能達(dá)到的最大值。顯然只有在諧振腔中傳播的單色光能密度可能趨近于零(ρ→0即I→0)，換句話說(shuō)，參數(shù)Dn0對(duì)應(yīng)著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的大小，即Dn0對(duì)應(yīng)著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時(shí)的狀態(tài),通常把這個(gè)狀態(tài)叫作小信號(hào)工作狀態(tài)，而Dn0就被稱(chēng)作是小信號(hào)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布?？傻茫海?-7）二、小信號(hào)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的物理?xiàng)l件1、激光上能級(jí)E2的壽命要長(zhǎng),使該能級(jí)上的粒子不能輕易地通過(guò)非受激輻射而離開(kāi);2、激光下能級(jí)E1的壽命要短,使該能級(jí)上的粒子很快地衰減;3、選擇合適的激勵(lì)能源，使它對(duì)介質(zhì)的E2能級(jí)的抽運(yùn)速率R2愈大愈好，而E1能級(jí)的抽運(yùn)速率R1愈小愈好。由式可知:激光工作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)對(duì)激光器的工作有很大的影響。具有均勻加寬譜線和具有非均勻加寬譜線的工作物質(zhì)的反轉(zhuǎn)密度行為有很大差別,由它們所構(gòu)成的激光器的工作特性也有很大不同，本節(jié)將討論均勻加寬譜線的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布情況。2.2.5均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布（2-7）從譜線加寬角度看：對(duì)均勻加寬，每個(gè)粒子的自發(fā)輻射具有完全相同的線型函數(shù)、線寬、中心頻率。自然增寬，碰撞增寬對(duì)于均勻增寬的介質(zhì)，其線型函數(shù)可以表示為：如果介質(zhì)中傳播的光波頻率為n0，則有：且（2-7）因此，當(dāng)光波頻率為n0時(shí)，(2-7)分母中第二項(xiàng)可以改寫(xiě)為：其中Is為飽和光強(qiáng)：如果介質(zhì)中傳播的光波頻率，則有：則有：一般情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布可以表示為：這就是均勻增寬型介質(zhì)E2、E1能級(jí)間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式。它給出能級(jí)間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值與腔內(nèi)光強(qiáng)、光波的中心頻率、介質(zhì)的飽和光強(qiáng)、激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率以及介質(zhì)能級(jí)的壽命等參量的定量關(guān)系。(2-10)均勻增寬情形:只要入射光頻率在譜線線寬范圍內(nèi),所有粒子都參加受激輻射/吸收.其中2.2.6均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)從式中可以看出，當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)I≈0（即小信號(hào)）時(shí)，介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值Dn最大，其值為Dn0，Dn0由能級(jí)壽命、抽運(yùn)速率所決定。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)的影響不能忽略時(shí)，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值Dn將隨光強(qiáng)的增加而減小，將這種現(xiàn)象稱(chēng)為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)。因此，飽和效應(yīng)的原因是：入射光引起強(qiáng)烈的受激輻射使激光上能級(jí)粒子數(shù)減少。(2-10)一、粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)二.△n與入射光頻率v的關(guān)系討論①n=n0時(shí):(入射光頻率等于譜線中心頻率)可見(jiàn)：I一定時(shí)，對(duì)不同入射光頻率v，△n不同。只要I≠0，必有Dn<Dn0，有飽和效應(yīng);0IsI若I≈Is,

Dn≈Dn0/2，飽和效應(yīng)顯著。這是因?yàn)橹行念l率處受激輻射的幾率最大，故入射光造成的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)下降越嚴(yán)重。

(2-10)討論②nn0

時(shí):(入射光頻率偏離譜線中心頻率時(shí))在處，結(jié)論:不論v是否偏離v0均有飽和效應(yīng);偏離v0越遠(yuǎn),飽和作用越弱。(2-10)只要I≠0，必有Dn<Dn0，仍有飽和效應(yīng);若I≈Is時(shí)，

討論③為了更具體地說(shuō)明頻率對(duì)n的影響，令腔中光強(qiáng)都等于Is，根據(jù)上式算出幾個(gè)頻率下的n值，如下表，可以看出，隨著頻率對(duì)中心頻率的偏離，光波對(duì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的影響逐漸減小。

頻率

(2-10)確定對(duì)介質(zhì)有影響的光波的頻率范圍，通常采用與線型函數(shù)的線寬同樣的定義方法：頻率為0、強(qiáng)度為Is的光波使n0減少了n02，這里把使n0減少(n02)/2的光波頻率與0之間的間隔，定義為能使介質(zhì)產(chǎn)生飽和作用的頻率范圍，通常認(rèn)為頻率在此范圍內(nèi)的入射光才會(huì)引起顯著的飽和作用。(2-10)三、飽和光強(qiáng)（飽和參量）Is的物理意義:衡量飽和的程度▲

I<<IS時(shí),Dn和I無(wú)關(guān),飽和可忽略?！?/p>

I~IS

時(shí),Dn隨I增大而下降,顯著飽和。▲

IS由介質(zhì)性質(zhì)決定,從手冊(cè)查出。Is的數(shù)值取決于增益介質(zhì)的性質(zhì)，它可以由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，或由經(jīng)驗(yàn)公式確定。氦氖激光器:Is=0.1W/mm2～0.3W/mm2二氧化碳激光器:Is=W/mm2d：放電管的直徑，單位為mm增益系數(shù)對(duì)激光器的工作特性起著十分重要的作用。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同的介質(zhì)，其增益系數(shù)可以有很大的差別，同一種介質(zhì)的增益系數(shù)也隨工作條件的變化而改變。介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率變化的規(guī)律和介質(zhì)的線型函數(shù)隨頻率相似。當(dāng)測(cè)量增益系數(shù)所用的入射光強(qiáng)度很小，尚未發(fā)出激光時(shí)，測(cè)得的增益系數(shù)是一個(gè)常數(shù)；當(dāng)測(cè)量所用的光強(qiáng)增大到一定程度后，增益系數(shù)的值將隨光強(qiáng)的增加而下降，產(chǎn)生飽和現(xiàn)象。飽和效應(yīng):隨著I

，G、Dn飽和原因:入射光引起強(qiáng)烈的受激幅射使激光上能級(jí)粒子數(shù)減少。I很小時(shí),

Dn0和G0均為常數(shù);

式中G（增益的相對(duì)速率）代表光波在介質(zhì)中經(jīng)過(guò)單位長(zhǎng)度路程光強(qiáng)的相對(duì)增長(zhǎng)率，也代表介質(zhì)對(duì)光波放大能力的大小，將G稱(chēng)為增益系數(shù)。G

＞0相當(dāng)于A(z)＜0,介質(zhì)不再是吸收介質(zhì)而是光放大介質(zhì)。2.3節(jié)內(nèi)容提要2.3.1均勻增益介質(zhì)的增益系數(shù)2.3.2均勻增寬介質(zhì)的增益飽和

1.介質(zhì)對(duì)頻率為n0、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)

2.介質(zhì)對(duì)頻率為n、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)

3.頻率為n、強(qiáng)度為I的強(qiáng)光作用下的增益介質(zhì)對(duì)另一小信號(hào)光波i(ni)的增益系數(shù)一、標(biāo)志介質(zhì)受激放大能力的物理量─增益系數(shù)G，可以表示為考慮到均勻增寬介質(zhì)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布，有：2.3.1均勻增寬介質(zhì)的增益系數(shù)可見(jiàn)：G0(n)與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，僅是頻率的函數(shù)。小信號(hào)(未發(fā)生光放大時(shí)）I<<Is增益系數(shù)：圖中所示為G0(n)與譜線的線型函數(shù)f(n)有相似的變化規(guī)律。該曲線稱(chēng)為小信號(hào)增益曲線，其形狀完全取決于線型函數(shù)。(2-12)(2-13)由于光的頻率n很大，線寬Dn<<n，所以hn0與hn可以相互替代。因此，將(2-13)代入(2-12)式，得到均勻增寬介質(zhì)增益系數(shù)的表達(dá)式：(2-13)(2-14)(2-15)中心頻率處（）的小信號(hào)增益系數(shù)2.3.2均勻增寬介質(zhì)的增益飽和增益飽和：在抽運(yùn)速率一定的條件下，當(dāng)入射光的光強(qiáng)很弱時(shí)，增益系數(shù)是一個(gè)常數(shù)；當(dāng)入射光的光強(qiáng)到一定程度后，增益系數(shù)。增益飽和現(xiàn)象可以分三種情況討論：1.介質(zhì)對(duì)頻率為n0、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)

2.介質(zhì)對(duì)頻率為n、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)

3.頻率為n、強(qiáng)度為I的強(qiáng)光作用下的增益介質(zhì)對(duì)另一小信號(hào)光波i(ni)的增益系數(shù)

1、v=v0

及I<<Is

時(shí)，即入射光強(qiáng)很小,且入射光頻率與譜線中心頻率重合時(shí),介質(zhì)對(duì)此光波的增益系數(shù)：中心頻率處小信號(hào)增益系數(shù)：可見(jiàn):無(wú)飽和現(xiàn)象（G與I無(wú)關(guān)），且G有最大值G0(n0)。中心頻率小信號(hào)增益系數(shù)決定于工作物質(zhì)特性及抽運(yùn)速率。

f(v0)可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。(2-16)介質(zhì)對(duì)此光波的增益系數(shù)(2-14)1.介質(zhì)對(duì)頻率為v=v0、光強(qiáng)為I~Is的光波的增益系數(shù)此時(shí)均勻介質(zhì)對(duì)光波的增益系數(shù)為：可見(jiàn):只要I~Is,則不論v為何值均有飽和，且有(2-16)飽和光強(qiáng)Is：是激光工作物質(zhì)的一個(gè)重要參量，它決定了激光器

的輸出功率。2、v

v0

時(shí)，入射光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)（介質(zhì)對(duì)此光波的增益系數(shù)）為：此式說(shuō)明：當(dāng)腔內(nèi)光波的頻率nn0時(shí)也會(huì)引起增益飽和，只是不如當(dāng)n=n0時(shí)的作用那樣顯著。(2-17)其中(2-14)將(2-17)式的形式稍加改變即可得到用中心頻率處小信號(hào)增益系數(shù)G0(n0)表示的增益系數(shù)的表達(dá)式可以看出，當(dāng)I=Is時(shí)，增益系數(shù)降至小信號(hào)時(shí)增益的一半。(2-17)(2-19)(2-17)(2-19)為了比較各種頻率的光波在介質(zhì)中獲得增益的大小，也為了比較各種頻率的光波對(duì)增益系數(shù)作用的大小，根據(jù)(2-19)式列表，令表中各種頻率光波的光強(qiáng)都等于飽和光強(qiáng)Is。并作曲線如圖所示。光波對(duì)介質(zhì)的增益飽和作用可以忽略。根據(jù)(2-19)式，介質(zhì)對(duì)頻率為n0光波的增益系數(shù)值最大，該光波的增益飽和作用也最大，當(dāng)(2-19)以上討論了當(dāng)頻率為v,強(qiáng)度為Iv光入射時(shí),它本身所能獲得的增益系數(shù)G(n)隨Iν增加而下降的規(guī)律?，F(xiàn)在設(shè)有一頻率為v,強(qiáng)度變?yōu)镮n的強(qiáng)光人射,同時(shí)還有一頻率為vi的弱光i入射,此弱光的增益系數(shù)G(vi)將如何變化?3、頻率為n、光強(qiáng)為I的強(qiáng)光作用下增益介質(zhì)對(duì)另一小信號(hào)i(弱光）的增益系數(shù)G(vi)將如何變化。

對(duì)均勻加寬工作物質(zhì)而言,強(qiáng)光入射會(huì)引起反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度Dn的下降，而Dn的下降又將導(dǎo)致弱光增益系數(shù)的下降。由于I

和i

放大是消耗同一個(gè)E2能級(jí)上的粒子，而介質(zhì)中E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度已經(jīng)在I

的激勵(lì)下大為減少，所以，此時(shí)介質(zhì)對(duì)光波的增益系數(shù)也同樣下降。頻率為v的強(qiáng)光I不僅使本身頻率處介質(zhì)的增益系數(shù)由G0(n)下降至G(n)，而且使介質(zhì)的線寬范圍內(nèi)一切頻率處介質(zhì)的增益系數(shù)G0(ni)都下降了同樣的倍數(shù),變?yōu)镚(ni)。由于光強(qiáng)I

僅改變粒子在上下能級(jí)間的分布值，并不改變介質(zhì)的密度、粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及能級(jí)的寬度。因此，在光強(qiáng)I

的作用下