第五章連續(xù)系統(tǒng)的域分析

Chapter5連續(xù)系統(tǒng)的s域分析S-DomainAnalysisofContinuousSystemspage2第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域（復(fù)頻域）分析頻域分析（傅里葉變換法）的優(yōu)點(diǎn)：

相比于時(shí)域分析，響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。微分方程代數(shù)方程卷積運(yùn)算乘法運(yùn)算

在有關(guān)信號(hào)的分析處理方面諸如有關(guān)諧波成分、頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、信號(hào)帶寬、波形失真等問(wèn)題上，頻域分析的結(jié)果具有清楚的物理意義。page3頻域分析（傅里葉變換法）的不足：1.傅里葉變換存在的充分條件是為有限值，因此有些常用的信號(hào)如、等并不滿足該條件，不能通過(guò)定義來(lái)求。還有一些信號(hào)如根本不存在傅里葉變換，無(wú)法在頻域分析。2.傅里葉逆變換的求解有時(shí)是很困難的。3.只能求出零狀態(tài)響應(yīng)，無(wú)法求零輸入響應(yīng)。page4第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域（復(fù)頻域）分析$5.1拉普拉斯變換（從傅里葉變換過(guò)渡到拉普拉斯變換

收斂域

單邊拉普拉斯變換定義及常用信號(hào)的變換結(jié)果）$5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)（）$5.3拉普拉斯逆變換（查表法

部分分式展開(kāi)法）$5.4復(fù)頻域分析（微分方程變換解

系統(tǒng)函數(shù)

系統(tǒng)s域框圖

電路的s域模型

拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系）線性

尺度變換

時(shí)移

復(fù)頻移

時(shí)域微分

時(shí)域積分

卷積

s域微積分

初/終值定理page55.1拉普拉斯變換

5.1拉普拉斯變換

以指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù)為例，該函數(shù)不存在傅里葉變換。其主要原因是當(dāng)時(shí)信號(hào)的幅度快速增長(zhǎng)，不滿足絕對(duì)可積條件。一.從傅里葉變換過(guò)渡到拉普拉斯變換

為此，可以用衰減因子（為實(shí)常數(shù)）去乘信號(hào)。根據(jù)不同信號(hào)的特性，適當(dāng)選取的數(shù)值，使乘積信號(hào)當(dāng)時(shí)信號(hào)幅度趨于0，從而使收斂。page65.1拉普拉斯變換

例：不滿足絕對(duì)可積條件，但只要滿足絕對(duì)可積條件。只要滿足絕對(duì)可積條件。例：不滿足絕對(duì)可積條件，但page75.1拉普拉斯變換

假設(shè)滿足絕對(duì)可積條件，則下式收斂。上述積分結(jié)果是的函數(shù)，令其為。由傅里葉逆變換，可得：page85.1拉普拉斯變換

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，令，可得：稱(chēng)為的雙邊拉普拉斯變換（或象函數(shù)）。稱(chēng)為的雙邊拉普拉斯逆變換（或原函數(shù)）。*雙邊拉普拉斯變換對(duì)page95.1拉普拉斯變換

二.收斂域如前所述，只有選擇適當(dāng)?shù)闹?，才能使拉普拉斯變換對(duì)應(yīng)的積分收斂。收斂域：使?jié)M足絕對(duì)可積的的區(qū)域。首先分別研究以下兩種信號(hào)：(1)因果信號(hào)(2)反（非）因果信號(hào)思考：對(duì)于實(shí)際信號(hào)，收斂域與(1)和(2)結(jié)果的關(guān)系？回答：取(1)和(2)結(jié)果的交集。page105.1拉普拉斯變換

例5.1-1

設(shè)因果信號(hào)，其中為實(shí)數(shù)。求其拉普拉斯變換及收斂域。解：因果函數(shù)的收斂域s平面的右“半”平面page115.1拉普拉斯變換

例5.1-2

設(shè)反因果信號(hào)，其中為實(shí)數(shù)。求其拉普拉斯變換及收斂域。反因果函數(shù)的收斂域s平面的左“半”平面解：page125.1拉普拉斯變換

如果有雙邊信號(hào)其雙邊拉普拉斯變換為：對(duì)應(yīng)的收斂域?yàn)椋弘p邊拉普拉斯變換便于分析雙邊信號(hào)，但其收斂條件較為苛刻，限制了它的應(yīng)用。結(jié)論：雙邊函數(shù)的收斂域:帶狀區(qū)域:無(wú)收斂區(qū)域page135.1拉普拉斯變換

三.單邊拉普拉斯變換

實(shí)際用到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，可設(shè)其為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣時(shí)有，從而拉普拉斯變換可寫(xiě)成：?jiǎn)芜吚绽棺儞Q

單邊拉普拉斯變換運(yùn)算簡(jiǎn)便（雙邊變換需將信號(hào)拆分成因果和非因果兩部分），用途廣泛，它也是研究雙邊拉普拉斯變換的基礎(chǔ)。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，經(jīng)常把單邊變換簡(jiǎn)稱(chēng)為拉普拉斯變換（拉氏變換）。（注意：沒(méi)有下標(biāo)）page145.1拉普拉斯變換

1.拉普拉斯變換的符號(hào)表示

因果信號(hào)的拉普拉斯變換簡(jiǎn)記為，象函數(shù)用表示，其逆變換簡(jiǎn)記為，拉普拉斯變換對(duì)可寫(xiě)為：變換對(duì)簡(jiǎn)記為：。*中可能包含】【page155.1拉普拉斯變換

2.收斂條件

為保證象函數(shù)存在，積分式必須收斂。

對(duì)此，存在如下定理：若因果函數(shù)滿足

在任意有限區(qū)間內(nèi)（其中）可積（曲線下的面積為有限值）；(2)存在某個(gè)，有：實(shí)質(zhì)：可以是遞增函數(shù)，只要它能被某些遞減的更快的指數(shù)函數(shù)“拉拽”下來(lái)即可。是指數(shù)階的【比增長(zhǎng)速度緩慢】。page165.1拉普拉斯變換

例：要求：要求：要求：要求：而，增長(zhǎng)比任何階的指數(shù)函數(shù)都快，其拉普拉斯變換不存在。page175.1拉普拉斯變換

另外，還有一類(lèi)可積的時(shí)限（時(shí)間有限）信號(hào)：要求：由于：例：page185.1拉普拉斯變換

3.常用信號(hào)的拉普拉斯變換例5.1-3

求矩形脈沖信號(hào)的象函數(shù)。解：page195.1拉普拉斯變換

例5.1-4

求函數(shù)的象函數(shù)。解：【】【；為奇函數(shù)】page205.1拉普拉斯變換

例5.1-5

求復(fù)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)。解：特例：為實(shí)數(shù)為虛數(shù)page215.1拉普拉斯變換

例5.1-6

求信號(hào)的象函數(shù)。解：利用分部積分法：【】page22

對(duì)于因果信號(hào)，若拉普拉斯變換存在，則，且收斂域相同，均為以右的半s平面（為收斂坐標(biāo)）。5.1拉普拉斯變換

4.雙邊與單邊拉普拉斯變換的比較(2)對(duì)于反因果信號(hào)，若雙邊拉普拉斯變換存在，則收斂域?yàn)橐宰蟮陌雜平面（為收斂坐標(biāo)）。而任何反因果信號(hào)的單邊拉普拉斯變換均為零。page235.1拉普拉斯變換

(3)對(duì)于雙邊信號(hào)，若它的單、雙邊拉普拉斯變換存在，與單邊拉普拉斯變換不相等，即，其收斂域也不相同。存在雙邊拉普拉斯變換的雙邊信號(hào)一定存在單邊拉普拉斯變換；但反之則不一定（例如：；的收斂域?yàn)?，的收斂域?yàn)椋?4)單邊拉普拉斯變換的象函數(shù)與時(shí)域原函數(shù)總是一一對(duì)應(yīng)的，但雙邊拉普拉斯變換則有多種可能。解釋page245.1拉普拉斯變換

關(guān)于(4)的解釋?zhuān)?/p>

對(duì)于雙邊拉普拉斯變換，相同的象函數(shù)（收斂域不同）對(duì)應(yīng)不同的時(shí)域函數(shù)。因此，對(duì)于雙邊拉普拉斯變換的結(jié)果必須標(biāo)明收斂域。page255.1拉普拉斯變換

5.拉普拉斯變換與傅里葉變換的比較(2)拉普拉斯變換的象函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，它存在于收斂域的半平面內(nèi)，而傅里葉變換僅是虛軸上的函數(shù)。(1)相比于傅里葉變換，拉普拉斯變換對(duì)時(shí)間函數(shù)的限制要寬松得多。(3)拉普拉斯變換可同時(shí)求解零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)，且拉普拉斯逆變換容易求解。(4)拉普拉斯變換也有不足之處。單邊變換僅適用于因果信號(hào)，雙邊變換計(jì)算繁瑣；而且物理意義不明顯。有明確物理含義，而沒(méi)有。page265.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一.線性

若且有常數(shù)，則證明：略。注意:若為兩函數(shù)差的形式，收斂域可能擴(kuò)大。例子至少page275.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例：（利用后面的

時(shí)移性質(zhì)）例5.2-1

求單邊正弦函數(shù)和單邊余弦函數(shù)的象函數(shù)。解：page285.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

page29回答：?jiǎn)芜呑儞Q只考慮因果信號(hào)。則：。5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

二.尺度變換

若，且有實(shí)常數(shù)，*證：令，則，可得：?的收斂域：的收斂域：page305.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

三.時(shí)移特性

若，且有實(shí)常數(shù)，則：。*回答：左移可能會(huì)導(dǎo)致波形變化。證：令，則，可得：?page315.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

注意：這里的延時(shí)信號(hào)是指因果信號(hào)的延時(shí)，而非。例：page325.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

時(shí)移特性可以用來(lái)求取有始周期函數(shù)的拉普拉斯變換。思考：有始周期函數(shù)是不是周期函數(shù)？回答：不是。真正的周期函數(shù)應(yīng)從到。設(shè)為有始周期信號(hào)，其“周期”為。設(shè)表示第一“周期”的函數(shù)，則可寫(xiě)成：設(shè)，則有：要求：【

當(dāng)】page335.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

綜合尺度變換和時(shí)移特性

若，且有實(shí)常數(shù)，，則：。證：利用時(shí)移性質(zhì)，可得：再利用尺度變換性質(zhì)：或變換順序：page345.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-2

求矩形脈沖的象函數(shù)。解：收斂域擴(kuò)大page355.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-3

求在時(shí)接入的周期性單位沖激序列的象函數(shù)。解：根據(jù)有始周期函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，可得：page365.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

四.復(fù)頻移（s域平移）特性

若，且有復(fù)常數(shù)，則：。證：page375.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-4

求衰減的正弦函數(shù)和衰減的余弦函數(shù)的象函數(shù)。解：由于同理由于page385.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-5

已知因果函數(shù)的象函數(shù)，求的象函數(shù)。最后由復(fù)頻移性質(zhì)：解：由時(shí)移性質(zhì)，可得：再由尺度變換性質(zhì)，可得：page395.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

五.時(shí)域微分性質(zhì)主要用于求解具有初始條件的微分方程。

若，則：上述各象函數(shù)的收斂域至少是。page405.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

證：在收斂域內(nèi)，。在的收斂域內(nèi)一定收斂，且其收斂域可能擴(kuò)大。例：而?！尽縫age415.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

反復(fù)應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)的公式，可得高階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果。對(duì)于因果函數(shù)，及其各階導(dǎo)數(shù)的值滿足：

,這時(shí)有：。page425.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-6

若已知的象函數(shù)，求的象函數(shù)。解：方法一page435.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

方法二【為雙邊信號(hào)】page445.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

六.時(shí)域積分性質(zhì)

設(shè)表示對(duì)函數(shù)從到的重積分，也可表示為。如果積分下限為0，就表示為。主要用于求解具有初始條件的積分方程。

若，則滿足以下兩條：(1)page455.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

上述各象函數(shù)的收斂域至少是與相重疊的部分。(2)page465.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

(1)證：先設(shè)。【】【

的積分也是指數(shù)階】反復(fù)應(yīng)用可得(1)。page475.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

(2)證：先設(shè)。反復(fù)應(yīng)用可得(2)。page485.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

對(duì)于因果函數(shù)，該函數(shù)及其各階積分的值滿足：

,這時(shí)有：。解釋?zhuān)海ǖ降拿娣e為零）……例：page495.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

什么時(shí)候應(yīng)用時(shí)域微積分性質(zhì)？微分性質(zhì)：

當(dāng)直接計(jì)算某函數(shù)的拉普拉斯變換繁瑣，而其積分的拉普拉斯變換容易計(jì)算時(shí)，可應(yīng)用微分性質(zhì)。積分性質(zhì)：

當(dāng)直接計(jì)算某函數(shù)的拉普拉斯變換繁瑣，而其導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換容易計(jì)算時(shí)，可應(yīng)用積分性質(zhì)。page505.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-7

求如下三角脈沖的象函數(shù)。page515.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

解：設(shè)。應(yīng)用積分性質(zhì)，可得：page525.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-8

已知，利用階躍函數(shù)的積分求的象函數(shù)。解：應(yīng)用積分性質(zhì)，可得：page535.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

應(yīng)用時(shí)域微積分性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)和，其部分相同，但部分不同，二者的（單邊）拉普拉斯變換是否相同？思考1：結(jié)論：只要兩個(gè)函數(shù)的部分相同，變換結(jié)果相同。page545.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

當(dāng)兩個(gè)函數(shù)和的拉普拉斯變換相同，其導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換是否相同？思考2：結(jié)論：不一定。解釋?zhuān)喝≈悼赡懿煌琾age555.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

當(dāng)兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換相同時(shí)，它們自身的拉普拉斯變換是否相同？思考3：結(jié)論：不一定。解釋?zhuān)簆age565.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

七.卷積定理

時(shí)域卷積定理（復(fù)頻域卷積定理繁瑣，略）

若因果函數(shù)則：。收斂域至少是二者公共部分。

證：page575.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

由時(shí)移特性，可得：page585.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-9

如圖所示為接入的（也稱(chēng)為有始的）周期性矩形脈沖，求其象函數(shù)。=*解：設(shè)，則有：page595.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

page605.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-10

已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，求輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：page615.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

八.s域微分和積分

若，則：page625.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

s域微分性質(zhì)證明證：由于對(duì)求導(dǎo)，可得：反復(fù)利用上式，可得一般表示式。為指數(shù)階也為指數(shù)階解釋的收斂域也為。積分性質(zhì)證明page635.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

為指數(shù)階與的增長(zhǎng)速度相當(dāng)（同階）。page645.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

s域積分性質(zhì)證明證：【】也為指數(shù)階【】page65什么時(shí)候應(yīng)用s域微積分性質(zhì)？微分性質(zhì)：

當(dāng)已知，可計(jì)算出：…積分性質(zhì)：

當(dāng)已知，可計(jì)算出：…5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

page665.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-11

求函數(shù)的象函數(shù)。解：令，則。由域微分性質(zhì)，可得：page675.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

例5.2-12

求的象函數(shù)。解：另有：page685.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

九.初值定理和終值定理

初值定理和終值定理常用于由直接求和的值，而不必求出原函數(shù)。初值定理：

設(shè)函數(shù)不包含及其各階導(dǎo)數(shù)，且則有：page695.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

證：由時(shí)域微分特性：(a)由于在內(nèi)，可得：(b)代入式(b)，可得：(d)(c)page705.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

顯然，式(a)應(yīng)與式(d)一致，因此有：對(duì)上式取的極限，并考慮到，可得：(e)page715.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

式(b’)和式(c’)的證明過(guò)程與式(a’)的證明類(lèi)似。(a’)(b’)(c’)初值定理的改進(jìn)：

若包含及其各階導(dǎo)數(shù)，且：

則有：page725.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

證：以只含,不含其導(dǎo)數(shù)為例。設(shè)若包含及其各階導(dǎo)數(shù)，則有：前面式(c)更改為：【】前面式(a)更改為：page735.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

前面式(d)更改為：若包含及其各階導(dǎo)數(shù)，則有：更改后的式(a)與式(d)應(yīng)一致。從而得：與前面式(e)類(lèi)似。后面的證明類(lèi)似。page745.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

終值定理：

若函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且則有：證：取前面式(e)中最后一項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限，可得：page755.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

注意：

在應(yīng)用終值定理時(shí)，由于是取的極限，必須保證的點(diǎn)應(yīng)在收斂域內(nèi)，否則結(jié)果不對(duì)。例5.2-13

如果函數(shù)的象函數(shù)為求原函數(shù)的初值和終值。驗(yàn)證：解：由初值定理，得：由終值定理得：驗(yàn)證：page765.3拉普拉斯逆變換

5.3拉普拉斯逆變換

對(duì)于單邊拉普拉斯變換，其逆變換為：上述積分應(yīng)在收斂域（）內(nèi)進(jìn)行。積分路線應(yīng)為橫坐標(biāo)為，平行于縱坐標(biāo)軸的直線。實(shí)用中，通常設(shè)法將積分路線變?yōu)榍‘?dāng)?shù)拈]合路徑，應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理求得原函數(shù)。（過(guò)程繁瑣）page775.3拉普拉斯逆變換

若是的有理分式，即：其中，各系數(shù)均為實(shí)數(shù)。不失一般性，可設(shè)。

若，可利用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和，即：其中的冪次小于的冪次。page785.3拉普拉斯逆變換

例：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是有理真分式對(duì)應(yīng)的逆變換的求解。一.查表法（教材P417附錄五）page79二.部分分式展開(kāi)法5.3拉普拉斯逆變換

若是的實(shí)系數(shù)有理真分式（）式中：分母多項(xiàng)式稱(chēng)為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。方程稱(chēng)為特征方程。

的根稱(chēng)為特征根。

為了將展開(kāi)為部分分式，要先求出個(gè)特征根（又稱(chēng)為的極點(diǎn)）。page805.3拉普拉斯逆變換

特征根可能是實(shí)根或復(fù)根（含虛根）；可能是單根或重根。分以下幾種情況討論：有單根有重根有單實(shí)根有單共軛根有重實(shí)根有重共軛根1.有單實(shí)根

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，設(shè)特征方程的根都是單實(shí)根。page815.3拉普拉斯逆變換

根據(jù)代數(shù)理論，可展開(kāi)為如下部分分式：

待定系數(shù)可按如下方法計(jì)算：

將上式等號(hào)兩端同乘以，得：取的極限，得：（）*page82

待定系數(shù)可按另外一種方法計(jì)算：5.3拉普拉斯逆變換

由于是的根，故有。這樣前式可改寫(xiě)為：*

計(jì)算出后，由，可得原函數(shù)為：*page835.3拉普拉斯逆變換

例5.3-3

求的原函數(shù)。有三個(gè)單實(shí)根：解：page845.3拉普拉斯逆變換

2.有單共軛根例5.3-4

求的原函數(shù)。解：page855.3拉普拉斯逆變換

page865.3拉普拉斯逆變換

簡(jiǎn)便實(shí)用關(guān)系的推導(dǎo)：

設(shè)有一對(duì)共軛單根，則有：page875.3拉普拉斯逆變換

由于和都是的實(shí)多項(xiàng)式，故，

【】，因而。

設(shè)*page885.3拉普拉斯逆變換

例5.3-5

求的原函數(shù)。特征根為：解：page895.3拉普拉斯逆變換

page905.3拉普拉斯逆變換

3.有重實(shí)根

設(shè)在處有重根，即，而其余個(gè)根都不等于?？烧归_(kāi)為：

待定系數(shù)可按如下方法計(jì)算：

將上式等號(hào)兩端同乘以，得：(a)page915.3拉普拉斯逆變換

將式(a)對(duì)求導(dǎo)，可得：(b)

將式(b)對(duì)求導(dǎo)，可得：page925.3拉普拉斯逆變換

依此類(lèi)推，可得：*

根據(jù)和復(fù)頻移性質(zhì)，可得：

重根部分象函數(shù)的原函數(shù)為：*【】page935.3拉普拉斯逆變換

例5.3-6

求的原函數(shù)。特征根為：解：page945.3拉普拉斯逆變換

常用【域微分和平移性質(zhì)】page955.3拉普拉斯逆變換

4.有重共軛根

如果有重共軛根，則可采用與前面類(lèi)似的方法導(dǎo)出相應(yīng)的逆變換式。例如，有二重復(fù)根，則可展開(kāi)為：可以證明，。系數(shù)的求法同前。page965.3拉普拉斯逆變換

求出系數(shù)、后，可用下式求得逆變換：【域微分性質(zhì)】page975.3拉普拉斯逆變換

例5.3-7

求的原函數(shù)。解：page985.3拉普拉斯逆變換

page995.3拉普拉斯逆變換

在求拉普拉斯逆變換時(shí)，還應(yīng)注意應(yīng)用拉普拉斯變換的各種性質(zhì)和常用的變換對(duì)。注意：解：例5.3-8

求的原函數(shù)。page1005.3拉普拉斯逆變換

例5.3-9

求的原函數(shù)。解：page1015.3拉普拉斯逆變換

例5.3-10

求的原函數(shù)。解：先求的原函數(shù)。page1025.3拉普拉斯逆變換

波形圖：*=page1035.4復(fù)頻域分析

5.4復(fù)頻域分析

拉普拉斯變換是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力數(shù)學(xué)工具，它將描述系統(tǒng)的時(shí)域微積分方程變換為s域的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解；同時(shí)它將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然地包含于象函數(shù)方程中，既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可一舉求得全響應(yīng)。一.微分方程的變換解

描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式：初始狀態(tài)：(a)page1045.4復(fù)頻域分析

設(shè)。根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，及其各階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換為：(b)

如果是在時(shí)接入的，即：。則在時(shí)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，即。因而及其各階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：(c)page1055.4復(fù)頻域分析

取式(a)的拉普拉斯變換，并代入式(b)和式(c)之后，可得：整理后，可得：page1065.4復(fù)頻域分析

令：僅與有關(guān)僅與有關(guān)與和有關(guān)page1075.4復(fù)頻域分析

僅與初始狀態(tài)有關(guān)僅與輸入信號(hào)有關(guān)

取上式的逆變換，可得系統(tǒng)的全響應(yīng)：page1085.4復(fù)頻域分析

例5.4-1

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為已知輸入，初始狀態(tài)。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對(duì)微分方程取拉普拉斯變換，得：整理后，可得：page1095.4復(fù)頻域分析

將及代入，得：page1105.4復(fù)頻域分析

在系統(tǒng)分析中,有時(shí)已知時(shí)刻的初始值，這時(shí)應(yīng)設(shè)法求得初始狀態(tài)。于0時(shí)刻才接入【】【不含】*【可由計(jì)算得到】page1115.4復(fù)頻域分析

例5.4-2

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為已知輸入，初始狀態(tài)。求和。解：由于零狀態(tài)響應(yīng)與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，故本題的零狀態(tài)響應(yīng)與例5.4-1相同（因微分方程相同，輸入也相同），即有：page1125.4復(fù)頻域分析

在第二章中，曾從時(shí)域的角度討論了系統(tǒng)全響應(yīng)中的自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概念。這里再?gòu)膕域來(lái)討論。例5.4-3

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為已知輸入，初始狀態(tài)。求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：對(duì)微分方程取拉普拉斯變換，得：page113整理后，可得：5.4復(fù)頻域分析

將及代入得：page1145.4復(fù)頻域分析

自由強(qiáng)迫強(qiáng)迫自由page1155.4復(fù)頻域分析

總結(jié)：

的極點(diǎn)由兩部分組成。一部分是系統(tǒng)的特征根所形成的極點(diǎn)，另一部分是激勵(lì)信號(hào)象函數(shù)的極點(diǎn)。

系統(tǒng)自由響應(yīng)的象函數(shù)的極點(diǎn)等于系統(tǒng)的特征根（固有頻率）。即：系統(tǒng)自由響應(yīng)的函數(shù)形式由系統(tǒng)的固有頻率確定。自由自由

系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的象函數(shù)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因而系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)的函數(shù)形式由激勵(lì)函數(shù)確定。強(qiáng)迫強(qiáng)迫page1165.4復(fù)頻域分析

一般而言，若系統(tǒng)特征根的實(shí)部為負(fù)值，自由響應(yīng)函數(shù)都呈衰減形式，自由響應(yīng)就是瞬態(tài)響應(yīng)；激勵(lì)象函數(shù)的極點(diǎn)若為單極點(diǎn)且實(shí)部為零，則強(qiáng)迫響應(yīng)函數(shù)為等幅振蕩（或階躍函數(shù)）形式，此時(shí)強(qiáng)迫響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

如果系統(tǒng)有實(shí)部大于零的特征根，響應(yīng)不能再分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

如果激勵(lì)信號(hào)本身是衰減函數(shù)（如等），當(dāng)時(shí)，強(qiáng)迫響應(yīng)也趨近于零，這時(shí)強(qiáng)迫響應(yīng)與自由響應(yīng)一起組成瞬態(tài)響應(yīng)，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于零。page1175.4復(fù)頻域分析

二.系統(tǒng)函數(shù)（類(lèi)似于頻率響應(yīng)）

描述n階LTI系統(tǒng)的微分方程一般可寫(xiě)為：設(shè)是時(shí)接入的，則其零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為：可根據(jù)微分方程直接寫(xiě)出page1185.4復(fù)頻域分析

系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù)之比，用表示。*

由描述系統(tǒng)的微分方程容易寫(xiě)出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，反之亦然。由前面的式子可見(jiàn)，系統(tǒng)函數(shù)只與描述系統(tǒng)的微分方程系數(shù)有關(guān)，即只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)等有關(guān)，而與外界因素（激勵(lì)、初始狀態(tài)等）無(wú)關(guān)，是反映系統(tǒng)特性的重要工具。（對(duì)比：物體的密度、電阻器的阻值等）page1195.4復(fù)頻域分析

系統(tǒng)特性的表征系統(tǒng)微分方程框圖沖激響應(yīng)頻率響應(yīng)…系統(tǒng)函數(shù)page1205.4復(fù)頻域分析

引入系統(tǒng)函數(shù)的概念后，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可寫(xiě)為：*意義：時(shí)域s域簡(jiǎn)化由時(shí)域卷積定理，可得：或*page1215.4復(fù)頻域分析

例5.4-4

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：根據(jù)微分方程，直接列出系統(tǒng)函數(shù)：page1225.4復(fù)頻域分析

例5.4-5

已知當(dāng)輸入時(shí)，某LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解：根據(jù)進(jìn)行計(jì)算。page1235.4復(fù)頻域分析

微分方程為：page1245.4復(fù)頻域分析

例5.4-6

設(shè)某LTI系統(tǒng)的初始狀態(tài)一定，已知當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)；當(dāng)時(shí)，全響應(yīng)；當(dāng)時(shí)，求零輸入、零狀態(tài)、全響應(yīng)。解：當(dāng)輸入時(shí)，有：(1)當(dāng)輸入時(shí)，有：(2)page1255.4復(fù)頻域分析

聯(lián)立求解方程(1)和(2)可得：當(dāng)輸入時(shí)，有：page1265.4復(fù)頻域分析

三.系統(tǒng)的s域框圖

系統(tǒng)分析中也常遇到用時(shí)域框圖描述的系統(tǒng)，這時(shí)可根據(jù)系統(tǒng)框圖中各基本運(yùn)算部件關(guān)系列出描述該系統(tǒng)的微分方程，然后求該方程的解（用時(shí)域法或拉普拉斯變換法）。如果根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)域框圖畫(huà)出其相應(yīng)的s域框圖，就可直接按s域框圖列寫(xiě)有關(guān)象函數(shù)的代數(shù)方程，然后解出響應(yīng)的象函數(shù)，取其逆變換求得系統(tǒng)的響應(yīng)，使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。時(shí)域框圖時(shí)域微分方程求解原先：現(xiàn)在：s域框圖s域代數(shù)方程求解page1275.4復(fù)頻域分析

基本運(yùn)算部件（數(shù)乘器、加法器、積分器）的s域模型1.數(shù)乘器2.加法器page1285.4復(fù)頻域分析

3.積分器（）4.積分器（）page1295.4復(fù)頻域分析

例5.4-7

某LTI系統(tǒng)的時(shí)域框圖如圖所示，已知輸入，求沖激響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：s域框圖page1305.4復(fù)頻域分析

page1315.4復(fù)頻域分析

當(dāng)輸入為時(shí)，page1325.4復(fù)頻域分析

例5.4-8

若已知例5.4-7系統(tǒng)的初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：根據(jù)例5.4-7的結(jié)果，有：系統(tǒng)零輸入響應(yīng)滿足方程：page1335.4復(fù)頻域分析

取上式的拉普拉斯變換，可得：代入，可得：page1345.4復(fù)頻域分析

四.電路的s域模型

研究電路問(wèn)題的基本依據(jù)是描述互連各支路（或元件）電流、電壓相互關(guān)系的基爾霍夫定律（KCL和KVL）和電路元件端電壓與流經(jīng)該元件電流的電壓電流關(guān)系。

描述了在任意時(shí)刻流入（或流出）任一結(jié)點(diǎn)的所有支路電流間的關(guān)系。s域：KCL：

描述了在任意時(shí)刻任一回路內(nèi)所有支路兩端電壓間的關(guān)系。s域：KVL：page1355.4復(fù)頻域分析

電路基本元件（電阻、電感、電容）的s域模型1.電阻的s域模型page1365.4復(fù)頻域分析

2.電感的s域模型串聯(lián)形式并聯(lián)形式page1375.4復(fù)頻域分析

3.電容的s域模型并聯(lián)形式串聯(lián)形式page1385.4復(fù)頻域分析

由上述模型可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換，可以將時(shí)域中用微分、積分形式描述的元件端電壓與電流的關(guān)系，變換為s域中用代數(shù)方程描述的與的關(guān)系，而且在s域中KCL、KVL也成立。分析步驟：1.原電路中已知電壓源、電流源變換為象函數(shù)；2.未知電壓、電流也用其象函數(shù)表示；3.各電路元件用其s域模型替代（初始狀態(tài)變換為相應(yīng)的內(nèi)部象電源），畫(huà)出s域電路模型；page1395.4復(fù)頻域分析

4.對(duì)該s域電路而言，用以分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的各種方法（如無(wú)源支路的串、并聯(lián)，電壓源與電流源的等效變換、等效電源定理、回路法、結(jié)點(diǎn)法等）都適用；應(yīng)根據(jù)具體電路，采用適宜方法。

分析步驟（續(xù)）：5.按該s域電路模型，解出所需未知響應(yīng)的象函數(shù)，取其逆變換就得到所需的時(shí)域響應(yīng)。page1405.4復(fù)頻域分析

例5.4-9

如圖所示的電路，已知。原電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合，求S閉合后R3兩端電壓的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。page1415.4復(fù)頻域分析

分析步驟：1.求初始狀態(tài)和。2.畫(huà)出開(kāi)關(guān)閉合后電路的s域模型。3.根據(jù)電路的s域模型，列寫(xiě)方程求解。1.求和在時(shí)，開(kāi)關(guān)尚未閉合（電容開(kāi)路，電感短路），可得：page1425.4復(fù)頻域分析

2.畫(huà)開(kāi)關(guān)閉合后的s域模型page1435.4復(fù)頻域分析

3.列寫(xiě)方程并求解列寫(xiě)a點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)方程page1445.4復(fù)頻域分析

代入，可得：page1455.4復(fù)頻域分析

代入，可得：page1465.4復(fù)頻域分析

代入，可得：page1475.4復(fù)頻域分析

例5.4-10

在如圖所示的常用分壓電路中，以為輸入，以為輸出。試分析為使輸出不失真，電路各元件應(yīng)滿足的條件。（注：為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)電路中的初始值、均為零）page1485.4復(fù)頻域分析

解：page1495.4復(fù)頻域分析

令，page1505.4復(fù)頻域分析

經(jīng)化簡(jiǎn)后，可得：其中，。pa