電動力學(xué)-電磁場中帶電粒子的拉格朗日量和哈密頓量

電磁場中帶電粒子的拉格朗日量主講：趙朝祥電磁場中帶電粒子的拉格朗日量1，電磁場中帶電粒子的運(yùn)動方程2，拉格朗日形式電磁場中帶電粒子的運(yùn)動方程電磁場對帶電粒子作用力的洛倫茲公式：用磁場張量和四維速構(gòu)成一個(gè)四維矢量：容易驗(yàn)證

在相對論力學(xué)中，力學(xué)基本方程可寫為協(xié)變式：其中，Ku為四維力矢量，Pu為動量和能量構(gòu)成的四維矢量。在低速運(yùn)動的情形下，作用于速度為v的物體上的四維力矢量：

所以，在相對論協(xié)變的力學(xué)方程包括：上式可改寫為：在電磁場中，帶電粒子受到的洛倫磁力為：所以，洛倫磁力也滿足相對論協(xié)變要求。綜上得，帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動方程為：約瑟夫·拉格朗日約瑟夫·拉格朗日，全名，約瑟夫·路易斯·約瑟夫（Joseph-LouisLagrange1735-1813)法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué),力學(xué)和天文學(xué)家三個(gè)領(lǐng)域都有歷史的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。

電磁場中帶電粒子拉格朗日形式

在理論力學(xué)中，拉格朗日的基本形式為：

其中為廣義動量， 為廣義速度，Qa為廣義力。對保守力系來講：

因?yàn)閯菽躒中一般并不包含廣義速度，所以令L=T-V來代表體系的動能與勢能之差。所以得到保守力系下的拉格朗日方程為：

在電動力學(xué)中，電磁場也是一個(gè)保守力場，所以也滿足上面的保守力系下的拉格朗日方程。電磁場中的帶電粒子的運(yùn)動方程為：（1）其中粒子的機(jī)械動量p是：（2）現(xiàn)在我們能否找到一個(gè)拉格朗日量L使運(yùn)動方程（1）化為拉格朗日的形式首先把（1）的右邊用勢φ和A表示出來:在拉格朗日函數(shù)形式中，坐標(biāo)x和速度是獨(dú)立變量，算符不作用在的函數(shù)上，因此把（3）式和（4）式代入（1），得由于粒子運(yùn)動，在時(shí)間dt有位移dx由此引起矢勢A有增量，因此作用于粒子上的失勢總編換率為所以（5）可以寫為：（7）動量p和矢勢A可以寫為：所以拉格朗日量L為：（8）則運(yùn)動方程（7）可以寫為拉格朗日形式：（9）現(xiàn)在考察L的變換性把（8）乘以,得式中為四維矢量。上式右邊是洛倫茲不變量，因此也是洛倫茲不變量，在分析力學(xué)中，拉格朗日對時(shí)間的積分作用量其中是粒子的固有時(shí)。由于和都是不變量，因而作用量S的洛倫茲不變量。和粒子速度有關(guān)的協(xié)變量是四維速度，而只能構(gòu)成一個(gè)不變量。因此只能是一個(gè)洛倫茲不變常量，由此得當(dāng)時(shí)，上式應(yīng)趨于非相對論，由此得因而自由粒子的拉格朗日函數(shù)為參考文獻(xiàn)