高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案2.3 考點歸納解三角形

解角【考題放】1．,c分別的三個內(nèi)角B,所的邊，aB的（）

（A）充分條件（B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件（D）既不充分又不必要條件2．ABC中，已tanC，給出以下四個論斷：2①tanB

②B③

2

A

2

B

④cos

2

Acos

2

Bsin

2

C其中正確的是（B）（A）①③（B）②④（C）①④（D）②③3．在△中，已知A、、C成等差數(shù)列，tan為__________.

Atan3tan2

的值4．如B的三個內(nèi)角的余弦值分別等B的三個內(nèi)角的正弦值，112則（）A．B都是銳角三角形1122B．B都是鈍角三角形1122C．B是鈍角三角形BC是銳角三角形112D．B是銳角三角形BC是鈍角三角形1125己知AC是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，tanA,tanC是方程x

-

p＝0(p≠0，且p∈R)，的兩個實根，則tan(A+C)=_______tanA,tanC的取值范圍分別是____和_____，p的取值范圍是__________；(0，)；(0，3)

23

，1)6ΔABC中知AB

466,B3

上的中線BD=sinA.

【專家解設(shè)E為BC的中點，連DE，DE//AB，D

1，2設(shè)BE=x在ΔBDE中可得

2

2

2

BEBED，5x

867x解得x，x（舍去）33故BC=2，從而

2

2

2

B

283

，即AC

304B，故sinsin

【考點視】專題主要考查正弦定理和余弦定理．【熱點析】角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧握的能力：

學(xué)生需要掌(1)運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運用三角形基礎(chǔ)知識，(余)弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘【范例1【】△ABC中，若tanA︰tanBa

:

，試判斷△ABC的形狀．解

由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得

sinABsinAsinBB

，∵B為角形的內(nèi)角，sinA，sinB．∴＝或2A＝－2B，∴＝或＋＝所以△為等腰三角形或直角三角形．

2

．【點晴角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如

2

＋b

2

＝c

2

，a

2

＋b

2

>c

2

（銳角三角形

＋b

＜c（鈍角三角形）sin(A－＝0，sinA＝sinBsinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

【范例2【文在△中，a、、c分別為角A、、C的對邊，

2

2A.2(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=

，b+c=3，求bc的值解析

由

2

A及A180:22[1cos()]2cosA,4(1cos)即

4cos,180(2)由余定理:A

b

bc

1b21cosA()2bc2

bc.a代入上式::【點睛弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用比較廣泛【范例3已知△ABC周長為6，BCCA成等比數(shù)列，求（1）△ABC的面積S的最大值；（2BABC的取值范圍．解析設(shè),CA,依次為a，b，c，則a+b+c=6．在△ABC中cos

2

2ac2ac,ac2故0B

3

．bac

a62．2（１）S

11sinB33．23（２）cosB

22()2

2

(6)2

2

2

．

02,

BC

．【點睛三角與向量結(jié)合是高考命題的一個亮點問題當(dāng)中的字母比較多，這就需要我們采用消元的思想，想辦法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當(dāng)?shù)闹髯冊髯冊墙獯饐栴}的基本元素，有效的控制和利用對調(diào)整解題思路是十分有益處的．【變式】在△中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,△ABC的外接圓半徑R=，且滿足

2ACB

.(1)(2)

求角B和邊b的大小；求△ABC的面積的最大值。解析(1)由

2sinsinCB

整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB∴sin(B+C)=2sinAcosB∴sinA=2sinAcosB∴cosB=∵b=2RsinB∴b=3

1∴B=2(2)

1=sinB3R2sinsinCAsin(23

A

sin(2)6

∴當(dāng)A=

3

時,

ABC

的最大值是

94

．【點睛角函數(shù)的最值問題在三角形中的應(yīng)用【范例4某觀測站C城A的南20?西的方向上，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南40?東，在C測得距C31千米的公路上B處有一人正沿公路向A走去，走了20千米后，到達(dá)D，此時C、距離為21千米，問還需走多少千米到達(dá)A？解析據(jù)題意得圖02其中BC=31千米=20千米=21千米∠60?．設(shè)∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中，由余弦定理得：

222222222222cos

CDBD122207

，

1

2

437

．sin

sin

41572214

．在△中得AD

212153sin60314

．所以還得走15千米到達(dá)A城．【點晴】用解三角形的知識解決實際問題時，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之．1．在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinA·sinB(B)1（A）.有最大值和最小值（B）.有最大值但無最小值2（C）.既無最大值也無最小值（D）.有最大值1但無最小值2已知非零向量與AC滿(為（D）

ABACAC1BCABACAC

（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D三邊均不相等的三角形3．△ABC中，3sinA+4cosB=63cosA+4sinB=1，則∠C的大小是（A）（A）

55（B）（C）或（D）或66

234.一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為A)(A)arccos

5515(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin2225.已知a+1是鈍角三角形的三邊的取值圍是.0，2）

16．知定義在R上的偶函數(shù)yx)區(qū)[0,單調(diào)遞增,若f()0,22的內(nèi)角A滿足)則A的取值范圍是(,](32【文】ABC中A.B.C的對邊分別.。（1）若a,b,c成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+3cosB的值域。

,（2）若a,b,c成等差數(shù)列，且A-C=

3

，求cosB的值。解析(1)2ac,2

2

22ac1ac當(dāng)且僅時取等號,0

3

∵f(B)=sinB+3sin(B

3

)∵

3

3

23

∴f()的值域為3,2(2)2b,∴sinA+sinC=2sinB∵A

3

,A∴

BBBC=∴sin()+sin()=2sinB32展開,化簡,得

3cos

BB32*sin,cos0,∴222∴cosB=1

5288文】中,c別為角B,的對邊，且滿足4cos

2

cos)2（１）求角大小；（２），取最小值時，判斷的形狀．解析（１AB