必修一同步課件：2.2.2（第2課時(shí)）對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用

第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用類型一對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

【典型例題】1.(2013·大慶高一檢測(cè))已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,則()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.已知logm7<logn7<0，則m,n,0,1之間的大小關(guān)系是______.3.已知函數(shù)f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1),g(x)=loga(3-x)(a>0,且a≠1).(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的定義域.(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f(x)≥g(x)中x的取值范圍．【解題探究】1.比較題1中這三個(gè)對(duì)數(shù)的大小時(shí)可以選取什么數(shù)作為中間量？同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)如何比較大??？2.真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小可以用什么方法？3.解對(duì)數(shù)不等式的依據(jù)是什么？對(duì)數(shù)的底數(shù)含有字母時(shí),解對(duì)數(shù)不等式要注意什么？探究提示：1.可以選取“1”作為中間量.同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小,可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由真數(shù)的大小推出相應(yīng)對(duì)數(shù)的大小.2.真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)比較大小,可以根據(jù)不同底數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象分析，也可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)進(jìn)行比較.3.解對(duì)數(shù)不等式可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由對(duì)數(shù)的大小推出真數(shù)的大小.對(duì)數(shù)的底數(shù)含有字母時(shí)，解對(duì)數(shù)不等式要注意分底數(shù)大于1和大于零且小于1兩類討論.【解析】1.選D.因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù)，且3.6>2，所以log23.6>log22=1,因?yàn)楹瘮?shù)y=log4x在(0,+∞)上是增函數(shù)，且3.2<3.6<4，所以log43.2<log43.6<log44=1,所以log43.2<log43.6<log23.6，即b<c<a.2.方法一：根據(jù)題意，作出函數(shù)y=logmx，y=lognx的圖象如圖所示：由圖象可知0<n<m<1.方法二：因?yàn)閘ogm7<logn7<0,所以即所以log7m<0,log7n<0,故log7m·log7n>0,所以即log7n<log7m<0=log71,所以0<n<m<1.答案：0<n<m<13.(1)要使函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=loga(x-1)-loga(3-x)有意義，需有解得1<x<3,故函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的定義域?yàn)?1,3).(2)因?yàn)椴坏仁絝(x)≥g(x)，即loga(x-1)≥loga(3-x),當(dāng)a>1時(shí)，有解得2≤x<3.當(dāng)0<a<1時(shí)，有解得1<x≤2.綜上可得，當(dāng)a>1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范圍為［2,3)；當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范圍為(1,2］.【拓展提升】1.比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的三種方法2.兩類對(duì)數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b=logaab.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.【變式訓(xùn)練】若實(shí)數(shù)a滿足loga

<1，求a的取值范圍.【解析】不等式loga<1可化為loga<logaa,所以或解得a>1或0<a<所以a的取值范圍為a>1或0<a<類型二與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的最大(小)值或值域問(wèn)題

【典型例題】1.(2013·佛山高一檢測(cè))函數(shù)y=log3(3x+1)的值域?yàn)開_____．2.若函數(shù)f(x)=logax(a>0，且a≠1)在區(qū)間［a,2a］上的最大值是最小值的3倍，求a的值.【解題探究】1.求形如y=logaf(x)的函數(shù)的值域，可以轉(zhuǎn)化為求哪兩個(gè)函數(shù)的值域問(wèn)題？2.要求出函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,2a］上的最大值和最小值，需要知道函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,2a］上的什么性質(zhì)？探究提示：1.可以轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的函數(shù)u=f(x)的值域和關(guān)于u的函數(shù)y=logau的值域.2.要知道函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,2a］上的單調(diào)性.【解析】1.因?yàn)?x+1>0對(duì)任意x∈R都成立，所以函數(shù)y=log3(3x+1)的定義域是R,令u=3x+1，則y=log3u,由x∈R得u=3x+1∈(1,+∞).又因?yàn)殛P(guān)于u的函數(shù)y=log3u在(1,+∞)上為增函數(shù),所以由u∈(1,+∞)得y=log3u∈(0,+∞).所以函數(shù)y=log3(3x+1)的值域?yàn)?0,+∞).答案：(0,+∞)2.(1)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)=logax在區(qū)間［a,2a］上是增函數(shù),∴f(x)max=f(2a)=loga(2a),f(x)min=f(a)=logaa=1,∴l(xiāng)oga(2a)=3×1,∴2a=a3,又a>1,∴a2=2,a=(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)=logax在區(qū)間［a,2a］上是減函數(shù)，∴f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)min=f(2a)=loga(2a),∴3loga(2a)=1,∴2a=∴8a3=a，又0<a<1,∴綜上所述，a=或a=【拓展提升】求函數(shù)y=logaf(x)值域的步驟(1)換元：先令u=f(x)，再求出f(x)的值域.(2)求新元的范圍：結(jié)合u＞0，求出u的取值范圍，不妨設(shè)為［m，n］(m＞0).(3)結(jié)合單調(diào)性求值域：①若a＞1，則函數(shù)y=logaf(x)的值域?yàn)椋踠ogam,logan］；②若0＜a＜1，則函數(shù)y=logaf(x)的值域?yàn)椋踠ogan,logam］.【變式訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定義域和值域都是［0,1］，則a等于()A.B.C.D.2【解題指南】先由x∈［0,1］求出x+1的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分兩種情況求出loga(x+1)的范圍，最后根據(jù)值域?yàn)椋?,1］求出a的值.【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定義域和值域都是［0,1］,所以0≤x≤1，1≤x+1≤2.(1)當(dāng)a>1時(shí)，0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,所以a=2.(2)當(dāng)0<a<1時(shí),loga2≤loga(x+1)≤loga1=0,與值域是［0,1］矛盾.綜上所述，a=2.類型三對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典型例題】1.(2013·北京高一檢測(cè))設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函數(shù)，則f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系是()A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)<f(b+2)C.f(a+1)>f(b+2)D.不確定2.(2013·雙鴨山高一檢測(cè))已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，(1)求f(1)，f(-1).(2)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.(3)若f(a-1)-f(3-a)<0，求a的取值范圍.【解題探究】1.奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域有什么特征？由此可以求出b的值嗎？a+1與b+2的大小關(guān)系和f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系有什么聯(lián)系？2.題2中求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，關(guān)鍵是求自變量在各取值范圍內(nèi)取值時(shí)的表達(dá)式.如何利用f(-x)與f(x)的關(guān)系求表達(dá)式？探究提示：1.奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此可以求出b的值.根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以由a+1與b+2的大小關(guān)系推出f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系.2.函數(shù)f(x)的定義域是R，求其表達(dá)式關(guān)鍵是求x<0和x=0時(shí)f(x)的表達(dá)式.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，可利用f(x)=-f(-x)求表達(dá)式.【解析】1.選C.因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)的定義域是(-∞,b)∪(b,+∞)，所以b=0.于是f(x)=loga|x|，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,0)上是遞增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是遞減函數(shù)，即函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是遞減函數(shù)，故0<a<1.因?yàn)?<a+1<2，b+2=2,所以1<a+1<b+2,所以f(a+1)>f(b+2).2.(1)f(1)==-3，f(-1)=-f(1)=3.(2)因?yàn)閒(x)在R上為奇函數(shù)，所以f(0)=0,令x<0，則-x>0，所以f(x)=-f(-x)=所以(3)設(shè)x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,所以而x2+7>x1+7>0，所以0<<1，所以所以f(x)=在(0，+∞)上為減函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<f(0)=0,∴f(x)=在［0,+∞)上為減函數(shù)，又∵f(x)在R上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴f(x)在R上為減函數(shù).由于f(a-1)<f(3-a)，所以a-1>3-a,∴a>2.【互動(dòng)探究】題2中，若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，試求當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的表達(dá)式.【解析】令x<0，則-x>0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=故當(dāng)x<0時(shí)，【拓展提升】1.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)常見的命題方式對(duì)數(shù)函數(shù)常與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大(小)值以及不等式等問(wèn)題綜合，求解中通常會(huì)涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算.(2)解此類問(wèn)題的基本思路首先要將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合涉及的知識(shí)點(diǎn)，明確各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用思路、化簡(jiǎn)方向，與所求目標(biāo)建立聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的思路.2.解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函數(shù)要注意的問(wèn)題(1)要注意變量的取值范圍.例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，則f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x>0.(2)判斷y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函數(shù)的奇偶性，首先要注意函數(shù)中變量的范圍，其次再利用奇偶性定義判斷．【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函數(shù)，那么a的值為___.【解析】對(duì)于任意x∈R都有10x+1>0,所以f(x)=lg(10x+1)+ax的定義域是R,由題意知lg(10-x+1)+a·(-x)=lg(10x+1)+ax,-ax=lg(10x+1)+ax,lg(10x+1)-lg10x-ax=lg(10x+1)+ax,整理得(2a+1)x=0對(duì)任意x∈R都成立,所以2a+1=0，答案：

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典型例題】1.已知y=loga(2-ax)在［0,1］上是關(guān)于x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+∞)2.函數(shù)其中x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.3.證明函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在(0，+∞)上是增函數(shù).【解析】1.選B.令u=2-ax,∵a>0,且a≠1,∴u=2-ax在［0,1］上是關(guān)于x的減函數(shù).又y=loga(2-ax)在［0,1］上是關(guān)于x的減函數(shù)，∴函數(shù)y=logau是關(guān)于u的增函數(shù)，且對(duì)x∈［0,1］時(shí)，u=2-ax恒為正數(shù),∴a>1且x∈［0,1］時(shí),umin=2-a>0,∴1<a<2.2.令u=x2+2x-3，則∵u=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴函數(shù)u=x2+2x-3圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1,∴函數(shù)u=x2+2x-3在(-∞,-3)上是減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù).又∵函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù).∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的法則可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-3).答案：(-∞,-3)3.設(shè)x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)=∵0＜x1＜x2，∴0<+1＜+1.又∵y=log2x在(0，+∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og2(+1)＜log2(+1)，即f(x1)＜f(x2).∴函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在(0，+∞)上是增函數(shù).【拓展提升】1.研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)基本步驟2.形如y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性首先要確保f(x)>0，當(dāng)a>1時(shí)，y=logaf(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y=f(x)的單調(diào)性一致.當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logaf(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y=f(x)的單調(diào)性相反.【規(guī)范解答】對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域問(wèn)題【典例】

【條件分析】【規(guī)范解答】∵∴即………1分∴≤log2x≤3.………2分∵②=(log2x-log22)·(log2x-log24)

………4分=(log2x-1)·(log2x-2).………6分令t=log2x,則≤t≤3,f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-

③.……8分∵≤t≤3,∴f(x)max=g(3)=2,……10分f(x)min=g()=……11分∴函數(shù)的值域?yàn)椋?］.………12分【失分警示】【防范措施】1.重視對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用恰當(dāng)應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化函數(shù)解析式的目的.例如,本題中均可化為用log2x表示的形式.2.分析復(fù)雜函數(shù)與基本初等函數(shù)的關(guān)系化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路.例如,本題中通過(guò)轉(zhuǎn)化變形最終只要解答t=log2x，g(t)=(t-1)(t-2)兩個(gè)函數(shù)的值域問(wèn)題即可.【類題試解】(2013·黔西南高一檢測(cè))設(shè)函數(shù)y=f(x)且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x).(1)求f(x)的解析式及定義域.(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因?yàn)榻獾?<x<3，所以函數(shù)的定義域是(0,3).因?yàn)閘g(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),所以lgy=3x(3-x),所以y=103x(3-x).(2)令u=3x(3-x)，則y=10u.因?yàn)閡=3x(3-x)=-3［(x-)2-］,且x∈(0,3),所以u(píng)∈(0,］，又因?yàn)楹瘮?shù)y=10u在(0,］上是關(guān)于u的增函數(shù),所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,］.1.若log2a<0,()b>1，則()A.0<a<1,b<0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.a>1,b>0【解析】選A.∵函數(shù)y=log2x在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴由log2a<0=log21,得0<a<1.∵函數(shù)y=()x在(0，+∞)上為減函數(shù)，∴由()b>1=()0,得b<0.2.函數(shù)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【解析】選A.由得-1<x<1.所以函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1).f(－x)＝loga(1－x)－loga(1+x)=-［loga(1＋x)－loga(1－x)］=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).3.函數(shù)的定義域?yàn)?)A.(0，+∞)B.［1,+∞)C.［3,+∞)D.(0,3)【解析】選B.由log3x≥0得log3x≥log31,故x≥1.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞).4.函數(shù)y=2+log2x(x≥1)的值域是______.【解析】∵y=log2x在［1,+∞)上是增函數(shù),∴由x≥1得y=log2x≥log21=0,y=2+log2x≥2,∴函數(shù)y=2+log