數(shù)字信號處理答案第九章

N

（X[2] 448W2W2ej8

ej 和每個輸出樣本之間的路徑也只有1條。分別是：W0，W2，W X[2]x[0]W0Lx[7]W2N NN

Nj2Nx[n]e 9.69.4.2節(jié)中曾斷言,FFTFFT算法的流圖.本習(xí)題的目的就是對基2FFT算法推導(dǎo)出這儀結(jié)論.XmpXm1pXm1NXmqXm1pXm1qWN從這些方程入手,證明利用圖P9.6-2所示的蝶形圖可由Xmp和Xmq計算Xm1p和Xm19.20的按頻率抽取算法中Xvrr0,1,LN1DFTXk,X0rxrr0,1,LN1為正常位序排列的輸入序列.如果圖9.20中的每個蝶形都用圖P9.6-2形式的適當(dāng)?shù)蝸硖娲鷦t所得結(jié)果就是由DFTXk(倒位序)來計算序列xn(正常位序)的流圖.畫出當(dāng)N=8時所得圖1 1 x Nk

k 0,1,L, NNNXk

xnWkn

k0,1,L,NX

p1

p1

qWNmNmXm1q

Xm2

Xm2XmpXm1pXm11

p1XqWr1Xp1XqWr N NXmNXmqXm1pXm1qWN1

1X

r

X

1X

r Xm

N N因此可P9.6-2所示的蝶形圖可Xmp和Xmq計算Xm1p和Xm1q.1W01W0NN1N0N0NN1W02NN11N

QXk

NNN

N xnW

Nxn的IDFT可將(b)中圖的輸入Xk相應(yīng)變?yōu)閤n,kn;再對整個圖作共軛,N(N=8),xn相應(yīng)變?yōu)閄knk將(c)圖中做相應(yīng)的變換可以得到與圖9.10相同的圖

9.19N為偶數(shù)時，N

j( NDFT j(X[k]＝Ne4 j( j(解：因為已知當(dāng)N為偶數(shù)時，N點(diǎn)序列 的N點(diǎn)DFT j()X[k]＝Ne4

j(N

，0n2Nj(

)(nN

j()(n22NnN2N

j()n2j(NeNe N為偶數(shù)ej(Nj()(nN

j( y[n] 0nN＝x[nN Nn2N y[n2NDFT N 2N DFT{y[n]} x[n]Wnk 2 2N

N

nx[n]Wnkx[n]W(nN

2

2WnkW2

[xnW2

[xnW20j

2X(e2N

2X2 2X

j2Nk

j

k)( 4 N

Xm[p] [p]Wr

NXm[q]Xm1[p]WrXN由碟形計算所得出的實數(shù)不大于1。

p]12

[q]2Re{Xm[p]} Im{Xm[p]}和Re{Xm[q]} Im{Xm[q]}和

[p]}12

[p]}2

[q]}12

[q]}2N解：（a）FFT算法中，有如下的方程組：NXm[p]

[p]Wr

X[q] [p]W N Xm1p]2Xm1[q]2 Xm[p]Xm1[p]WrXm1[q]Xm1[p]WrXm1 NWr1NXm[p]Xm1[p]WrXm1[q]Xm1[p]WrXm1 Xm1[p]Xm1[q]Xm[q]1 Re{Xm[p]}1， Im{Xm[p]}1和Re{Xm[q]} Im{Xm[q]}和

[p]}12

[p]}2

[q]}12

[q]}2NNNNRe{Xm[p]}

[p]}Re{Wr

[p]}

[p]}Re{Wr

[[p]}Re{Wr [p]}1Re{Wr [p]}1Re{Wr [ 實部和虛部都取0.49時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，實部的最大值可為0.7，大于0.5）]}]}2DFT(N為偶數(shù))DFTXkk0,2,LN用時間混疊構(gòu)成序列ynxnxnN 0nNyn

2 2 假設(shè)我們用下式由序列xn構(gòu)造一個有限長序列

xnrM

0nMr 確定M點(diǎn)DFTYk與xn的 變換Xej之間的關(guān)系。證明(a)的結(jié)果Xkk1,3,LN1。解:(a)證明：Xk

NNN

N xnWkn xnW

n2nN2N2

N 2XkxnWknxN

k2m2N2

NN

mWN N

xN

2W

k j2k當(dāng)k為偶數(shù)時WN2 2N N1 XkxnWkn2 mWN

xn

nn0 N NynWN YkXkNr

N

N2NNr

N xnW

rrNr

Nm

Nr

r r1Nm xnWnk L

n0

n0 N j2N j2W N N若k a為整NNN則WN

N

r

xn nL n0N

xnrMn0rN

kr xnrMWNrn0r rrr NN

Xk

NNN取k2r1，r 2NN那么X2r1xnWN2

Nx[n]WnrWnx[n]WnrW N

n 2(x[n]x[n2(x[n]x[n2])Wn0 DFTX[k是(x[nx[nN])WnNDFT 虛部分別記作XR[kXI[k]X[k]＝XR[k]＋jXI[kx[nk0,1,2...N1XR[k]＝XR[NkXI[k]＝XI[Nk]x1[nx2n]，它DFT分別X1[kX2[k]g[n是復(fù)序g[n]＝x1[n]＋jx2nDFT為G[kGR[k]jGI[k。如象式（8.96）定義的那樣，令GOR[k]、GER[k、GOI[k和GEI[k]分別表示G[k]

[k]＝1

[NkG[k]＝1{G[k]

[Nk G[k]＝1{G[k]G[N G[k]＝1{G[k]G[Nk 并且GOR[0]＝GOI[0]0，GER[0]＝GR[0]，GEI[0]＝GI[0]。求利用GOR[k]GER[k、GOI[k和GEI[kX1[kX2k的表示式N2v2FFT程序來計DFT。在以下幾種情況下求出計算X1[k]和X2k]所需要的實數(shù)乘法和實數(shù)加法的次數(shù)：（i）n=0,1,2,，(N/2)

x[n]是長度為N的實序列，而x[n]的N點(diǎn)DFTX[k]X[k]＝XR[k]＋jXI[kDFT{xep[n]}Re{X[k]}XR[kDFT{xop[n]}jXI[k] xep[n]2{x[n]x[((n))N

[n]1{x[n]x[((n))N

[n]}1{X[k]X[Nk]}

[k

2I[n]}1{X[k]X[Nk]}I2

[k X[Nk]1{X[Nk]X[k]}

[kRjX

2I[Nk]1{X[Nk]X[k]}I2

[kXI[k]＝XI[Nk]（b）G[kX1[kjX2k{X1R[k]X2I[k]}j{X1I[k]X2R[k{GER[k]GOR[k]}j{GEI[k]GOI[k又QDFT{g[nG*[((kGR[Nk]jGI[Nk{GER[k]GOR[k]}{X1R[k]X2I[k]}

j{GEI[k]GOI[kj{X1I[k]X2R[kX1R[k]X2I[k]GER[k]GOR[k1R[k]X2I[k] [k]

[k XX

[k]

2R[k]

[k]

[kX1I[k]X2R[k]GOI[k]GEI[k X1[k]X1R[k]jX1I[kGER[k]jGOI[kX2[k]X2R[k]jX2I[kGEI[k]jGOR[k使用該程序兩次，每次計算NDFT，由于輸入序列是實序2N2N次實數(shù)加法，以后4N次實數(shù)乘法和（2N＋3N/2）次實數(shù)加法（一次復(fù)：次當(dāng)輸入N2N3N次Qx[n]x

N X[k]x[2n]Wnk x[m]W1n2

m0(且為偶數(shù)NN N

N

n N

m1(且為奇數(shù) X2[k]WNX1[k [n]WNX[k]（k 1,X1[k]n X2[kN/2kN,LN1的值2又令g[n]x1[n]jx2n]；那么由（b）的推證可知：X1[k]GER[k]jGOI[kX2[k]GEI[k]jGOR[k3Nv2NX[k4NNv6NNv6N2N 29.32在這個習(xí)題中我們研究只用一次N點(diǎn)序列之DFT的法，因為我們只考慮有限長序列，所以正如在8.7.4節(jié)中定義的一樣，可以用對稱和稱清楚的表明周期對稱和周期稱，令x1[n]，x2[n]，x3[n]和x4[n]分別表示4個長度為N的實序列，并且令和x4[n]是稱的，即對于n=1,2,…,N-1,x1[n]x1[Nx3[n]x3[N和X3[0]=X4[0]=0

x2[n]x2[Nn]x4[n]x4[Nn]X3[k]若(a)中定義的是一個實序列，并有對稱部分x1[n]和稱部分x3[n]，同樣我們定義實序列y2[n]=x2[n]+x4[n]y3[n]是復(fù)序列y3[n]=y1[n]+jy2[n]首先求如何由Y3[k]來計算Y1[k]和Y2[k]，然后利用(a)的結(jié)果證明，如何由Y3[k]得到X1[k],X2[k],X3[k]和(b)NDFT4個實DFT，其稱的情況，即對于n=0,1,…,N-1,xi[n]xi[N

iu3[n]x3[((n1))N]x3[((n1))N是一 稱序列，即當(dāng)i1,2,3,L,N1時u3[nu3[Nn，且u3[00令U3[k表示u3[nNDFT。求利用X3[k表示U3[k分，而u3[n]是y1[n]的稱部分。求如何由Y1[k]來恢復(fù)X1[k]和U3[k]？u3[n]x3[((n1))N]x3[((n1))Nu4[n]x4[((n1))N]x4[((n1))N],],jX[kXj

變換X1(ej) 2A1() j列的變換X(ej) 2jB()（其中A()和B()為實函數(shù)可得3j2N

3j2N

k Y1[k] N2A1N

k) N2jB3N

k)1

k)jB3(

kX1[kX3[k]X[k1kA2kReY[k]X[kj1kB2kjImY[k] 1 3 3312然后分別：； X1[kX2[k為實序列；X3[kX4[k為純虛序列x3[nx3[Nnx[((n))Nx[((Nn))Nx[((n))N u3[Nn]x3[((Nn1))N]x3[((Nn1))N]x3[((n1))N]x3[((n1))Nx3[((n1))Nx3[((n1))N]u3[nn0時，上式化為u3[Nu3[0]，注意到u3[Nu3[0]，故只有u3[0]0由u3[nx3[((n1))Nx3[((n1))N得U[kWkX[kWkX[kWkWkX[k X[k]ReY[k]，U[k]

U3[k 。11313WkWWkW X[kReY[k]，X[kReY[k]，X[kjImY1[k [kjImY[k] WkWk，X WkW9.33令xn和hn

xnhn

當(dāng)n在區(qū)間0nL1之外時；當(dāng)n在區(qū)間0nP1我們希望計算序列ynxnhn，這里“”號表示常規(guī)卷積序列yn當(dāng)直接計算卷積和時，計 yn全部的非零樣本需要多少次實數(shù)乘法？下述等

Nkk

NN。2說出用DFT來計算yn全部非零樣本的方法，求用L和P表示的DFT和IDFT的LPN2N2vDFT的