四年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)第14講：牛吃草問(wèn)題 (有答案)

第講牛吃問(wèn)題英國(guó)大科學(xué)家牛頓曾經(jīng)出過(guò)一道饒有趣味的題目就是著名的“牛吃草題又“牛頓問(wèn)題”。什么是牛頓問(wèn)題?完今天所講的內(nèi)容，你就知道了。例1牧上有一片青草，天牧草都均勻生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛20天，或者可供頭牛10天。問(wèn)：可供25頭牛幾天？分：題意可知，牧場(chǎng)上原有的青草量是一定的，每頭牛每天的食草量也是一定的，但是新草的總量卻是隨著時(shí)間變化著的長(zhǎng)的草雖然在變化因是勻速生長(zhǎng)所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的頭牛20天吃草量是由原有草量和20天長(zhǎng)的草量?jī)刹糠纸M成15頭10天吃草量是由原有草量和10天長(zhǎng)的草量?jī)刹糠纸M成此要解決問(wèn)題必須設(shè)法計(jì)算出原有草量和每天新長(zhǎng)的草量道兩個(gè)量后就可以求25頭吃幾天了。解：1牛每天吃的草為份，那么頭20天草量=原草量天新長(zhǎng)的草=×（）頭10天草量=原草+10天長(zhǎng)的草=15（）從上面兩式可以看出10天長(zhǎng)的草是－（）。此每天新長(zhǎng)的草50÷（）則原有草：200×20=100（份）因?yàn)槊款^牛每天吃草，為了方便解題，先讓25頭中的5頭每天長(zhǎng)出來(lái)的份青草，這樣每天長(zhǎng)的青草每天都被吃光，這時(shí)我們只要考慮原有的草被剩下的0頭多天吃光就可以了?！?5－5（天）答：這片草地可供頭牛吃5天說(shuō)：題時(shí)要注意：每天新長(zhǎng)出的草量是通過(guò)已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來(lái)的。在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。也可以像上面那樣計(jì)算。在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)的草，把變轉(zhuǎn)化為不變使題簡(jiǎn)單。其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2有水池，池底有泉不斷的涌出。要想把池水抽干10臺(tái)水機(jī)需抽8小時(shí)8臺(tái)抽水機(jī)需抽12小時(shí)如果用6臺(tái)水機(jī)需抽幾小時(shí)？分從表面上看沒(méi)牛草題的質(zhì)就是牛吃草問(wèn)題池的原有水量一定，即原有草量一定不斷地以勻速涌出當(dāng)于新長(zhǎng)的草機(jī)水就相當(dāng)于牛吃草。所以可以用例的方法解答。解：抽水機(jī)每小時(shí)抽水，那么：臺(tái)水機(jī)8小抽水份=池中原有水量小時(shí)的泉水涌入量抽水機(jī)12小時(shí)抽水96=中原有水量＋12小時(shí)的泉水涌入量泉水（12－）=4小的涌入量為－。所以每小時(shí)泉水涌入量為÷（）池中原有水－×（）現(xiàn)用臺(tái)抽水機(jī)抽水因?yàn)槊啃∮咳肴?份以有抽水機(jī)專門負(fù)責(zé)抽涌入的新水，剩下的臺(tái)抽水機(jī)抽池中的份原有水。需用：÷（時(shí)）答：用抽水機(jī)需抽24小。例3由天氣逐漸變冷，場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛5天，可供15頭牛。照此計(jì)算，可供11頭吃幾天？分：過(guò)讀題發(fā)現(xiàn)與例同的是草是在勻速的生長(zhǎng)而是在勻速的減少是思考方法與例同。只不過(guò)這時(shí)草地上原有的草量等于牛吃的草量與自然減少的草量之和。解：1牛每天吃的草為份，那么頭天吃草量=有草量減少的草=20×（）頭天吃草量=有草量減少的草=16×（）從上面兩式可以看出1天減少的草量是100－（份）。即每天草地上原有的草自然減少。則原有草：100×（份）因?yàn)槊款^牛每天吃草了方便解題每自然減少的4份草量看成有4頭在吃，再加上原有的11頭牛每天實(shí)際減少的草量相當(dāng)于有114=15頭吃。所以可供÷11＋4（天）答：這片草地可供頭吃8天說(shuō)前面3道題可以看出解決吃草問(wèn)題的關(guān)鍵就是通過(guò)假設(shè)每頭牛每天吃草量為1份來(lái)確定原有草量每生長(zhǎng)的草（減少的草量）后讓一些牛專門負(fù)責(zé)每天變化的草量，使問(wèn)題變成“一些牛幾天吃完原有的固定草量”，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。例4一草地每牧草都勻速生長(zhǎng)果頭牛12天完所有的草如8頭吃，天完所有的草?，F(xiàn)在，開(kāi)始只有牛，從第天起又增加了若干頭牛，再用6天吃完所有的草。問(wèn)增加了多少頭牛？分：道題在基本的“牛吃草”問(wèn)題的基礎(chǔ)上加了一小變化。但解題方法類似，確定原有草量與每天新生長(zhǎng)草量的方法相同，只是后邊需要一些小的技巧。解：1牛天吃草量為1份則每天新長(zhǎng)出來(lái)的草量為：（8－9）÷（16－12）=5份）草地原有草量為：8－×（份）現(xiàn)在考慮前6天只有4頭吃，這4頭連每天新長(zhǎng)出來(lái)的草都吃不光，到第天時(shí)草地上的草的數(shù)量沒(méi)有減少，反而增加了－4）×（份）。第時(shí)草地上有草（份）所以后吃的草量為×（）后把草吃完的牛的頭數(shù)是84（）因此增加了－4=10頭）答：從第天起增加了頭。例5有片青草每天生長(zhǎng)的速度相同知這片青草可供15頭牛吃20天或者供76只羊吃天，果一只牛的吃草量等于羊的吃草量，那么8頭與64只一起吃草，可以吃多少天？分：題中既有牛又有羊?yàn)榱撕?jiǎn)便通過(guò)較所吃的總草量來(lái)求出每天生長(zhǎng)的新草量和原有的總草量，我們可以先根據(jù)已知條件“一頭牛的吃草量等羊的吃草量”已知條件“牛吃20天”轉(zhuǎn)化成“羊吃20天”，統(tǒng)一以羊的吃草量為標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)把條件“8牛與只羊一起吃”轉(zhuǎn)換成只羊一起吃”，這樣就可以用前面的解法了。解：每只羊每天吃草量為1份則每天出的新草量為：（15×4－×）÷－12）（份）原有的總草量為：×12×12=480（份）牛與64只的吃草量相當(dāng)于96只的草量以從只羊中選出只吃掉每天新長(zhǎng)的草，剩下的只草地上原有的草。則共需：÷60=8天）答：8頭與只羊一起可以吃天說(shuō)：題還可以統(tǒng)一成以牛的吃草量為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你試做！例場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以均勻的速度由下而上的行駛著妹倆人從扶梯上樓每鐘走級(jí)妹分鐘走15級(jí)結(jié)兄鐘到達(dá)樓上，妹鐘到達(dá)樓上問(wèn)自動(dòng)扶梯共有多少階？分：個(gè)問(wèn)題是牛吃草問(wèn)題的另一種敘述形式為上樓的速度可分為兩部分一部分是兄妹自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。兄5分鐘走了×（），妹6分鐘走了156=90（級(jí)）。妹比兄少走10級(jí)到達(dá)了樓上，但多走了分鐘，說(shuō)明自動(dòng)扶梯1分鐘可向上行級(jí)于是自動(dòng)扶梯共有(20＋10)×5=150(級(jí))解：動(dòng)扶梯每分鐘走：（20×5×6）÷－5）=10級(jí)）自動(dòng)扶梯共有：×5=150（級(jí)）答：該自動(dòng)扶梯共有級(jí)。說(shuō)：牛吃草”問(wèn)題的解法都有相似之處，掌握后也比較簡(jiǎn)單，但一定要能區(qū)分出它的各種敘述的形式實(shí)質(zhì)內(nèi)容以解決問(wèn)題是一吃”問(wèn)題的不同敘述形式，但意思相同，所以解題時(shí)讀懂題意最關(guān)鍵。閱材音里數(shù)人人都愛(ài)音樂(lè)，古今中外，皆莫能外。我國(guó)古代孔子就把音樂(lè)作為“六藝”之一，規(guī)定他的學(xué)生都必須掌握多學(xué)也都很喜歡音樂(lè)數(shù)學(xué)家歐拉甚至還發(fā)表過(guò)一篇用數(shù)學(xué)來(lái)研究音樂(lè)的論文對(duì)學(xué)來(lái)說(shuō)文音樂(lè)化了音家來(lái)說(shuō)又太數(shù)學(xué)化了。以致大家都不容易看懂。年，湖北隨州擂鼓墩曾侯乙墓出土了一套共65口鐘被稱為“曾侯乙鐘”。這套埋于地下多年的古代樂(lè)器，總重超過(guò)5噸，音域達(dá)五個(gè)，其音階結(jié)構(gòu)與現(xiàn)代大調(diào)系同一音列且十二個(gè)半音備用套編鐘可以演奏古今中外各種樂(lè)曲被外國(guó)人稱為“世界第八奇跡”。過(guò)去，西方總認(rèn)為中國(guó)的七聲音階形成晚于希臘，中國(guó)的七聲音階是“舶來(lái)品”，因?yàn)橹袊?guó)古代音樂(lè)主要用五聲音階（“宮、商、角、徵、羽”，即只有1、2、、56”五音而無(wú)，“、”這兩個(gè)偏音。）其實(shí)，在《周語(yǔ)》中就記錄了十二音的專名：黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓、林鐘、夷則、南呂、無(wú)射、應(yīng)鐘、半黃鐘、……。且這些音可“分損益法”求出各音這比希臘的畢達(dá)哥拉斯的同樣的理論早一百多年。這說(shuō)明我國(guó)七聲音階發(fā)明很早侯乙鐘則以實(shí)物證明了我國(guó)古代音樂(lè)理論的發(fā)展水平極高證明了我國(guó)古代的樂(lè)律與西方樂(lè)律是互相獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的。既是獨(dú)立發(fā)展起來(lái)為什么不象獨(dú)立發(fā)展起來(lái)的語(yǔ)言文字那樣差異極大是那樣接近，以致年的中國(guó)樂(lè)器可以毫無(wú)困難地演奏現(xiàn)代西洋音樂(lè)呢？這與樂(lè)音的數(shù)理特性有關(guān)。聲音由振動(dòng)產(chǎn)生振動(dòng)頻（每鐘振動(dòng)的次數(shù)決音的高低相8度的兩（例如鋼琴上的C1”與“C2或唱的1與“i”），后者間頻是前者的倍而波長(zhǎng)則是前者的）這樣的兩音最相似，最和諧，這在古今中外，皆莫能外。年，物理學(xué)家規(guī)定G1次秒，后被定為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音。在西洋首創(chuàng)的鍵盤樂(lè)器（如鋼琴上，一組完整的音包括七個(gè)白鍵五個(gè)黑鍵共12個(gè)低同的音，按由低向高順序排列為：C、、、#D、、、、G#GAB、#c、d、。在此序列中音音頻都等于它前一音的音頻乘以一個(gè)常數(shù)q則除以q若記“”的音頻為n，則“c”的音頻為2n于是這就得到各音的音頻與“C”的音頻的比值表：這樣的規(guī)定極易轉(zhuǎn)調(diào)，以任何一個(gè)音作為”，都可輕而易舉地轉(zhuǎn)調(diào)，此即十二平均律在國(guó)是明代朱載育首先提出該理論在西歐則首先由巴赫用于實(shí)踐鍵音樂(lè)則是依據(jù)十二平均律作成。我國(guó)古代的弦樂(lè)計(jì)算弦長(zhǎng)則依據(jù)“三分損益法”，由上表可C分音G的頻約為的1.5倍即G的長(zhǎng)約為C的，就是“三法”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（“損益”即減少與增加，“1”的波長(zhǎng)減其

就是“5的波長(zhǎng)，加其

就是“”的波長(zhǎng)）。此G”音的3個(gè)波長(zhǎng)等于音個(gè)波長(zhǎng)這樣的兩個(gè)音也很似和諧程僅次于8度）用這樣的辦法，找到G音后，再用G的頻的倍波為）得“”音。“音頻的一米就是”。D”音頻的倍是“A”，依次推算，即得12的音頻倍數(shù)表：（相應(yīng)的波長(zhǎng)比為C∶D∶GA∶∶∶54）這樣的音律演奏起來(lái)曲調(diào)優(yōu)雅，但變調(diào)性較差，我國(guó)的琵琶、笙、笛、簫等多用“三分損益法”制造。注意到二者的差別不大這點(diǎn)別，人耳是很難區(qū)別清楚的。由此可知中國(guó)的樂(lè)器演奏西洋音樂(lè)時(shí)不會(huì)遇到很大的困難。由此可見(jiàn)，華夏文化之淵遠(yuǎn)流長(zhǎng)、博大精深。練題．牧場(chǎng)上有一片青草，可以共頭牛吃，供頭牛吃9天如果每天牧草生的速度相同，那么這片牧草可以供頭吃幾天？分與答設(shè)頭牛每天吃的草為1份那么頭天吃草量=有草量新長(zhǎng)的草=27×（）頭天吃草量=有草量新長(zhǎng)的草=23×（）從上面兩式可以看出3天新長(zhǎng)的草量是207－162=45份）。因此每天新長(zhǎng)的草45÷3=15（份則原有草：20715（份）因?yàn)槊款^牛每天吃草，為了方便解題，先讓21頭中的頭吃每天長(zhǎng)出來(lái)的15份青草樣天長(zhǎng)的青草每天被吃光時(shí)我們只要考慮原有的草被剩下的6頭多少天吃光就可以了?！拢?1－15）（天）答：這片草地可供頭牛吃12天。．一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4方米的水，如果打開(kāi)5個(gè)龍頭小30分能水池水放空，如果打開(kāi)8水頭，1時(shí)30分能將水池水空，現(xiàn)在打開(kāi)個(gè)龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能將水放空？分與答先計(jì)算個(gè)龍頭每分鐘放出水量。時(shí)30分時(shí)分多60分，多流入水×（立方）時(shí)間用分鐘作單位，個(gè)龍頭每分鐘放出水量是÷5×1508×90）=8（立方米）水龍頭1小時(shí)30分出的水量為88立方米90分鐘流入的水是×90立方米，因此原來(lái)水池中存有水××－×（立方米）打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水×方米，除去每分鐘流入的4立米，其余的將放出原存的水，放空原存的5400立方米的水，需要：÷×－）=54（分鐘）答：打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54分。．有一池泉水，泉底不斷的涌出泉水，且每小時(shí)涌出的泉水一樣多。如果用部水機(jī)時(shí)能把全池水抽干；如果用臺(tái)抽水機(jī)6小能把全池水抽干。那么用14部抽水機(jī)多少小時(shí)能把全池泉水抽干？分與答設(shè)抽水機(jī)每小時(shí)抽水1份那么：抽水機(jī)10小時(shí)抽水80=中原有水量＋10小時(shí)的泉水涌入量臺(tái)水機(jī)6小抽水份=池中原有水量小時(shí)的泉水涌入量泉水小時(shí)的涌入量為8072=8份所以每小時(shí)泉水涌入量為84=2（份）池中原有水－×（份）現(xiàn)用14臺(tái)抽水機(jī)抽水，因?yàn)槊啃r(shí)涌入泉水份所以有2臺(tái)水機(jī)專門負(fù)責(zé)抽涌入的新水，剩下的12臺(tái)水機(jī)抽池中的60份有水。需用：÷（）答：用14臺(tái)水機(jī)需抽小時(shí)可將全池的泉水抽干。．由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。已知某塊地上的草可供33頭吃天，或可供24頭牛吃天照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天分與答設(shè)頭牛每天吃的草為1份那么頭天吃草量=有草量減少的草=33×（）頭天吃草量=有草量減少的草=24×（）從上面兩式可以看出1天減少的草量是165－144=21份）即每天草地上原有的草自然減少21份則原有草：×（份）因?yàn)檫@片草地要供若干頭牛吃10天，10天地的草將自然減少×（）只剩下270－210=60份）要牛來(lái)吃10天所以需要牛60（頭）答：可以供6頭牛吃10天．有一水池，池底有一個(gè)打開(kāi)的出水口5臺(tái)抽水機(jī)小時(shí)可將水抽完用8臺(tái)水機(jī)小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間能把水漏完？分與答設(shè)抽水機(jī)每小時(shí)抽水1份那么：抽水機(jī)20小時(shí)抽水100份=池原有水量小時(shí)出水口的自然排量抽水機(jī)15小時(shí)抽水120份=池原有水量小時(shí)出水口的自然排量所以出水口5小時(shí)的自然出水量為120－（份）所以每小時(shí)出水口的自然排水量為÷5=4（份）池中原有水1004×（）現(xiàn)在讓出水口自然排光池中的水需÷4=45時(shí)）答：僅靠出水口出水需小將水漏完。6．有三塊草地，面積分別為10公，30公和72公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快如第一塊草地飼養(yǎng)12頭可維持第二塊草地飼養(yǎng)21頭可以維持9周而第三塊草地飼養(yǎng)多少頭牛，恰好可以維持18周分與答草通常是同一片草地上的草給出三塊面積不等的草地。為了轉(zhuǎn)化為我們能解決的問(wèn)題需三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)于三塊地的面積分別為公頃，公頃和72公頃，故可以設(shè)面積[10，30公。于是公草地可×（360）頭)牛吃4周公草地可×（360）（）牛吃9周設(shè)一頭牛一周吃1份，則草地每周長(zhǎng)出的新草為（2529－432）÷（－）=108份）相當(dāng)于可供頭吃一周。這公頃草地原有草432－108）×4=1296（份）從而，360公的草地可供（1296+108×）÷（）牛吃18周于是，第三塊地供180÷（36072=36頭）牛吃18周答：第三塊草地飼養(yǎng)36頭可以維持周7．有一片草，草每天生長(zhǎng)的速度相同。這片草地可供5頭吃40天；或者供頭牛30。如果4頭吃30天，增了頭牛一起吃這片草地可以再吃幾?分與答設(shè)頭牛1吃草量為。則每天新長(zhǎng)出來(lái)的草量為：（5－630（40）（份）草地原有草量為：5－×40=120份）現(xiàn)在考慮前30天有頭吃草，這頭中有2頭吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的份草，剩下的2頭吃草地上原的草，到第31天草地上的草的數(shù)量為：－×30=60（）后來(lái)又增加了2頭，當(dāng)于有4頭吃這剩下的份。所以可以再吃：÷（）答：增加頭牛后，這片草地可以再吃