數(shù)列專題-數(shù)列與不等式(本人)

aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112*nnnnnn1n1

數(shù)列專題——數(shù)列與不等式數(shù)與等數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來的高考熱門問題，與不等式相關的大多是數(shù)列的前n項和問題對于這種問題在解答時需要利用化歸的思想將問題轉化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題．主要考查考生的推理論證能力和分析、解決問題的能力、以及轉化化歸的思想和數(shù)學素養(yǎng)．1【示例】浙江)知公差不為0的等差數(shù)列{}首項a為aaR)，且，，成n124等比數(shù)列．Foruseinstudyandnotforcommercialuse11(1)求數(shù)列{a}通項公式；(2)對n∈N，試比較＋＋＋…＋與的大?。畁223解

1設等差數(shù)列{}公差為d題意可知·即a＋)＝a(a＋d)從而a＝d.因為d≠0，所以d＝a＝a.故通項公式a＝na.1n(2)記T＝＋＋…＋，因為a＝a，所以T＝＋＋…＋n2n111＝·＝當a＞0時，＜；當＜時，T＞.a1－本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項公式、等比數(shù)列的求和等基礎知識，同時考查運算求解能力及推理論證能力．【訓練】知數(shù)列{}各項均為正數(shù)S為其前n項和對于任意的n∈N滿足關系式Snn

n＝3a－3.n1(1)求數(shù)列{a}通項公式；(2)設數(shù)列{}通項公式是b＝，前n和為T，a33＋求證：對于任意的正數(shù)n，總有＜1.n(1)解

＝3a－3由已知得＝－－－

n≥．故2(－S＝2a＝－，即＝3a(n≥．nnnnn不得用于商業(yè)用途

nn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn＋c*35k－21*2*2故數(shù)列{}等比數(shù)列，且公比q＝3.n又當n＝1時，2a＝3a－，∴＝，∴＝11n

.(2)證明∵b＝n

111＝－.nn＋1∴T＝b＋＋…＋＝＜1.＋數(shù)綜以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體，考查函數(shù)與方程、等價轉化和分類討論等數(shù)學思想方法，是新課標高考數(shù)列題的一個重要特點，因試題較為綜合，故難度一般較大．3＋【示例】(2011·天津知數(shù)列{}{}足b＋b＝(－2)＋，b＝，nnn∈N，a＝2.1(1)求a，a的值；(2)設c＝a－232＋1n1

，∈N，證明{}等比數(shù)列；nSS1(3)設為{}前n項和，證明＋＋…＋＋≤－(n∈N)．1n(1)解

由b＝n

3＋n為奇數(shù)，，n∈N，可得＝n偶數(shù).又b＋b＝(－2)nnn1

＋1，3當n＝1時a＋2a＝－1由a＝2，可得a＝－；112當n＝2時2a＋a＝，可得＝23(2)證明對任意n∈N

，a

＋2a＝－2－2n

＋，①2a＋2n1

＝2＋②②－①，得a

2

1

－a2

1

＝3×2

n1

，即c＝×n

2

c，于是＝n所以{}等比數(shù)列．n(3)證明a＝2，由2)知，當∈N且≥2，1a

＝＋(a－)＋(－a)(a－)…＋(a2113

－2－2k3

)2＋＋2＋…＋

2

－

3

)＋3×

21－4

1

＝2－，故對任意k∈N，a

2－

＝2

－

1

由①得

2

1

＋2a＝－22k

2

1

＋1，1所以a＝－22

2

，k∈N，因此，S＝(＋＋(＋＋…＋(a234

2

k＋a)＝12k不得用于商業(yè)用途

22＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－122＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－1－－＋－＋4444－14－14－1412＋＋.nn于是，S

k－1＝S－a＝＋2222k

21

.k－1SS2－1＋2k故＋＝＋＝－＝1－－.a－2－44－12222所以，對任意n∈.SSSS24a2n1a

Sa

22

＋12n222＋…＋nn222－…－n114－112本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法，難度較大．在數(shù)列

n

a

，

，

nN

*

．（Ⅰ）證明數(shù)列

列（Ⅱ）求數(shù)列

n

n和

；（Ⅲ）證明不等式

，對任意nN*皆立．（Ⅰ）證明：由題設

得n

4()，nNn

*

．

所以數(shù)列

，且公比為

的等比數(shù)列．n（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a．n

a4n

n

，于是數(shù)列

n

式所以數(shù)列

n

n和Sn

4nn(n3

．不得用于商業(yè)用途

22n132a僅供個人參考22n132a（Ⅲ）證明：對任意的

nN

*

，S

4n(n3

(n3

1(3n4)02

．所以不等式

，對任意nN*皆立．設列

{}前n項和為，1,n1n

Sn

2(

。（1）求證：數(shù)列{}等差數(shù)列，并分別求出、S的表達式；nn11（2）設數(shù)列{}的前n項為T，求證：T；annS（3）是否存在自然數(shù)使(n20093在,請說明理由。

？若存在，求出n的；若不存又易知

T

單調遞增，故

T

11，得554(3)由

S2n(1)n

得

n

S1

SSn

(n

2

15

(2(1)

2=

n1

……分由

22009

，得即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005.三、數(shù)列與不等式綜合問題例3已知數(shù)列，，12其前項和為S，且當時，nn不得用于商業(yè)用途

，記數(shù)列為n，證明對于任意的正整數(shù)，都有成立．8

nn1nnn僅供個人參考nn1nnn解析Snnnnnn

，所以(．n又由S，，可推知對切正整數(shù)2n均有，所以數(shù)列列．n所以S

.當n時，

又a，1所以a3

.時，aa此時ba又b，37所以b，，88

n當，bn41T)247)4n8意數(shù)n都b，n以T增即n1數(shù)，列，

b，若數(shù)列

11(nnNbb2nbb34n

*

)b：nn(n*10)(1))(nNa32n不得用于商業(yè)用途

*

n僅供個人參考n解析，b4由bbnnnbn

112證明：因為()(n且nN*，bbba11所以，n，bbbbbbbb2n12aa所以nnnbbbbnnann(且n*．a(chǎn)b113證明：由2知(1))aaaa12aaa212bb1223aabb23n2122(，31211而)，bbb32n1)(1)(1)2(．a(chǎn)12n

12k當k時，2

2k),k不得用于商業(yè)用途

1所321112[()))]223222n1)，32n3110所以(1)(1)(1)aaa

僅供個人參考僅供個用學習、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweck