數(shù)學(xué)(理)專家講壇 巧用斜率妙解題及突破圓錐曲線中的三個(gè)難點(diǎn)問題

5－，4C.－，5－，4C.－，222222，巧用斜率妙解題及突破圓錐曲線的三個(gè)難點(diǎn)問題一、巧用斜率妙解題巧用一利用斜率求參數(shù)的取值圍利用斜率的幾何意義可以求類似斜率形式的最值問題[例1]設(shè)A(－2,3)B，若直線＋＋＝與段沒交則a取值范圍是()－∞，－∪，＋∞3223－，－∪，∞[解析]直線＋y＋2＝恒點(diǎn)M(0，－2)，且斜率為－，∵k＝MA

－5＝－，－2k＝MB

－5＝，由可知，－－且a<，－33∴a－，.[答案][點(diǎn)評(píng)]本題之妙在于借助圖形的直觀性，建立關(guān)于參數(shù)的等式求解．巧用二利用斜率求函數(shù)或線性劃問題y－b－b對(duì)形如的數(shù)，在求其最值，可以將看成動(dòng)(x，y)定點(diǎn)a)所在直線的x－a－a斜率，先利用條件求得直線斜率的取值范圍，進(jìn)而得到所求函數(shù)的最值．－1x[例2]函＝的域．－[解析]設(shè)－x＝，有＋y＝≥，即點(diǎn)(x，y為半1y圓x＋＝1(y≥上的點(diǎn)z＝所z可成(x與點(diǎn)4,1)－所在直線的斜率．如圖所示，可得斜率的取值范圍為，.所以函數(shù)z的域?yàn)椋?[答案]

3

2222y＋1，[例3]如實(shí)數(shù)x，y滿足條1≥0x＋y＋10，

x＋2y－5則的值范圍．x－1[解析]作出可行域圖所示知(xy在△內(nèi)部及其x＋2y－5－y－邊界，＝＝3＋2·，的何意義是x－1x－x－x－動(dòng)點(diǎn)(y與定點(diǎn)(1,1)連線的斜率．由圖可知，－與(連線的斜率最大，且值為2(－與(1,1)連線的斜率最小，且值為，所以y－－1≤≤2所以≤＋2·≤x－－1[答案][4,7][點(diǎn)評(píng)相關(guān)問題．

以上兩題妙處在于利用數(shù)形結(jié)合的思想，將求值域的問題轉(zhuǎn)化為求直線斜率的巧用三利用斜率證明三點(diǎn)共線我們知道，如果三點(diǎn)A，B，在一條直線上，那么直線AB的率直線斜率相等．利用這一個(gè)特征，我們可以借助直線的斜率證明三點(diǎn)共線．[例4]已三點(diǎn)A(1，－1)，B(3,3)，(4,5)求證：A，B，三在同一條直線上．[證明]法一因?yàn)锳，－1)，(3,3)C(4,5)得k＝，＝2，所以k＝，故ABBCABBCA，B，三共線．法二因(1，1)(3,3)C，|＝＝AC＝，所AB＋＝|AC，A，B，三共線．[點(diǎn)評(píng)]本題解法一之妙在于將共線問題轉(zhuǎn)化為求證斜率相的問題，減少了計(jì)算量．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精準(zhǔn)計(jì)算與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題與幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合．巧用斜率公式是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用．二、突破圓錐曲線中的三個(gè)難點(diǎn)題突破難點(diǎn)一：圓錐曲線中的定點(diǎn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)．x[例1]在面直角坐標(biāo)系xOy中如圖，已知橢圓＋＝的5

22222222222222122229m11x1122111221122222222222222222122229m11x11221112211222左，右頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)t，m的直線TATB與橢圓分別交于點(diǎn)M，1y)，(x，)，其中>0，y，y<0.1222(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足－PB＝4，求點(diǎn)P的跡；(2)設(shè)x＝，x＝，點(diǎn)的標(biāo)；13(3)設(shè)t＝，求證：直線MN必過x軸的一定(坐標(biāo)與無關(guān))．[]由意得A－，B(2,0)．設(shè)P(x，y)，則＝－＋，＝(－3)＋y由|－|＝，得－2)＋y

－(x－3)

－y

2

＝4，化簡得x＝故所求點(diǎn)的跡為直線＝x55(2)由x＝，＋＝1及y，得＝則點(diǎn)2，15而直線AM的方程為y＋1y20120由x＝，＋＝1及，得y＝，點(diǎn)N，－，從而直線BN的程為2395295＝x－.2由

x＋1，5y＝x－，2

，解得y＝.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為7m(3)證明：由題設(shè)知，直線的方程為＝x＋3)，直線m方程為y＝－3)．＋點(diǎn)M，滿11＋＝，得

－33＝－

，x－mx＋3因?yàn)閤≠3，則＝，19125－3m解得x＝，180m

2m2222222222222222222m22222222222222222240m從而得y＝.180m－32點(diǎn)(x，滿足y22＋＝1x≠，2－解得x＝，＝220m2＋－3m－若x＝，則由＝及得＝210此時(shí)直線MN的程為x＝，1280＋m20＋過點(diǎn)．若x≠，則≠，12＋10m直線MD的率＝＝，MD240－－1＋－＋10m直線ND的斜率k＝＝，ND3m2－－120＋m得k＝，所以直線MN過D點(diǎn)MD因此，直線MN必過x軸的點(diǎn)．[點(diǎn)評(píng)

化解這類難點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．突破難點(diǎn)二：圓錐曲線中的定值題圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想以用變量表示問題中的直線方程量積比關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值．[例2]已拋物線y＝x焦點(diǎn)為F直線l過M(4，0)．(1)若點(diǎn)F到線l的離為，直線l的斜率；(2)設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且與x軸直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)，求證：線段AB中的橫坐標(biāo)為定值．[解](1)由已知，直線l的程為x不合題意．設(shè)直線l方程為＝(x－4)，由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)到線l的離為3所以

＋

＝3

00000y聯(lián)立方程202201202222200000y聯(lián)立方程2022012022222222解得k＝

2，所以直線l的率±.(2)證明：設(shè)線段的點(diǎn)坐標(biāo)為N(x，)，A，y)，B，，0112因?yàn)椴恢庇谳Sy－則直線MN斜率為，直線AB的率為，x－04x直線的程為－＝(－)0y004xy－y＝000y＝x，x消去x得1y－＋＋x(x－＝，000所以y＋＝1－0因?yàn)镹中點(diǎn)y＋y所以＝，＝，0－00解得x＝，即線段AB中的坐標(biāo)為定值2.0[點(diǎn)評(píng)

求定值問題，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值．突破難點(diǎn)三：圓錐曲線中的范圍最值問題圓錐曲線中的范圍問題既是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題．解決這類問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系，但根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求范圍正是求解這類問題的難點(diǎn)．建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題．建立不等關(guān)系的關(guān)鍵是運(yùn)用圓錐曲線的幾何特性、判別式法或基本不等式等靈活處理．[例3]已橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F－，且長軸長與短軸長的比是2(1)求橢圓C的程；(2)設(shè)點(diǎn)M(在橢圓C的軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．|落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．x[解](1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(>>0)．b＝b＋，由題意，得∶＝23，c＝解得＝16＝

MP

最時(shí)，點(diǎn)恰

22222222244212222222222222222222222442122222222222222222211＋64x所以橢圓C的程為＋＝x(2)設(shè)(x，y為圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為＋＝1，故－≤x≤12因?yàn)镸P＝(x－m，y)所以

MP|＝(－m)＋y＝(x－)＋

x11－＝－2mxm＝(－)＋－m

因?yàn)楫?dāng)

MP

最小時(shí)，點(diǎn)P恰落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)x＝4，|

取得最小值．而∈[－4,4]，故有≥4解得≥又點(diǎn)M在圓長軸上，所以4m故實(shí)數(shù)的值范圍[．[例4]已點(diǎn)F，線l＝－1為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線l的線，垂足為，且

QF

＝

FPFQ

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知圓M過定點(diǎn)D(0,2)，心M在跡上動(dòng)，且M與x軸于，B兩，ll設(shè)DA＝l，DB|＝l，求＋的最大值．1ll2[解](1)設(shè)Px，y)，則(x，－1)∵＝FP，∴，＋1)·(2)＝，－x，－．即2(＋＝－y－，即x＝y(tǒng).所以動(dòng)點(diǎn)的跡C的程為＝y(tǒng).(2)設(shè)圓M的心坐標(biāo)(，b)，則＝b①圓M的徑為MD＝

＋圓M的程為(x－a)＋－)＝＋－2).令y＝0，則(x－a)＋b＝＋b2)，整理得，x

－ax－4＝②由①②解得x＝a不妨設(shè)(－，(＋，∴l(xiāng)＝1

4l＝2

lll＋l2＋∴＋＝＝llll4212

2