數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模簡介

數(shù)學(xué)建模是通過對實際問題進(jìn)行抽象、簡化，反復(fù)探索，構(gòu)件一個能夠刻劃客觀原形的本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)模型，并用來分析、研究和解決實際問題的一種創(chuàng)新活動過程。數(shù)學(xué)建模的幾個過程:模型準(zhǔn)備：了問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。模型假設(shè)：根實際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。模型建立：在設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)量用簡的數(shù)學(xué)工具）模型求解：用獲取的數(shù)據(jù)資，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計模型分析：所得的結(jié)果進(jìn)行學(xué)上的分析。模型檢驗：將型分析結(jié)果與實際情形進(jìn)行比較，以此來驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實際吻合較,則應(yīng)該修改設(shè)，在次重復(fù)建模過程。模型應(yīng)用：用方式因問題的質(zhì)和建模的目的而異數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法是運用數(shù)的語言和方法過抽象簡化建立能近似刻劃"解決"實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手。數(shù)模的類（）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類：生物數(shù)學(xué)模型，醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型，地質(zhì)數(shù)學(xué)模型，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。（）按是否考慮隨機因素分類：確定性模型與隨機性模型（）按是否考慮模型的變化分類：靜態(tài)模型與動態(tài)模型（）按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類：離散模型與連續(xù)模型（）按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類：幾何模型，微分方程模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，馬氏鏈模型等。（）按人們對是物發(fā)展過程的了解程度分類：白箱模型指那些內(nèi)部規(guī)律比較楚的模型力學(xué)學(xué)電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。灰箱模型指那些內(nèi)部規(guī)律尚不分清楚建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。黑箱模型指些其內(nèi)部規(guī)律還少為人們所知的現(xiàn)象生命科學(xué)社科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。數(shù)建方（）、機理分析法從基物定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推出模型。比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。代數(shù)方--求解離散問題（離散數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。邏輯方--是數(shù)學(xué)理論研究的重方法社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實際問題決，對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。常微分方程--解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建瞬時變化率"的達(dá)式。偏微分方程--解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。（二）、數(shù)據(jù)分析法從量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學(xué)模型?；貧w分析法--用于對函數(shù)f（x的一組觀測值xi,fii=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。時序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法?；貧w分析法--用于對函數(shù)f（x的一組觀測值xi,fii=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。時序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。（三）、仿真和其他方法計算機仿真（模擬）實上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。①離散統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量。②連系統(tǒng)仿--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。因子試驗法--在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。人工現(xiàn)實法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。微方模微分方程是表達(dá)事物發(fā)展過程的一種很有用的工具，它能更全面、更深刻地揭示實際事物內(nèi)在的動態(tài)關(guān)系。建立起這樣的模型，可以幫助我們?nèi)ソ忉尭鞣N有關(guān)的現(xiàn)象，做出相應(yīng)的決策或者對未來的發(fā)展進(jìn)行某種預(yù)測。建立數(shù)學(xué)模型的第一步，是把對一個實際問題的描述翻譯成數(shù)學(xué)語言，翻譯的過程同中學(xué)時解“應(yīng)用題”的過程很相似，根據(jù)問題中給出的已知條件和要求達(dá)到的目的，設(shè)定若干變量，有時還需要添加或補充一些假設(shè)條件，由此推導(dǎo)并建立起變量間的用等式描述的關(guān)系。所不同的是，微分方程中的等式關(guān)系是微觀的、瞬時的關(guān)系。建立微分方程模型的一般過程

我們知道解應(yīng)用題是沒有通用法則可循的，必須具體問題具體分析，建立微分方程模型也是如此。下面只是列出在建模過程中通常需要注意的一些地方剛開始學(xué)習(xí)構(gòu)微分方程模型時習(xí)慣地用代數(shù)方程來思考，僅僅考慮問題中各個量之間的靜態(tài)關(guān)系不注意它們與其變化率之間的關(guān)系．事上，需要特別關(guān)注實際問題中表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如物理問題中的“速率生學(xué)或人口學(xué)問題中的“增長率射性問題中的“衰變率”等一些涉及變化率的詞，或者“在單位時間里，某個量改變了多少”一類的字樣。圍繞這些變化的量。設(shè)法利用所涉及的原則或現(xiàn)有的物理定律，或者根據(jù)問題中給出的條件推導(dǎo)出合適的關(guān)系式。在多數(shù)一階微分方程的建模問題中，往往可以套用這樣一種模式：變化率=輸入率－出率，中變化率一般表示成導(dǎo)數(shù)的符號。這個微分方程應(yīng)該是在每一時刻都成立的瞬時表達(dá)式，而等號右邊的輸入率和輸出率則是需要根據(jù)題意寫出的X和T的數(shù)．方程中的每一項都應(yīng)該有同的物理量綱，以保證等式的合理性。以方程（１唱３）為例，D／D的位是個秒、個／年等，表示單位時間里群體變化的數(shù)量，X一般是瞬時值，

R

的單位為１，／等是單位時間單一個體的增長率（生殖率－亡率１－XXM是量綱的，純粹是一個比率。這樣，這個方程兩邊的單位相同。在建模時，除了建立瞬時表達(dá)式外我們還需要知道一些有關(guān)特定時刻的額外信息們微分方程無關(guān)可來幫助確定微分方程中的系數(shù)和解中的積分常數(shù)。這些參數(shù)也是數(shù)學(xué)模型中不可缺少的部分，合理地選擇這些參數(shù)是建模成功的關(guān)鍵之一。額外信息是通過有關(guān)問題的背景領(lǐng)域的專業(yè)知識、相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)或者我們的日常經(jīng)驗等提取出來的。再用這些信息來推導(dǎo)、選擇方程中的參數(shù)，并從不同的方面加以驗證。用數(shù)學(xué)語言描述實際問題，或者說將實際問題翻譯成數(shù)學(xué)語言，必須有合理的符合實際的假設(shè)，以假設(shè)的方式給出所涉及的物理定律或有關(guān)領(lǐng)域的某些規(guī)律．但實際世界往往十分復(fù)雜，互相影響的量相當(dāng)多，或者所研究的問題還沒有現(xiàn)成的規(guī)律可依（往往對非物理領(lǐng)域的問題在實際的翻譯中免不了要有一定的近似，需要對問題有一定的簡化，因此，提出合理的假設(shè)是建好數(shù)學(xué)模型的首要關(guān)鍵，它整個建模過程的基礎(chǔ)，必須引起足夠的重視。一方面，我們要求假設(shè)符合實際情況，能夠反映所研究的問題的基本特征和基本行為。在前面的例子中，各種假設(shè)盡可能地滿足生物生態(tài)學(xué)上的具體要求。對所作的假設(shè)必須有足夠的根據(jù)，應(yīng)做出定性或者定量的分析。如果假設(shè)條件太嚴(yán)格，就使得推導(dǎo)出來的數(shù)學(xué)模型描述的對象過分簡單，與實際情況相去甚遠(yuǎn)，或者解決的問題范圍十分狹窄，計算結(jié)果的誤差太大。但是，如果假設(shè)條件過分寬松，往往得不出數(shù)學(xué)描述使得也因為太復(fù)雜而使數(shù)學(xué)處理非常困難此另一方面，我們還要作一些簡化假設(shè)，如消除次要項、把某些變量限制為常數(shù)或者線性化等。數(shù)學(xué)模型是實際世界的一種近似，建模目的不同，或者感興趣的方面不同，就有不同的簡化假設(shè)，比如為了預(yù)測變化的未來時刻的狀態(tài)，為了解釋某種現(xiàn)象的發(fā)生機理或者為了優(yōu)化、控制某個動態(tài)系統(tǒng)，等等。在不同的精度要求下，也會有不同的簡化，我們必須審慎取舍，在這兩個方面采取一種合適的折中辦法，才能得出準(zhǔn)確而實用的數(shù)學(xué)模型。只有有了合適的假設(shè)，才有可能寫出理想的微分方程．求解微分方程也是建模的重要組成部分，在微分方程的有關(guān)教材中介紹過許多求解的方法，在此不再詳細(xì)討論了，其實，許多模型比較復(fù)雜，需要作進(jìn)一步的簡化才能求得分析解；我們也經(jīng)常用數(shù)值方法計算那些方程的解；有時干脆不去求具體的解，直接討論微分方程的性質(zhì)，比如它們的穩(wěn)定性、漸衡、周期解等．后一個重點是，要根據(jù)計算的結(jié)果用語言去解釋有關(guān)的現(xiàn)象。通常，實際問題是由有關(guān)領(lǐng)域的專家或工作人員提出來的，他們一般不關(guān)心數(shù)學(xué)推理求解的過程，而只希望知道問題的結(jié)論。從這個意義上講，真正好的數(shù)學(xué)模型，是該領(lǐng)域的專家認(rèn)可的模型。只有讓數(shù)學(xué)上的結(jié)果回答了實際的問題，才是一個完整的建模過程。當(dāng)然，正如我們在前面看到的那樣，模型建立的過程是不斷改進(jìn)、逐步完善的過程。因此，只有堅持不懈地努力，才能構(gòu)造出與實際吻合得更好的模型來。差模與驗型差分方程就是針對要解決的目標(biāo)入系統(tǒng)或過程中的離散變量據(jù)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等而握這個散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經(jīng)濟(jì)金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。差分方程建模：在際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進(jìn)行劃分，劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對每個時段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運算關(guān)即相應(yīng)設(shè)定的變量進(jìn)行四則運算或基本初等函數(shù)運算或取最運算等）等式（可以多個并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可能的關(guān)系而建立差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進(jìn)行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當(dāng)?shù)淖兞炕蛳蛄浚缓蠓治鼋⑵鹱舆^程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴(kuò)大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進(jìn)行結(jié)合運算取運算等處理方式的是建立起簡潔深易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實際例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)重點體會。差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng)遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù)學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所用的數(shù)量式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進(jìn)行方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等。

數(shù)規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃是運籌學(xué)的一個重要分支，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問題，廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化設(shè)計、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防建設(shè)、交通運輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng)域。它又分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃等幾大類。

概模

層分模層次分析模型主要應(yīng)用于日常工作、生活中的決策問題，尤其涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素和作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化時。

數(shù)統(tǒng)模1、蒙特卡羅算法（該算法又稱機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)）圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點討論模型本身而輕視算法