2020版高考數(shù)學(xué)(文)培優(yōu)增分一輪全國(guó)經(jīng)典版培優(yōu)講義第6章不等式第4講基本不等式Word版含答案

第4講基本不等式板塊一

知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識(shí)]考點(diǎn)

1

重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)建立)．a(chǎn)＋b考點(diǎn)2基本不等式ab≤21．基本不等式建立的條件：a>0，b>0；2．等號(hào)建立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)建立；a＋b3．此中2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)均勻數(shù)，ab叫做正數(shù)a，b的幾何均勻數(shù)．考點(diǎn)3利用基本不等式求最大、最小值問(wèn)題1．假如x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2P.(簡(jiǎn)記：“積定和最小”)2．假如x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，S2那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值4.(簡(jiǎn)記：“和定積最大”)[必會(huì)結(jié)論]常用的幾個(gè)重要不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)；ab≤a＋b2(a，b∈R)；2a＋b2≤a2＋b2(3)(a，b∈R)；22baa＋b≥2(a，b同號(hào))．以上不等式等號(hào)建立的條件均為a＝b.[考點(diǎn)自測(cè)]1．判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)＝＋1的最小值是2.()yxx(2)函數(shù)f(x)＝cosx＋4，x∈0，π的最小值等于4.( )cosx2(3)x>0，y>0是x＋y≥2的充要條件．()yx1(4)若a>0，則a3＋a2的最小值為2a.()(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√．課本改編]已知，∈R＋，且a＋b＝1，則ab的最大值為( )2[ab112A．1B.4C.2D.2答案B分析∵a，b∈R14＋1＝b＝2時(shí)等號(hào)建立．143．[課本改編]已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝a＋b的最小值是()79A.2B．4C.2D．5答案C11414ab9分析y＝2(a＋b)a＋b＝25＋b＋a≥2，應(yīng)選C.4．[2018·蘇州模擬]若0≤x≤6，則f(x)＝x8－x的最大值為()1643A.3B．4C.3D.5答案B分析∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝x8－x≤x＋8－x＝4，2當(dāng)且僅當(dāng)x＝8－x，即x＝4時(shí)，等號(hào)建立．故f(x)的最大值為4.15．[課本改編]若f(x)＝x＋x－2(x>2)在x＝n處獲得最小值，則n＝( )57A.2B．3C.2D．4答案B分析由f(x)＝x＋1＝(x－2)＋1＋2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝x－2x－21x－2>0，即x＝3時(shí)，獲得等號(hào)．應(yīng)選B.6．[2018·上海模擬]若實(shí)數(shù)x，y知足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為_(kāi)_______．答案22分析∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取“＝”，x2＋2y2的最小值為22.板塊二典例研究·考向打破考向利用基本不等式求最值y例1[2017·山東高考]若直線a＋b＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2a＋b的最小值為_(kāi)_______．答案8xy分析∵直線a＋b＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，12∴a＋b＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)12＝4＋4ab4ab＋bb＋≥4＋2·＝8，aabab4a當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即a＝2，b＝4時(shí)，等號(hào)建立．故2a＋b的最小值為8.本例條件不變，求

ab的最小值．12解∵1＝a＋b≥2

212ab，當(dāng)a＝b，即

a＝2，b＝4

時(shí)，ab≥8，∴ab的最小值為8.若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值．解∵4a＋2b≥222a·2b＝222a＋b，222a＋b≤1，∴2a＋b≤－2，2a＋b的最大值為－2.若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．解∵log2ab＝1，∴ab＝2，2a＋b≥22ab＝4，當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，2a＋b的最小值為4.觸類(lèi)旁通利用基本不等式求最值問(wèn)題的解題策略利用基本(均值)不等式解題必定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本(均值)不等式求最值時(shí)，要依據(jù)式子的特點(diǎn)靈巧變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，而后再利用基本(均值)不等式．【變式訓(xùn)練1】(1)已知0<x<1，則x(3－3x)獲得最大值時(shí)x的值為()1132A.3B.2C.4D.3答案C分析∵0<x<1，∴x·(3－3x)＝1≤13x＋3－3x2＝3，··－32433x(33x)13當(dāng)3x＝3－3x，即x＝2時(shí)，x(3－3x)獲得最大值4.選C.(2)設(shè)，則函數(shù)＝＋2－3的最小值為_(kāi)_______．x>0yx2x＋12答案0231111分析y＝x＋2x＋1－2＝x＋2＋1－2≥2x＋2·1－x＋2x＋211120x212x＋2值為0.考向條件最值問(wèn)題例2[2018·大同檢測(cè)]若正數(shù)a，b知足ab＝a＋b＋3，求：ab的取值范圍；a＋b的取值范圍．解(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.t≥3即ab≥3，∴ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤a＋b2.2令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)．觸類(lèi)旁通求條件最值注意的問(wèn)題(1)要敏銳的洞察到已知條件與要求式子的聯(lián)系，并能靈巧進(jìn)行轉(zhuǎn)變；(2)常用的技巧有：“1”的代換，配湊法，放縮法，換元法．【變式訓(xùn)練2】(1)[2018珠·海模擬]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為()A．2B．4C．6D．8答案C分析解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤x＋3y2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時(shí)取等號(hào)，令x＋3y2t，則t>0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6.解法二：∵x＋3y＝9－xy≥23xy，∴(xy)2＋23·xy－9≤0，(xy＋33)·(xy－3)≤0，0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6.(2)已知實(shí)數(shù)x，y知足x2＋y2－xy＝1，則x＋y的最大值為_(kāi)_______．答案2分析由于x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy.所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋y2，2即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)等號(hào)建立，所以x＋y的最大值為2.考向利用基本不等式解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題例3[2017·湖南模擬]某項(xiàng)研究表示：在考慮行車(chē)安全的狀況下，某路段車(chē)流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)丈量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))與車(chē)流速度v(假定車(chē)輛以同樣速度v行駛，單位：米/秒)、均勻車(chē)76000v長(zhǎng)l(單位：米)的值相關(guān)，其公式為F＝v2＋18v＋20l.(1)假如不限制車(chē)型，l＝6.05，則最大車(chē)流量為_(kāi)______輛/小時(shí)；(2)假如限制車(chē)型，l＝5，則最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增添________輛/小時(shí)．答案(1)1900(2)10076000v分析(1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝v2＋18v＋20×6.05，76000v7600076000∴F＝v2＋18v＋121＝121≤121＝1900，v＋v＋182v·v＋18121當(dāng)且僅當(dāng)v＝v，即v＝11時(shí)取“＝”．∴最大車(chē)流量為1900輛/小時(shí)．(2)當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝2＋76000v＝76000，18v＋×100v＋v＋18∴F≤76000＝2000，1002v·v＋18100當(dāng)且僅當(dāng)v＝v，即v＝10時(shí)取“＝”．∴最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增添2000－1900＝100(輛/小時(shí))．觸類(lèi)旁通相關(guān)函數(shù)最值的實(shí)質(zhì)問(wèn)題的解題技巧(1)依據(jù)實(shí)質(zhì)問(wèn)題抽象出函數(shù)的分析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(3)解應(yīng)用題時(shí)，必定要注意變量的實(shí)質(zhì)意義及其取值范圍．(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單一性求解．【變式訓(xùn)練3】某廠家擬在2018年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)檢查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)花費(fèi)m萬(wàn)元k(m≥0)知足x＝3－m＋1(k為常數(shù))，假如不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只好是1萬(wàn)件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元．每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)錢(qián)定為每件產(chǎn)品年均勻成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包含固定投入和再投入兩部分資本)．(1)將2018年該產(chǎn)品的收益y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)花費(fèi)m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家2018年的促銷(xiāo)花費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的收益最大？解(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1，1＝3－k?k＝2，∴x＝3－2，m＋18＋16x每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)錢(qián)為1.5×(元)，x8＋16x∴2018年的收益y＝1.5x×－8－16x－mx2＝4＋8x－m＝4＋83－m＋1－m16＝－m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．16(2)∵m≥0時(shí)，m＋1＋(m＋1)≥216＝8，y≤－8＋29＝21，16當(dāng)且僅當(dāng)m＋1＝m＋1?m＝3(萬(wàn)元)時(shí)，ymax＝21(萬(wàn)元)．故該廠家2018年的促銷(xiāo)花費(fèi)投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的收益最大為萬(wàn)元．核心規(guī)律1．基本不等式擁有將“和式”轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺e式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，經(jīng)常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式．2．關(guān)于基本不等式，不單要記著原始形式，并且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等．滿分策略1．在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其知足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．2．注意基本不等式建立的條件是a>0，b>0，若a<0，b<0，應(yīng)先轉(zhuǎn)變?yōu)椋璦>0，－b>0，再運(yùn)用基本不等式求解．3．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)建立”的含義是“a＝b”是等號(hào)建立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽視它常常會(huì)致使解題錯(cuò)誤.板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯(cuò)警告系列8——連續(xù)應(yīng)用基本不等式時(shí)牢記等號(hào)建立的條件[2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，則a4＋4b4＋1的最小值為ab________．錯(cuò)因剖析兩次使用基本不等式時(shí)，忽視等號(hào)的一致性易犯錯(cuò)．分析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)“＝”成立)，∴4＋4b4＋122＋11，a≥4ab＝4ab＋ababab由于ab>0，∴4ab＋11＝ab≥24ab·ab4當(dāng)且僅當(dāng)4ab＝1時(shí)“＝”建立，aba2＝2b2，a4＋4b4＋1故當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)，ab的最小值為4.4ab＝ab答案4答題啟迪連續(xù)運(yùn)用基本不等式應(yīng)注意等號(hào)建立的條件：連續(xù)使用基本不等式時(shí)取等號(hào)的條件很?chē)?yán)格，要求同時(shí)知足任何一次的字母取值存在且一致．所以盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)建立的條件同時(shí)相等．追蹤訓(xùn)練16已知a>b>0，求a2＋ba－b的最小值．解∵a>b>0，∴a－b>0.2∴b(a－b)≤b＋a－b2＝a.24a2＋16≥a2＋642≥2ba－ba

264a·2＝16.a當(dāng)a264b＝－，即a＝2，＝時(shí)等號(hào)建立．a(chǎn)ab2b216∴a2＋ba－b的最小值為16.板塊四模擬操練·提能增分[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．[2018·浙江模擬]已知x>0，y>0，則“xy＝1”是“x＋y≥2”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件答案A分析若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2xy＝2；反之，取x3，y＝1，則知足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不用要條件．應(yīng)選A.2x2．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2有( )x＋1A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2答案B分析∵x>0，∴f(x)＝2≤1.應(yīng)選B.1x＋x3．[2015·湖南高考]若實(shí)數(shù)，b知足1＋2＝ab，則ab的最小aab值為()A.2B．2C．22D．4答案C分析由ab＝1＋2≥22，得ab≥22，當(dāng)且僅當(dāng)1＝2時(shí)取ababab“＝”．選C.4．[2018·人大附中模擬]3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值為()932A．9B.2C．3D.2答案B分析由于－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知3－aa＋6≤3－a＋a＋6＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－3時(shí)等號(hào)成222立．x2＋25．[2018·秦皇島模擬]函數(shù)y＝x－1(x>1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．2答案A2－1＋3－＋＋3xx1x1分析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x－1＝x－1＝x1＋x－31＝x－1＋x－31＋2≥23＋2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋3時(shí)取“＝”)．選A.6．設(shè)x>0，y>0，且x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是( )A．40B．10C．4D．2答案D分析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，x＋4y≥2x·4y＝4xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y時(shí)取“＝”)，4xy≤40.∴xy≤100.lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.lgx＋lgy的最大值為2.1a7．[2018·山西模擬]已知不等式(x＋y)x＋y≥9對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，y恒建立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．2B．4C．6D．8答案B分析1＋axy＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，(x＋y)xy＝1＋a·＋yxxy當(dāng)且僅當(dāng)a·＝，即ax2＝y(tǒng)2時(shí)“＝”建立．yx1aa＋1)2≥9.∴(x＋y)x＋y的最小值為(∴a≥4.8．[2017·江蘇高考]某企業(yè)一年購(gòu)置某種貨物600噸，每次購(gòu)置x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總儲(chǔ)存花費(fèi)為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小，則x的值是________．答案306003600分析一年的總運(yùn)費(fèi)為6×x＝x(萬(wàn)元)．一年的總儲(chǔ)存花費(fèi)為4x萬(wàn)元．3600總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)的和為x＋4x萬(wàn)元．由于3600＋4x≥23600·＝，當(dāng)且僅當(dāng)3600＝4x，即x＝xx4x240x時(shí)獲得等號(hào)，所以當(dāng)x＝30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最?。?9．函數(shù)y＝2x＋x－1(x>1)的最小值為_(kāi)_______．答案22＋2分析由于y＝2x＋1，所以＝＋1＝2(x－1)＋1x－1(x>1)y2xx－1x－11＋2≥2＋22x－1x－1＝22＋2.21當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋2時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)y＝2x＋x－1(x>1)的最小值為22＋2.10．[2018·定模擬正]若正數(shù)x，y知足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是

________．答案

5分析

13由x＋3y＝5xy，可得5y＋5x＝1，3所以3x＋4y＝(3x＋4y)5y＋5x943x12y133x12y1312＝＋＋＋5x≥5＋2·＝5＋5＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝555y5y5x11，y＝2時(shí)取等號(hào)，故3x＋4y的最小值是5.[B

級(jí)

知能提高

]1．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)

14x，y知足x＋y＝1，且不等式

x＋4y<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

(

)A．(－1,4)

B．(－∞，－

1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)

D．(－∞，0)∪(3，＋∞

)答案

B分析

y∵x>0，y>0，∴x＋4＝

yx＋4

14x＋y

4xy＝2＋y＋4x≥4，∴yx＋4min＝4，m2－3m>4，解得m<－1或m>4.選B.2．設(shè)a>0，b>1，若a＋＝，則2＋1的最小值為( )b2ab－1A．3＋22B．6C．42D．22答案A2121分析由題可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴a＋b－1＝a＋b－1(a2b－1a2b－1a＋b－1)＝2＋a＋b－1＋1≥3＋22，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b－1，即a＝2－2，b＝2