20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例22224獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想應(yīng)用教案(含解析)

2．2～2.4獨(dú)立性查驗(yàn)獨(dú)立性查驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用獨(dú)立性查驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每個(gè)變量都能夠取兩個(gè)值，變量A：A，A－B：B，B12112－1＝B，用下表表示抽樣數(shù)據(jù).B12總計(jì)ABBA1aba＋b2cdc＋dA總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d并將此表稱為2×2列聯(lián)表．2．χ2的計(jì)算公式2nad－bc2.χ＝＋＋d＋c＋dabcab3．獨(dú)立性判斷的方法(1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的憑證判斷變量A，B相關(guān)系，能夠以為變量A，B是沒相關(guān)系的；(2)當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的掌握判斷變量A，B相關(guān)系；(3)當(dāng)χ2時(shí)，有95%的掌握判斷變量A，B相關(guān)系；>3.841(4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的掌握判斷變量，B相關(guān)系．A獨(dú)立性查驗(yàn)是一種假定查驗(yàn)，在對(duì)整體的預(yù)計(jì)中，經(jīng)過抽取樣本，結(jié)構(gòu)適合的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假定的正確性進(jìn)行判斷．使用χ2統(tǒng)計(jì)量作2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性查驗(yàn)時(shí)，一般要求表中的4個(gè)數(shù)據(jù)都大于5，數(shù)據(jù)越大，越能說明結(jié)果的廣泛性．2×2列聯(lián)表[例1]在檢查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表．[思路點(diǎn)撥]在2×2列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個(gè)不一樣的取值，然后算出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，列表即可．[精解詳析]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出以下的列聯(lián)表：色盲性別患色盲不患色盲總計(jì)男38442480女6514520總計(jì)449561000[一點(diǎn)通]分清類型是作列聯(lián)表的重點(diǎn)步驟，對(duì)所給數(shù)據(jù)要明確屬于哪一類．1．下邊是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則表中a，b處的值分別為()yy1y2總計(jì)xx1a2153x282533總計(jì)b46A.32,40B．42,50C．74,82D．64,72分析：選Aa＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.2．某學(xué)校正高三學(xué)生作一項(xiàng)檢查后發(fā)現(xiàn)：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性分外向的594名學(xué)生中在考前心情緊張的有213人．試作出2×2列聯(lián)表．解：列聯(lián)表以下：性格狀況性格性格考前心情總計(jì)內(nèi)向外向能否緊張考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020獨(dú)立性查驗(yàn)的應(yīng)用[例2]為檢查某地域老年人能否需要志愿者供給幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地域檢查了500位老年人，結(jié)果以下：性別男女能否需要志愿者需要4030不需要160270預(yù)計(jì)該地域老年人中，需要志愿者供給幫助的老年人的比率；可否有99%的掌握以為該地域的老年人能否需要志愿者供給幫助與性別相關(guān)？[思路點(diǎn)撥]解答此題先剖析列聯(lián)表，后計(jì)算χ2，再與臨界值比較，判斷兩個(gè)變量是否互相獨(dú)立．[精解詳析](1)檢查的500位老年人中有70位需要志愿者供給幫助，所以在該地域老70年人中，需要幫助的老年人的比率的預(yù)計(jì)值為500×100%＝14%.－2(2)χ2＝≈9.967.200×300×70×430由于9.967>6.635，所以有99%的掌握以為該地域的老年人能否需要志愿者供給幫助與性別相關(guān)．[一點(diǎn)通]這種問題的解決方法為先確立a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再與臨界值對(duì)比較，作出判斷，解題時(shí)注意正確運(yùn)用公式，代入數(shù)據(jù)正確計(jì)算．3．統(tǒng)計(jì)推測(cè)，當(dāng)________時(shí)，有95%的掌握以為事件A與B相關(guān)；當(dāng)________時(shí)，認(rèn)為沒有充分的憑證顯示事件A與B是相關(guān)的．分析：當(dāng)χ2>3.841時(shí)，就有95%的掌握以為事件A與B相關(guān)，當(dāng)χ2≤2.706時(shí)以為沒有充分的憑證顯示事件A與B是相關(guān)的．答案：χ2>3.841χ2≤2.7064．某高校《統(tǒng)計(jì)初步》課程的教師隨機(jī)檢查了選該課的學(xué)生的一些狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表：能否統(tǒng)計(jì)專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720則χ2≈________，有________的掌握判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別相關(guān)．22－分析：χ＝≈4.844>3.841，故有95%的掌握以為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別相關(guān)．答案：4.84495%5．為認(rèn)識(shí)某班學(xué)生喜歡打籃球能否與性別相關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問卷檢查獲得了如下的列聯(lián)表：喜歡打籃球不喜歡打籃球總計(jì)男生5女生10總計(jì)503已知在全班50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為5.請(qǐng)將上邊的列聯(lián)表增補(bǔ)完好；試問：喜歡打籃球能否與性別相關(guān)？說明你的原因．33解：設(shè)“喜歡打籃球”為事件A，由P(A)＝5，得喜歡打籃球的人數(shù)為50×5＝30.所以喜歡打籃球的男生有20人，據(jù)此可求得不喜歡打籃球的女生有15人．(1)列聯(lián)表增補(bǔ)以下：喜歡打籃球不喜歡打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050－2(2)∵χ2＝≈8.333>6.635，30×20×25×25∴有99%的掌握以為喜歡打籃球與性別相關(guān)．獨(dú)立性查驗(yàn)的基本步驟：1．列出2×2列聯(lián)表．2．求出χ2＝－bc2.a＋cnadc＋da＋bb＋d3．判斷能否相關(guān)系，得失事件相關(guān)的可能性大?。?．經(jīng)過隨機(jī)咨詢110名性別不一樣的大學(xué)生能否喜好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，獲得下表：男女總計(jì)喜好402060不喜好203050總計(jì)6050110nad－bc22由χ＝＋c＋da＋＋算得，abcbd－2χ2＝≈7.8.60×50×60×50附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，獲得的正確結(jié)論是()A．有99.9%以上的掌握以為“喜好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別相關(guān)”B．有99.9%以上的掌握以為“喜好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別沒關(guān)”C．有99%以上的掌握以為“喜好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別相關(guān)”D．有99%以上的掌握以為“喜好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)和性別沒關(guān)”分析：選C由于χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的掌握以為相關(guān)．2．兩個(gè)分類變量X和Y,值域分別為{x1，x2}和{y1，y2},其樣本頻數(shù)分別是a＝10,b＝21,c＋d＝35.若X與Y相關(guān)系的可信程度不小于95%,則c等于( )A．3B．7C．5D．6分析：選A列表以下：x1x2總計(jì)y1102131y2cd35總計(jì)10＋c21＋d662－c－21c]2≥3.841.把選項(xiàng)A、B、C、D代入考證可知選A.故χ＝＋c－c3．某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，獲得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別相關(guān)系的可能性最大的變量是( )表1成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力好差總計(jì)性別男41620女122032總計(jì)163652表3智商偏高正?？傆?jì)性別男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量豐富不豐富總計(jì)性別男14620女23032總計(jì)163652A．成績(jī)B．視力C．智商D．閱讀量分析：選D由于χ12＝－2＝52×82，16×36×32×2016×36×32×202－252×1122，χ2＝16×36×32×20＝16×36×32×202－252×962，χ3＝16×36×32×20＝16×36×32×202－252×4082，χ4＝16×36×32×20＝16×36×32×20則有χ22224>χ2>χ3>χ1，所以閱讀量與性別關(guān)系的可能性最大．4．在研究性別與吃零食這兩個(gè)分類變量能否相關(guān)系時(shí)，以下說法中正確的序號(hào)是________．①若χ2>6.635，則我們有99%的掌握以為吃零食與性別相關(guān)系，那么在100個(gè)吃零食的人中必有99人是女性；②由獨(dú)立性查驗(yàn)可知，在有99%的掌握以為吃零食與性別相關(guān)系時(shí)，假如某人吃零食，那么這人是女性的可能性為99%；③由獨(dú)立性查驗(yàn)可知，在有99%的掌握以為吃零食與性別相關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推測(cè)，均勻有1次推測(cè)錯(cuò)誤．分析：χ2是指確立有多大的掌握以為“兩個(gè)分類變量吃零食與性別相關(guān)系”的隨機(jī)變量值，所以由獨(dú)立性查驗(yàn)可知，當(dāng)有99%的掌握以為吃零食與性別相關(guān)系時(shí)，是指每進(jìn)行100次這樣的推測(cè)，均勻有1次推測(cè)錯(cuò)誤，故填③.答案：③5．以下是對(duì)于出生男嬰與女嬰檢查的列聯(lián)表：夜晚白日總計(jì)男嬰45AB女嬰E35C總計(jì)98D180那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.分析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47928882536．為研究電離輻射的劑量與人體的受損程度能否相關(guān)，用兩種不一樣劑量的電離輻射照射小白鼠，在照耀后14天內(nèi)的結(jié)果以下表所示.死亡存活總計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925總計(jì)203050在研究小白鼠的死亡與劑量能否相關(guān)時(shí)，依據(jù)以上數(shù)據(jù)求得χ2≈________.－2≈5.333.分析：χ2＝20×30×25×25答案：5.3337．在對(duì)人們的休閑方式的一次檢查中，共檢查了124人，此中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，此外的27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，此外的33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)成立一個(gè)2×2列聯(lián)表；可否有95%的掌握以為性別與休閑方式相關(guān)系．解：(1)2×2列聯(lián)表為：休閑方式看電視運(yùn)動(dòng)總計(jì)性別女432770男213354總計(jì)6460124(2)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，－2計(jì)算χ2＝≈6.201.70×54×64×60由于6.201>3.841，所以有95%的掌握以為“性別與休閑方式相關(guān)”．8．某地域甲校高二年級(jí)有

1100

人，乙校高二年級(jí)有

900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)，

采納分層抽樣的方法在兩校共抽取了

200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，如表．

(已知本次測(cè)試合格線是

50分，兩校合格率均為

100%)甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組頻數(shù)

[50,60)10

[60,70)25

[70,80)35

[80,90)30

[90,100]x乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組頻數(shù)

[50,60)15

[60,70)30

[70,80)25

[80,90)y

[90,100]5(1)計(jì)算x，y的值，并分別預(yù)計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)的均勻分(精準(zhǔn)到1分)；若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)異，低于80分為非優(yōu)異，依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下邊2×2列聯(lián)表，并回答可否有95%的掌握以為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差別”？分類甲校乙校總計(jì)優(yōu)異非優(yōu)異總計(jì)解：(1)依題意，知甲校應(yīng)抽取所以x＝10，y＝15.

110人，乙應(yīng)抽取

90人，1甲校的均勻分為110×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.1乙校的均勻分為×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.90數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)異，低于80分為非優(yōu)異，獲得列聯(lián)表以下：分類甲校乙?？傆?jì)優(yōu)異402060非優(yōu)異7070140總計(jì)110902002所以χ2＝－≈4.714，110×90×60×140又由于4.714>3.841，故有95%的掌握以為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差別”．9．某學(xué)生對(duì)其30位家屬的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次檢查，并用以下圖的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)．(1)依據(jù)莖