二次函數(shù)應(yīng)用-最大面積問題教學(xué)設(shè)計(jì)

《二次函數(shù)的應(yīng)用——面積最大問題》教課方案二次函數(shù)的應(yīng)用——面積最大問題。所用教材是山東教育第一版社材九年級(jí)上冊第三章第六節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用，本節(jié)共需四課時(shí)，面積最大是第一節(jié)。下邊我將從教材內(nèi)容的剖析、教課目的、要點(diǎn)、難點(diǎn)確實(shí)定、教課方法的選擇、教課過程的設(shè)計(jì)和教課成效展望幾方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行說明。一、教課內(nèi)容的剖析1、地位與作用：二次函數(shù)的應(yīng)用自己是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，查驗(yàn)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問題能力的一個(gè)綜合考察。新課標(biāo)中要修業(yè)生能經(jīng)過對(duì)實(shí)質(zhì)問題的情境的剖析確立二次函數(shù)的表達(dá)式，領(lǐng)會(huì)其意義，能依據(jù)圖象的性質(zhì)解決簡單的實(shí)質(zhì)問題，而最值問題又是生活中利用二次函數(shù)知識(shí)解決最常有、最有實(shí)質(zhì)應(yīng)用價(jià)值的問題之一，它生活背景豐富，學(xué)生比較感興趣，關(guān)于面積問題學(xué)生易于理解和接受，故而在這兒作專題講座，為求解最大收益等問題確立基礎(chǔ)。目的在于讓學(xué)生經(jīng)過掌握求面積最大這一類題，學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其余和函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用問題。此部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其應(yīng)用后的穩(wěn)固與延長，又為高中以致此后學(xué)習(xí)更多函數(shù)打下堅(jiān)固的理論和思想方法基礎(chǔ)。2、課時(shí)安排教材中二次函數(shù)的應(yīng)用只設(shè)計(jì)了3個(gè)例題和一部分習(xí)題，不論是例題仍是習(xí)題都沒有歸類，不利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握解決問題的方法，我設(shè)計(jì)時(shí)把它分為面積最大、收益最大、運(yùn)動(dòng)中的二次函數(shù)、綜合應(yīng)用四課時(shí)，本節(jié)是第一課時(shí)。3.學(xué)情及學(xué)法剖析學(xué)生由簡單的二次函數(shù)y＝x2學(xué)習(xí)開始，而后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和圖像的性質(zhì)。對(duì)函數(shù)的思想已有初步認(rèn)識(shí)，對(duì)剖析問題的方法已會(huì)初步模擬，能辨別圖象的增減性和最值，但在變量超出兩個(gè)的實(shí)質(zhì)問題中，還不可以嫻熟地應(yīng)用知識(shí)解決問題，本節(jié)課正是為了填補(bǔ)這一不足而設(shè)計(jì)的，目的是進(jìn)一步培育學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)質(zhì)問題的能力，這也切合新課標(biāo)中知識(shí)與技術(shù)呈螺旋式上漲的規(guī)律。二、教課目的、要點(diǎn)、難點(diǎn)確實(shí)定教課目的：1、知識(shí)與技術(shù)：經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí)，穩(wěn)固二次函數(shù)y=ax2bxc（a≠0）的圖象與性質(zhì)，理解極點(diǎn)與最值的關(guān)系，會(huì)求解最值問題。2．過程與方法：經(jīng)歷“實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題——利用二次函數(shù)知識(shí)解決問題——利用求解的結(jié)果解說問題”的過程領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想，領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)根源于生活，又服務(wù)于生活。3.感情態(tài)度、價(jià)值觀：培育學(xué)生的獨(dú)立思慮的能力和合作學(xué)習(xí)的精神，在著手、溝經(jīng)過程中培育學(xué)生的社交能力和語言表達(dá)能力，促使學(xué)生綜合素質(zhì)的養(yǎng)成。教課要點(diǎn)：利用二次函數(shù)y=ax2bxc（a≠0）的圖象與性質(zhì)，求面積最值問題教課難點(diǎn)：1、正確建立數(shù)學(xué)模型2、對(duì)函數(shù)圖象極點(diǎn)、端點(diǎn)與最值關(guān)系的理解與應(yīng)用三、教課方法與手段的選擇因?yàn)楸竟?jié)課是應(yīng)用問題，重在經(jīng)過學(xué)習(xí)總結(jié)解決問題的方法，故而本節(jié)課以“啟迪研究式”為主線展開教課活動(dòng)，解決問題以學(xué)生著手動(dòng)腦研究為主，必需時(shí)加以小組合作議論，充分調(diào)換學(xué)生學(xué)習(xí)踴躍性和主動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位，達(dá)到“不只使學(xué)生學(xué)會(huì)，并且使學(xué)生會(huì)學(xué)”的目的。為了提高講堂效率，展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，適合地輔以電腦多媒體技術(shù)。四、教課流程（一）請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立達(dá)成下邊3個(gè)問題：環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入階段我設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：b1．函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中，若a>0，則當(dāng)x=-2a時(shí)，y()=；若a<0，則當(dāng)x=時(shí)，y()=。2.（1）求函數(shù)y＝2x2+2x－3的最值。（2）求函數(shù)y＝x2+2x－3的最值。（0≤x≤3）3。如圖，在邊BC長為20cm，高AM為16cm的△ABC內(nèi)接矩形EFGH，并且它的一邊FG在△ABC的邊BC上，E、F分別在AB、AC上，若設(shè)EF為xcm，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示EH。解：∵矩形EFGH，∴EH∥BC∴△AEH∽___________。又∵BC上的高AM交EH于T。AAT16xET∴AM=_______，即16=________。H∴EH=。BFMGC[設(shè)計(jì)思路]經(jīng)過復(fù)習(xí)題1讓學(xué)生回想二次函數(shù)的圖象和極點(diǎn)坐標(biāo)與最值，經(jīng)過做練習(xí)2復(fù)習(xí)求二次函數(shù)的最值方法---公式法、配方法、圖象法，練習(xí)2（1）的設(shè)計(jì)中，學(xué)生求最值容易想到極點(diǎn)，不論是配方、仍是利用公式都能解決；（2）中給了0≤x≤3,學(xué)生求最值時(shí)可能還會(huì)利用極點(diǎn)公式求,忽視了0≤x≤3,的限制，設(shè)計(jì)本題就是為了提示學(xué)生注意求解函數(shù)問題不可以走開定義域這個(gè)條件才存心義，因?yàn)槿魏螌?shí)質(zhì)問題的定義域都受現(xiàn)實(shí)條件的限制，做完練習(xí)后實(shí)時(shí)讓學(xué)生總結(jié)出了取最值的點(diǎn)的地點(diǎn)常常在極點(diǎn)和兩個(gè)端點(diǎn)之間選擇，練習(xí)3復(fù)習(xí)相像三角形，把一條線段用X表示，為學(xué)習(xí)新課做好知識(shí)鋪墊。（二）研究新知：新課分為在創(chuàng)建情境中發(fā)現(xiàn)問題、在解決問題中找出方法、在穩(wěn)固與應(yīng)用中提高技術(shù)幾個(gè)環(huán)節(jié)1、在創(chuàng)建情境中發(fā)現(xiàn)問題發(fā)問學(xué)生上邊練習(xí)中第三題矩形EFGH的最大面積是多少？學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)矩形長、寬、面積不確立，從而回想起常量與變量的觀點(diǎn)，最值又與二次函數(shù)相關(guān)，從而自己聯(lián)想到用二次函數(shù)知識(shí)去解決，而不是老師告訴他用函數(shù)。求一個(gè)面積最大的矩形，這個(gè)問題自己對(duì)學(xué)生來說擁有很大的興趣性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生既感覺好奇，又樂于研究它的結(jié)論，從而很自然地從復(fù)習(xí)舊知識(shí)過渡到新知識(shí)的學(xué)習(xí)。2、在解決問題中找出方法這一環(huán)節(jié)我設(shè)計(jì)了研究活動(dòng)一：在上邊練習(xí)題3中，若要使矩形EFGH獲取最大面積，那么它的長和寬各是多少？最大面積是多少？把矩形變?yōu)橐粋€(gè)實(shí)質(zhì)問題，目的在于讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)其應(yīng)用價(jià)值——我們要學(xué)有用的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生在前面研究問題時(shí)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了面積不獨(dú)一，并急于找出最大的，并且要有理論依照，這樣第一要成立函數(shù)模型，在選用變量時(shí)學(xué)生可能會(huì)有困難，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注哪兩個(gè)變量，就把此中的一個(gè)主要變量設(shè)為x，把另一個(gè)設(shè)為y，其余變量用含的代數(shù)式表示，找出等量關(guān)系，成立函數(shù)模型，實(shí)質(zhì)問題還要考慮自變量的取值范圍，畫圖象察看最值點(diǎn)，這樣一步步打破難點(diǎn)，從而讓學(xué)生在不停研究中悟出利用函數(shù)知識(shí)解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為此后的學(xué)習(xí)確立思想方法基礎(chǔ)。想想的設(shè)計(jì)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到不一樣的解設(shè)方法所得的最大面積是同樣的，圖形的最大值只有一個(gè)。解決完想想以后實(shí)時(shí)讓學(xué)生總結(jié)方法，為變式訓(xùn)練打下思想方法基礎(chǔ)。3、在穩(wěn)固與應(yīng)用中提高技術(shù)有一塊三角形余料以下圖，∠用這塊余料如圖截出一個(gè)矩形ABCD面積最大？

C=90°，AM=30cm，AN=40cm，問矩形的邊長分別是多少時(shí)，

，要利矩形的我設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：(1)設(shè)長方形的一邊AB＝xm，那么AD邊的長度如何表示？設(shè)長方形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？問題一的設(shè)計(jì)目的：這個(gè)問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)相像時(shí)見過同種種類，所以在講堂上要給學(xué)生留出一些思慮和交流的時(shí)間，讓學(xué)生充散發(fā)揮講堂的主體地位。在學(xué)生充散發(fā)揮自主研究的能力后，教師要與學(xué)生共同協(xié)作達(dá)成題目的解答。這樣做的目的是為學(xué)生在后邊的學(xué)習(xí)起示范作用，幫助學(xué)生在腦海中形成完好的解答過程。詳細(xì)的過程以下：剖析：(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是△EBC中的一邊，所以能夠用三角形相像求出BC。由△EBC∽△EAF，得即，所以AD＝BC＝(40－x)。要求面積y的最大值，即求函數(shù)y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題了。下邊由學(xué)生達(dá)成解答過程。我設(shè)計(jì)了一個(gè)問題：用什么方法求出AD的長？學(xué)生簡單想到三角形相像，而忽視了相等的角的三角函數(shù)值也相等，借助∠M或許∠MCD的正切值也能夠求出AD的長，而后讓學(xué)生比較最優(yōu)解題方法。提出問題：解決這種問題你有什么心得？（第一對(duì)題意進(jìn)行剖析，找到變量間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)求面積就是求矩形的兩條邊，其次把兩條邊都用含有x的代數(shù)式表示出來，最后帶入面積公式將實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題，用數(shù)學(xué)的方式解決它。）設(shè)計(jì)目的讓學(xué)生實(shí)時(shí)回思，總結(jié)解題方法，達(dá)到貫通融會(huì)的成效。2．問題二：將問題一變式：“設(shè)AD邊的長為xm，則問題會(huì)如何呢？”問題二的設(shè)計(jì)目的：學(xué)生在是生活中碰到的問題是變化多端的，他們要有詳細(xì)問題詳細(xì)分析的能力，所以將問題進(jìn)行必定變化后學(xué)生能夠經(jīng)過自己的剖析獨(dú)立解決這種問題。從而提高學(xué)生獨(dú)立思慮并解決問題的能力。剖析：要求面積需求AB的邊長，而AB=CD，所以需要求DC的長度，而DC是△MDC中的一邊，所以能夠利用三角形相像來求,也能夠借助三角函數(shù)值相等求出。一世板演。提出問題：矩形面積的最大值有何變化？讓學(xué)生感知：同一實(shí)質(zhì)問題中的最大值問題與所設(shè)的自變量沒關(guān)，它是固定不變的的。設(shè)計(jì)說明：講堂上要修業(yè)生獨(dú)立達(dá)成這個(gè)問題的完好解答，請(qǐng)一、兩名學(xué)生板演，再由其余學(xué)生進(jìn)行評(píng)論，找出完滿的解答過程。表現(xiàn)學(xué)生的自主研究、合作溝通的意識(shí)與能力，也充分表現(xiàn)了生生評(píng)論的激勵(lì)作用。3．問題三：對(duì)問題再三變式問題三的設(shè)計(jì)目的：問題二的解答會(huì)使一部分學(xué)生完好依照問題一的格式套下來，此時(shí)他們還會(huì)有點(diǎn)不嫻熟，但問題三則從另一個(gè)角度從頭解說了面積最大的問題。即讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問題從頭進(jìn)行審察又讓學(xué)生完全弄清這種問題的思慮方式。讓學(xué)生在講堂上看到了活生MB生的數(shù)學(xué)識(shí)題，感覺到數(shù)學(xué)與生活有著親密的聯(lián)系，使學(xué)生真實(shí)意會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。在Rt△0MN的內(nèi)部作內(nèi)接矩形ABCD，點(diǎn)A和D分別在兩直角

30AmCNOD40m邊上，BC在斜邊MN上。①設(shè)矩形的邊BC=xm，則AB邊的長度如何表示？②設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的最大值是多少?提出問題：,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部能找到二者的關(guān)系，所以該題要增添協(xié)助線——斜邊上的高，轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯炕顒?dòng)一的問題?；顒?dòng)目的：有了前面兩題作基礎(chǔ)，這個(gè)問題教師能夠率領(lǐng)學(xué)生先行剖析后留給

AD學(xué)生自己解決，作為練習(xí)。課件展現(xiàn)規(guī)范的解題步驟。為了培育優(yōu)生，張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，設(shè)計(jì)了一個(gè)提高題：如圖,BE

GFC已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形部件DEFG,使EF在BC上,點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?4．問題四：窗戶經(jīng)過的最大面積xx問題四的設(shè)計(jì)目的：相關(guān)面積最大問題的基礎(chǔ)y訓(xùn)練前面已經(jīng)波及，這里設(shè)計(jì)了提高題來提高學(xué)生解決問題的能力。某建筑物的窗戶以下圖,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的資料總長(圖中全部的黑線的長度和)為15m.當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶經(jīng)過的光芒最多?此時(shí),窗戶的面積是多少?教課預(yù)設(shè)：指引學(xué)生剖析得出x為半圓的半徑，2x是矩形的較長邊，所以x與半圓面積和矩形面積都相關(guān)系，要求透過窗戶的光芒最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2xy＋x2最大，而因?yàn)?y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝。面積S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，這時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題即二次函數(shù)了，只要化為極點(diǎn)式或代入極點(diǎn)坐標(biāo)公式中即可．實(shí)質(zhì)教課成效：問題四中的數(shù)目關(guān)系，較前面3個(gè)問題，該題辦理起來比較繁瑣，教師要賜予學(xué)生實(shí)時(shí)的指導(dǎo)和幫助。此處設(shè)計(jì)了微視頻，經(jīng)過微視頻讓學(xué)生明確解題方法。第二環(huán)節(jié)概括升華活動(dòng)內(nèi)容：同學(xué)們可否依據(jù)前面的例子作一下總結(jié)，解決此類問題的基本思路是什么呢？與伙伴進(jìn)行溝通．活動(dòng)目的：經(jīng)過前面例題的學(xué)習(xí)和感覺，學(xué)生議論溝通，在教師的幫助下概括出：基本流程為：理解題目剖析已知量與未知量轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題．解決此類問題的基本思路是：理解問題；剖析問題中的變量和常量以及它們之間的關(guān)系；用二次函數(shù)表示出變量間的關(guān)系；確立最大值或最小值；查驗(yàn)結(jié)果的合理性并進(jìn)行應(yīng)用拓展。第三環(huán)節(jié)講堂檢測設(shè)計(jì)說明：經(jīng)過一節(jié)課的的研究，讓學(xué)生進(jìn)一步感覺二次函數(shù)解決面積最大的思路，為了讓更多的學(xué)生體驗(yàn)到成功，利用兩個(gè)比較簡單的問題實(shí)時(shí)穩(wěn)固，并有益于學(xué)生建立信心。第四環(huán)節(jié)回首反省本節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)知識(shí)解決最大面積的問題，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，獲取了利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)質(zhì)問題的經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步感覺了數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值．設(shè)計(jì)說明：旨在培育學(xué)生的建模思想和合作溝通的意識(shí)。講堂中應(yīng)請(qǐng)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。教師予以鼓舞、夸獎(jiǎng)和必定即可。經(jīng)過微視頻提高學(xué)生興趣。第五環(huán)節(jié)部署作業(yè)1.預(yù)習(xí)下一節(jié)最大收益應(yīng)用問題2.課本P78問題解決1、33.（選作）如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花園，設(shè)花園的寬AB為x米，面積為S平米。求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花園面積最大，最大值是多少？若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花園的最大面積。設(shè)計(jì)目的：提示學(xué)生自變量的取值范圍，追求最值不必定在極點(diǎn)處。

ADBC三、評(píng)論與反省