概率論與數(shù)理統(tǒng)計(隨機(jī)數(shù)學(xué))(概率統(tǒng)計)復(fù)習(xí)資料-精華知識點

《概率統(tǒng)計》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》課程期末復(fù)習(xí)資料古典概型例子摸球模型a個白球，ｂ個黑球，從中接連任意取出m(m≤a+ｂ)個球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的例1：袋中有球是白球的概率;aｂcｍ(m≤a+ｂ)個球，求取出的mNkak個球中有1(≤)個白球、2(≤例2：袋中有個白球，個黑球，個紅球，從中任意取出bk)個黑球、3(≤)個紅球(1＋2＋3=)的概率.ckkkm占位模型nN個格子中的分布問題.設(shè)有nN個不同質(zhì)點，每個質(zhì)點都以概率1/落入N個格子(≥n)的任一個之中，求例：個質(zhì)點在下列事件的概率：AnBn個格子中各有一個質(zhì)點}；(1)={指定個格子中各有一個質(zhì)點}；(2)={任意C(3)={指定的一個格子中恰有m(m≤n)個質(zhì)點}.抽數(shù)模型例：在0～9十個整數(shù)中任取四個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少？2．概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨立性的概念及性質(zhì)。ABA或B，已知()，()，()，(PAPBPABPABPABPBA)，(|)，(|)以及換為A或B之中的幾個，求另外如對于事件，，幾個。PAPBPABPABPAB)相互獨立，且()=0.5，()=0.6，求：()，(－)，(AB例1：事件與P(A－B)，P(AB)，P(A|B)，P(A|B)P(A|B)例2：若()=0.4，()=0.7，()=0.3，求：，3．準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。PAPBPABAABinPBB若已知導(dǎo)致事件發(fā)生(或者是能與事件同時發(fā)生)的幾個互斥的事件，=1,2,…,,…的概率(i)，以及i發(fā)生的條iAPABAPAABPBA件下事件發(fā)生的條件概率(|i)，求事件發(fā)生的概率()以及發(fā)生的條件下事件i發(fā)生的條件概率(|)。i例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。4．一維、二維離散型隨機(jī)變量的分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。分布中待定參數(shù)的確定，分布律、密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)合分布與邊緣分布、條件分布的關(guān)系，求數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，求函數(shù)的分布律、密度函數(shù)及期望和方差。(1)已知一維離散型隨機(jī)變量X的分布律(=)=，=1,2,…,,…PXxpinii確定參數(shù)PaXb求概率(<<)Fx求分布函數(shù)()EXDX求期望()，方差()YgXEgX求函數(shù)=()的分布律及期望[()]例：隨機(jī)變量X的分布律為.1k234Xp2k3k4kk確定參數(shù)P{1X3}PX求概率(0<<3)，F(xiàn)x求分布函數(shù)()EXDX求期望()，方差()求函數(shù)Y(X3)2的分布律及期望E(X3)21fx(2)已知一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)()確定參數(shù)P(a<X<b)求概率F(x)求分布函數(shù)EX求期望()，方差D(X)YgXEgX求函數(shù)=()的密度函數(shù)及期望[()]fxX的概率密度為kx20x20其他，例：已知隨機(jī)變量確定參數(shù)k求概率P{1X3}Fx求分布函數(shù)()求期望E(X)，方差D(X)求函數(shù)YX的密度及期望XYE(X)PXxYypimjn(3)已知二維離散型隨機(jī)變量(，)的聯(lián)合分布律(=，=j)=，=1,2,…,,…；=1,2,…,,…iijPXYG確定參數(shù)，求概率{(,)}PXxpimPYypPYyXxjn求邊緣分布律(=)=，=1,2,…,,…；(=j)=.j，=1,2,…,,…ii.PXxYyimjn求條件分布律(=|=)，=1,2,…,,…和(=j|=i)，=1,2,…,,…ijEXEY求期望()，()，方差D(X)，D(Y)XYXY求協(xié)方差cov(,)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)ZgXY求函數(shù)=(,)的分布律及期望[(,)]EgXYXY例：已知隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布律為Y0123X0120.050.030.020.10.150.050.10.20.050.050.070.13PXY求概率(<)，P(X=Y)PXkk=0,1,2和(=)PYkk=0,1,2,3求邊緣分布律(=)PXkY求條件分布律(=|=2)kPYkX=0,1,2和(=|=1)k=0,1,2,3EXEY求期望()，()，方差D(X)，D(Y)XY求協(xié)方差cov(,)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)XY求Z=X+Y，WXYV=max{，}，=min{，}的分布律XYXfxy的聯(lián)合密度函數(shù)(,)(4)已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量PXYG確定參數(shù)，求概率{(,)}f(x)，f(y)，判斷X,Y是否相互獨立求邊緣密度XYxy，fY|X(|)(y|x)求條件密度fX|YEXEY求期望()，()，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差cov(,)，相關(guān)系數(shù)XY，判斷是否不相關(guān)EgXYXYZgXY求函數(shù)=(,)的密度函數(shù)及期望[(,)]cx2y,x2y1f(x,y)XY例：已知二維隨機(jī)變量(，)的概率密度為0,其它，2確定常數(shù)c的值；P(X<Y)求概率f(x)，f(y)，判斷X,Y是否相互獨立求邊緣密度XYxy，fY|X(|)(y|x)求條件密度fX|YEXEY求期望()，()，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差cov(,)，相關(guān)系數(shù)XY，判斷是否不相關(guān)XY5．會用中心極限定理解題。例1：每次射擊中，命中目標(biāo)的炮彈數(shù)的均值為2，方差為1.52，求在100次射擊中有180到220發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率．例2：設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。6．熟記(0-1)分布、二項分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指數(shù)分布(參數(shù)望和方差。)、均勻分布、正態(tài)分布的密度函數(shù)、期數(shù)理統(tǒng)計部分必須要掌握的內(nèi)容以及題型,,,X由樣本構(gòu)成的各種函數(shù)是否是統(tǒng)計量。2X1統(tǒng)計量的判斷。對于來自總體的樣本XX1n2．計算樣本均值與樣本方差及樣本矩。3．熟記正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理。4．會求未知參數(shù)的矩估計、極大似然估計。fx1x,0x1，X,,X是來自總體X的一個樣本，求未知參數(shù)的例：設(shè)總體X的概率密度為0,其它1n矩估計量與極大似然估計量.5．掌握無偏性與有效性的判斷方法。X對于來自總體的樣本XX,,,X，判斷估計量是否無偏，比較哪更個有效。21nX,X,X例：設(shè)3是來自總體X的一樣個本，下列統(tǒng)計量是不是總體均值的無偏估計1213XX1X11(XX)；3XX121X13(XXX)；XXX3；123；51023241212312123求出方差，比較哪個更有效。6．會求正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。對于正態(tài)總體，由樣本結(jié)合給出條件，導(dǎo)出參數(shù)的置信區(qū)間。7．理解假設(shè)檢驗的基本思想和原理，明確正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗的基本步驟。對于單、雙正態(tài)總體根據(jù)給定條件，確定使用什么檢驗方法，明確基本步驟。例：設(shè)X~N(u,)2未知，(Xxxu與給定常數(shù)u0有uX1，…，n)為樣本，(1,…,n)為樣本觀察值。(1)試寫出檢驗無顯著差異的步驟；(2)試寫出檢驗2與給定常數(shù)02比較是否顯著偏大的步驟。1．古典概型中計算概率用到的基本的計數(shù)方法。2，和古典概型例子摸球模型a個白球，ｂ個黑球，從中接連任意取出m(m≤a+ｂ)個球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的例1：袋中有球是白球的概率;分析：本例的樣本點就是從+中有次序地取出a+ｂ-1個球中取出m-1個球。B＝｛第m次取出的球是白球｝aｂm個球的不同取法；第mｍ次取出的球是白球意味著：第次是從a個白球中取出一球，再在解：設(shè)樣本空間的樣本點總數(shù)：nAmabraAm1aabrC1AaP(B)ab1事件B包含的樣本點：amb11，則nAmab注：本例實質(zhì)上也是抽簽問題，結(jié)論說明按上述規(guī)則抽簽，每人抽中白球的機(jī)會相等，同抽簽次序無關(guān)。例2：袋中有4個白球，5個黑球，6個紅球，從中任意取出9個球，求取出的9個球中有1個白球、3個黑球、5個紅球3的概率.B解：設(shè)＝｛取出的9個球中有1個白球、3個黑球、5個紅球｝樣本空間的樣本點總數(shù)：nC159=5005包含的樣本點：rC1C3C65=240，則P(B)=120/1001=0.048B事件45占位模型n例：個質(zhì)點在N個格子中的分布問題.設(shè)有nN個不同質(zhì)點，每個質(zhì)點都以概率1/落入NN個格子(≥n)的任一個之中，求下列事件的概率：A(1)={指定nB個格子中各有一個質(zhì)點}；(2)={任意n個格子中各有一個質(zhì)點}；C(3)={指定的一個格子中恰有m(m≤n)個質(zhì)點}.解：樣本點為總數(shù)為：Nnn個質(zhì)點在N個格子中的任一種分布，每個質(zhì)點都有N種不同分布，即n個質(zhì)點共有Nn種分布。故樣本點n!n!，則P(A)n個質(zhì)點，且每格有一個質(zhì)點，共有!種不同放法；因此，事件A包含的樣本點數(shù)：n個格子中放有n(1)在NnN個格子中任意指定n個格子，共有CnN(2)先在n個格子中放n個質(zhì)點，且每格一個質(zhì)點，共有n!種種不同的方法；在B不同方法；因此，事件包含的樣本點數(shù)：nC!AnP(B)AnNNn，則nNNm(m≤n)個質(zhì)點共有C(3)在指定的一個格子中放n-m個質(zhì)點任意放在余下的N-1個格子中,共有m種不同方法；余下n(N1)nm種不同方法.因此，事件C包含的樣本點數(shù)：Cm(N1),則nmnnm(1)N1CmNnP(C)Cm(1)m()nmNnNNn抽數(shù)模型例：在0～9十個整數(shù)中任取四個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少？解：考慮次序.基本事件總數(shù)為：A104=5040，設(shè)={能排成一個四位偶數(shù)}。若允許千位數(shù)為0，此時千位數(shù)可在0、2、4、6、8這五個數(shù)字中任選其一，共有5種選法；其余三位數(shù)則在余下的九個數(shù)字中任選，有A93種選法；從而共有5BA93=2520個。其中，千位數(shù)為0的“四位偶數(shù)”有多少個？此時個位數(shù)只能在2、4、6、8這四個數(shù)字中任選其一，有4種選法；十位數(shù)與百位數(shù)在余下的八個數(shù)字中任選兩個，有A82種選法；從而共有P(B)5A34A24A82=224個。因此98=2296/5040=0.456A4102．概率的基本性質(zhì)、條件概率、加法、乘法公式的應(yīng)用；掌握事件獨性立的概念及性質(zhì)。PAB)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8A與B相互獨，立且PAPBPABPABPAB)例1：事件()=0.5，()=0.6，求：()，(－)，(PABPAPB解：()=()()=0.3，(－)=()－()=0.2，(PABPAPABP(A－B)，P(AB)，P(A|B)，P(A|B)P(A|B)PAPBPAB例2：若()=0.4，()=0.7，()=0.3，求：，P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)=4/7，P(B)P(B)P(A|B)=PAB)=0.8，=3/7，P(A|B)=PAB解：(－)=0.1，(P(A|B)=P(AB)P(AB)P(B)1P(B)=2/33．準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。i0,1,2。則P(B)0.8，P(B)0.1，A表示“顧客買下該箱”，B解：設(shè)事件i表示“箱中恰好有件次品”，i01441219P(A|B)C419C420P(A)P(B)P(A|B)0.810.140.10.94；5，P(A|B)C418P(B)0.1，P(A|B)1，。2012C420122由全概率公式得519iii0P(B)P(A|B)0.810.85。(|)PBA0由貝葉斯公式00P(A)0.944例：隨機(jī)變量X的分布律為.1k234Xp2k3k4k確定參數(shù)kPXPX求概率(0<<3)，(1<<3)Fx求分布函數(shù)()EXDX求期望()，方差()求函數(shù)Y(X3)2的分布律及期望E(X3)2p1解：由k＋2＋3＋4=1得kkkk=0.1，有ii(0<<3)=(=1)＋(=2)=0.3，(1<<3)=(=2)=0.2PXPXPXPXPX0x10.11x2F(x)0.32x30.63x4x412E(X)xpE(X)xp=10，D(X)=E(Xi)(E(X))2=1=3，22iiiiiYP0140.30.60.1E(X3)2=1kx0x22fx例：已知隨機(jī)變量X的概率密度為0其他，確定參數(shù)kPX求概率(1<<3)Fx求分布函數(shù)()EXDX求期望()，方差()求函數(shù)YX的密度函數(shù)及期望E(X)28kx2dx3k=1，得f(x)dx=1，有f(x)dx=k=3/8解：由023(1<<3)=3f(x)dx=PXx2dx=7/8.8110x0x3F(x)0x2x281E(X)xf(x)dx=23x3dx=3/2，E(X2f(x)dx=238)x2x4dx=12/58005DX()=EX()(E(X))2=3/2023y50y2f(y)40其他E(X)=236275x2dx=xf(x)dx=80XY例：已知隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合分布律為Y0123X0120.050.030.020.10.150.050.10.20.050.050.070.13PXYPXYP(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3①求概率(<)，(=)，求邊緣分布律PXkYkPYkXkEXEYDXDY②求條件分布律(=|=2)=0,1,2和(=|=1)=0,1,2,3③求期望()，()，方差()，()④求協(xié)方差XYcov(,)，相關(guān)系數(shù)，判斷是否不相關(guān)XYZXYWXYVXY⑤求=+，=max{，}，=min{，}的分布律PXYPXYX的分布律解：(<)=0.1，(=)=0.2X012p0.50.20.3Y的分布律Y0123p0.10.20.30.4X的條件分布律X|Y=2012p1/21/61/3Y的條件分布律Y|X=10123p0.150.250.250.35E(X)xp=0.8，E(X2)x2p=1.4，D(X)=E(X2)(E(X))2=0.76iijiijijy2ijE(Y)yp=2，E(Y)p=5，D(Y)=E(Y2)(E(Y))2=1ij2jijjijijxyp=1.64，cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.04ijijE(XY)ij6cov(X,Y)=0.046相關(guān)=D(X)D(Y)XYZ=X＋Y的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13WXY=max{，}的分布律W0123p0.050.180.370.4VXY=min{，}的分布律Vp0120.550.220.23cx2y,xy12，f(x,y)XY例：已知二維隨機(jī)變量(，)的概率密度為0,其它確定常數(shù)c的值；P(X<Y)求概率f(x)，f(y)，判斷X,Y是否相互獨立求邊緣密度X(x|y)Y，f(y|x)求條件密度fX|YY|XEXEY求期望()，()，方差D(X)，D(Y)求協(xié)方差cov(,)，相關(guān)系數(shù)XY，判斷是否不相關(guān)XYf(x,y)dxdy=1，有1f(x,y)dxdy=dx1cx2ydy=1，得c=21/4解：由1x2(<)=dy21x2ydx=0.851yPXY0y4214x2ydy218x(1x)1x1124f(x)X2x0其它y21x2ydx72y20y15f(y)4yY0其它X與Y不獨立f(x,y)33x2yyxyf(x|y)X|Y2f(y)2Y0其它7f(x,y)8yx2y1f(y|x)()1xfx4Y|XX0其它E(X)121xf(x,y)dxdy=dx1x3ydy=0x241E(X2)x2f(x,y)dxdy=dx1211x4ydy=7/1541x2DX()=EX()(E(X))2=7/152E(Y)121yf(x,y)dxdy=dx1x2y2dy=7/9x241E(Y2)y2f(x,y)dxdy=dx1211x2y3dy=7/11x241DY()=EY()(E(Y))2=28/8912E(XY)121xyf(x,y)dxdy=dx1x3y2dy=0x241XYcov(,)=0，=0，X與Y不相關(guān)XY5．會用中心極限定理解題。例1：每次射擊中，命中目標(biāo)的炮彈數(shù)的均值為2，方差為1.52，求在100次射擊中有180到220發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率．例2：設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)