4-1-5-圖形的分割及拼接

圖形的分割與拼接魁崛M例題精講本講主要學(xué)習(xí)三大圖形處理方法：理解掌握圖形的分割；理解掌握圖形的拼合；理解圖形的剪拼.本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)邮謬L試.通過本講知識的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強學(xué)生的動手操作能力.把一個幾何圖形按*種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割.反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合.將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼.我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點來思考.如果把一個圖形分割成假設(shè)干個大小、形狀相等的局部，則就要想方法找圖形的對稱點，把圖形先分少，再分多.圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形.如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的.如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等這個關(guān)鍵，根據(jù)條件和圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法.板塊一圖形的分割【例11用一條線段把一個長方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法.【解析】怎樣把一個圖形按照規(guī)定的要求分割成假設(shè)干局部呢.這就是圖形的分割問題.按照規(guī)定的要求合理分割圖形，是很講究技巧的，多做這種有趣的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，開展空間觀念，豐富想象，提高觀察能力.這道題要求把長方形平均分割成兩塊，過長方形中心的任意一條直線都可以把長方形平均分割成兩塊，根據(jù)這點給出如下分法伽右圖)：⑴做長方形的兩條對角線，設(shè)交點為0(2)過0點任作一條直線AB,直線AB將長方形平均分割成兩塊.可見用線段平分長方形的分法是無窮多的.【穩(wěn)固】畫一條直線，將六邊形分成大小相等、形狀一樣的兩局部，這樣的直線有條.【解析】無數(shù)條.任何過六邊形中心的直線均符合要求.【例2］把任意一個三角形分成面積相等的4個小三角形，有許多種分法.請你畫出4種不同的分法.【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成4個等底等高的小三角形，它們的面積必定相等.而要得到這4個等底等高的小三角形，只需把原三角形的*條邊四等分，再將各分點與這邊相對的頂點連接起來就行了.根據(jù)上面的分析，可得如左以下圖所示的三種分法.又因為41422,所以，如果我們把每一個小三角形的面積看做1,則14就可以視為把三角形的面積直接分成4等份，即分成4個面積為1的小三角形；而22可以視為先把原三角形分成兩等份，再把每一份分別分成兩等份.根據(jù)前面的分析，在每次等分時，都要想方法找等底等高的三角形.根據(jù)上面的分析，又可以得到如右以下圖的另兩種分法.【穩(wěn)固】把任意一個三角形分成面積相等的2個小三角形，有許多種分法.請你畫出3種不同的分法.【解析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等這一結(jié)論，只要把原三角形分成2個等底等高的小三角形，它們的面積必定相等.而要得到這2個等底等高的小三角形，只需找出原三角形的*條邊的中點與這邊相對的頂點連接起來就行了.根據(jù)上面的分析，可得如下圖的三種分法.【例3】怎樣把一個等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.【解析】⑴分成8塊的方法是：先取各邊的中點并把它們連接起來，得到4個大小、形狀一樣的三角形，然后再把每一個三角形分成兩局部，得到如左上圖所示的圖形.⑵分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點彼此連接起來，得到加上右上圖所示的符合條件的圖形.【例4】以下圖是一個直角梯形，請你畫一條線段，把它分成兩個形狀一樣并且面積相等的四邊形.【解析】直角梯形的上底為1，下底為2,要分成兩個一樣的四邊形，需要一條邊可以分成1和2，AD邊長正好為3，所以入。邊分成兩段，找到AD的三等分點E，現(xiàn)在，CDAE，DEAB，BFEF，所以還要找到BC的中點F，連接EF，就把梯形ABCD分成完全一樣的兩局部.如右上圖.【例5】在一塊長方形的地里有一正方形的水池如以下圖）.試畫一條直線把除開水池外的這塊地平分成兩塊.【解析】用連對角線的方法找出這塊長方形地的中心。和正方形水池的中心A.過0、A畫一條直線，這條直線正好能把除開水池外的這塊地平分為兩塊如右上圖）.【例6】把以下圖四等分，要求剪成的每個小圖形形狀、大小都一樣.除了剪正方形外，你還有別的方法嗎.【解析】先把圖形分成2040相等的兩塊，每一塊中再分成相等的兩份，這樣就不難分成四塊了，如右上圖.【例7】以下圖是一個34的方格紙，請用四種不同的方法將它分割成完全一樣的兩局部，但要保持每個小方格的完整.【解析】分成的兩塊每塊有1226個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，我們從對稱線入手，介紹一種分割技巧一一染色法，先選中一個小格，找它關(guān)于中心點或中心線的對稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號.當(dāng)找它關(guān)于中心線的對稱位置時是一種情況，關(guān)于中心點的對稱位置是另一種情況，具體如以下圖所示.【穩(wěn)固】右圖是一個44的方格紙，請用六種不同的方法將它分割成完全一樣的兩局部，但要保持每個小方格的完整.【解析】因為要分割成完全一樣的兩塊，即大小、形狀完全一樣.方格紙一共有4416個）小格，所以分成的兩塊每塊有1628I個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，應(yīng)用染色法，從中心點的一側(cè)入手染色，逐步推進.建議教師同時呈現(xiàn)六幅空的44格圖，不同的變化在不同的圖上同時呈現(xiàn)）如以下圖：【例8】以下圖是一個被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請你將它分成大小形狀完全一樣的四局部.【解析】要求把陰影局部分成四個大小、形狀都一樣的四個圖形，先不考慮形狀，大小一樣也就是面積相等，也就是把整個圖形的面積分成四份，分割后的每一局部占一份.考慮先把陰影局部分成12個小正方形再分成四份，這樣每份正好有3個小正方形.再看形狀，三個小正方形只能排成“-形或者“形.答案如以下圖.【穩(wěn)固】以下圖是一個被挖去了為總面積四分之一小正方形的大正方形，請你將它分成大小形狀完全一樣的兩局部.如果分三局部呢.【解析】從形狀，面積兩方面綜合考慮，很容易就能得到答案.答案如右上圖.【穩(wěn)固】圖中是由三個正三角形組成的梯形.你能把它分割成4個形狀一樣、面積相等的梯形嗎.【解析】這道題的要點在于通過計算解決問題，要求把原來三個正三角形分成四個大小、形狀都一樣的四個梯形，先不考慮形狀，大小一樣也就是面積相等，即把整個梯形的面積分成四份，分割后的每一個梯形占一份，可以考慮把每一個三角形的面積分成四份，再把三個正三角形中的每一個小三角形合成要求的梯形，這種類型的題目可以從中點入手，找到每個正三角形的中點并連接，如右上圖.【例9］以下圖是由五個正方形組成的圖形.把它分成形狀、大小都一樣的四個圖形，應(yīng)怎樣分.【解析】如果不考慮分成的四個圖形的形狀，只考慮它們的面積，這就要求把原來五個正方形分成四個面積相等的圖形，每個圖形的面積應(yīng)是1個多正方形.我們把每個正方形各分成四個面積相等的小正方形，分成的每塊圖形應(yīng)有五個這樣的小正方形.根據(jù)圖形的對稱性，我們很快就能得到如右上圖的分法.也可以將中間的正方形分成四個小正方形，如右上圖.【例10】左以下圖是由同樣大小的5個正方形組成的.試將圖形分割成4塊形狀、大小都一樣的圖形.【解析】圖形是由同樣大小的5個正方形組成的，要分成4塊同樣大小的圖形，則每塊圖形是2個正方形?由4此想到，假設(shè)把每個正方形都分成4等份，則分割成的每一塊中應(yīng)包含5份.再稍經(jīng)試驗，即得右上圖的解圖部的實線為分割線）.【穩(wěn)固】把右圖剪成形狀、大小相等的8個小圖形，怎么剪.作出分出的小圖形.【解析】總格數(shù)為12,用總格數(shù)除以8,得到每個小圖形應(yīng)該是一個半小正方形，根據(jù)平均一個小圖形的格數(shù)作圖，如右圖.【例11】以下圖是由18個小正方形組成的圖形，請你把它分成6個完全一樣的圖形.【解析】通過計算，18-6=3，說明根本形狀是由三個小正方形組成，三個正方形有兩種形式:通過觀察，上面的圖形具有對稱性，不可能分成6個一一一，再由6結(jié)合染色法，如以下圖.【例12】一個正三角形形狀的土地上有四棵大樹如以下圖所示），現(xiàn)要把這塊正三角形的土地分成和它形狀一樣的四小塊，并且要求每塊地中都要有一棵大樹.應(yīng)怎樣分.【解析】由于土地的形狀為正三角形，由題意可知，把大三角形的面積分成四份，每一塊占一份，且形狀與原三角形一樣，于是我們想到取大正三角形的各邊中點，依次連接各邊中點，即可將這塊大正三角形的土地分成與它相等的四份，如右上圖所示.【總結(jié)】此題假設(shè)死守三角形面積等于底高的一半，則無以下手，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換一下思考角度，取原三角形各邊中點，將原三角形分成面積相等的四局部，問題即可解決.【例13】將以下圖分割成大小、形狀一樣的三塊，使每一小塊中都含有一個。.【解析】圖中一共有18個小方格，要求分割成大小、形狀一樣的三塊，每一塊有：1836塊），而且分割成大小、形狀一樣的三塊，可以看出圖形的中心點是O，而且上面的局部是對稱的，但是只有5塊，需要對稱的再加上一塊，再由圖形的特點，可以判斷應(yīng)分為右以下圖的三局部.【例14】請把下面這個長方形沿方格線剪成形狀、大小都一樣的4塊，使每一塊都含有“奧數(shù)讀本這四個字中的一個，該怎么剪.【解析】圖中“奧數(shù)與“讀本中的兩個字都是挨著的，所以肯定要在它們中間分割，因此，首先在他們中間劃出分割線，因為要將這個長方形分成大小、形狀完全一樣的4塊，因為長方形是64的，所以分割后的每一塊都有6小塊組成，可以考慮先把長方形分成一樣的兩局部，再把每一局部分成一樣的兩局部，如以下圖所示.答案不唯一.【例15】（2021年第八屆“春蕾杯小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽初賽）請把下面的圖形分成形狀、大小都一樣的4塊，使每一塊里面都有“春蕾杯賽4個字.【解析】如以下圖所示：答案不唯一.【例16】學(xué)習(xí)與思考對小學(xué)生的開展是很重要的，學(xué)習(xí)改變命運，思考成就未來，請你將以下圖分成形狀和大小都一樣的四個圖形，并且使其中每個圖形都含有“學(xué)習(xí)思考這四個字.應(yīng)怎樣分.【解析】看到這道題目，我們想到俄羅斯方塊，由題意可知，所分出的每一塊圖形，必須由4個小正方形組成，它的形狀不外乎如右上圖所示的五種俄羅斯方塊，這就控制了搜索的圍.根據(jù)原題中各個字的具體位置，上圖中有些圖形是必須排除的，例如，如果把圖⑵與原題右下角22的正方形重疊，其中“考字出現(xiàn)了兩次，不符合題意，因此，圖⑵可以先排除掉.現(xiàn)在，再固定*一角上的一個小正方形，按其中的字來考慮.如固定右上角寫有“考的小正方形來分析，只有以下4種可能出現(xiàn)的情況：【例17】如以下圖所示，請將這個正方形分切成兩塊，使得兩塊的形狀、大小都一樣，并且每一塊都含有學(xué)而思奧數(shù)五個字.數(shù)而而數(shù)而而奧奧數(shù)思學(xué)學(xué)思數(shù)而而奧奧數(shù)O思學(xué)學(xué)思數(shù)而而奧奧數(shù)O思學(xué)學(xué)思圖1圖2【解析】圖中有一樣漢字挨在一起的情況，肯定要從它們之間切開（圖1），因此，首先要在它們之間劃出切分線.因為要將這個正方形切開成兩塊形狀和大小都一樣的圖形，所以其中一塊繞中心點旋轉(zhuǎn)180必定與另一塊重合.要是把切分線也繞中心點旋轉(zhuǎn)180°就可得到一些新的切分線（圖2）.這就為我們解決問題提供了線索，此題的兩種解法如上圖所示.【穩(wěn)固】如以下圖所示的正方形是由36個小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4顆白子，現(xiàn)在要把它切割成形狀、大小都一樣的四塊，并使每一塊中都有一顆黑子和一顆白子.試問如何切割.【解析】首先在一樣顏色的棋子之間劃出切分線，以中心旋轉(zhuǎn)90。、180'、270。之后，得到一些新的切分線，同時考慮到每塊包含有一顆黑子和一顆白子的要求，以及每一塊面積應(yīng)該是3649，即含有9個小正方格，先找到符合要求的一塊后，讓它繞中心旋轉(zhuǎn)90。、180。、270便得到其他三塊，如右上圖.【例18】如圖，甲、乙是兩個大小一樣的正方形.要求把每一個正方形分成四塊，兩個正方形共分為八塊，使每塊的大小和形狀都一樣，而且都帶一個。.甲乙【解析】一個正方形分成大小和形狀都一樣的四塊，一定是從中心點分開的，只要能找出其中符合題目要求的一塊，然后再將這塊繞著正方形的中心、點分別旋轉(zhuǎn)90。、180、270。就可以得到另外三塊.又因為這個正方形面積為36平方單位，所以分成的每一塊的面積都是9平方單位.即每一塊都由9個小正方格組成.另外，由于兩個正方形要切分成一樣大小的四塊，因此可將兩個正方形重疊在一起考慮.將兩個正方形重疊在一起，如以下圖所示，為便于區(qū)別，將其中一組的“。改寫成“X.按要求將這重疊的正方形切分成大小、形狀都一樣的四塊，并且每塊都有一個“。和“x.圖中有一樣符號的“。挨在一起的從中間把它們切開，在它們中間劃上截線.并將這些截線繞中心點旋轉(zhuǎn)90。、180。、270得到另外三段截線.如以下圖.利用它們設(shè)想出劃分線.設(shè)想分塊從中心、位置開場，逐步向外擴散，在里層方格中，先指定*一方格已分入到*小塊中，并作上記號斜線陰影），然后將它繞中心旋轉(zhuǎn)180。后得到另一方格分入到另一小塊中，也作上記號橫線陰影），如圖.對于中間一層方格和最外一層方格，設(shè)想分塊時一定要緊扣條件：每一塊中都要有一個“。和一個“.每一塊都有9個方格組成，不能斷開.以下圖是分解了的分塊過程示意圖.注意到斜線陰影局部已經(jīng)有了一個“。和一個“?則左下角包含“。的方格就不能再分到斜線陰影局部去了，而只能將右下角的方格分到斜線陰影局部.于是左上角的方格就應(yīng)該分給橫線陰影局部.空白局部是另外兩塊.下就是最后分得的結(jié)果.【例19】正三角形ABC的面積是1平方米，將三條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)六個端點得到一個六邊形如右圖），求六邊形的面積.【解析】采用分割法，過A、B、C分別作平行線，得到右上圖，其中所有小三角形的面積都一樣，所以六邊形面積等于13平方米.【穩(wěn)固】正方形ABCD的面積是1平方米，將四條邊分別向兩端各延長一倍，連結(jié)八個端點得到一個正方形如圖），求大正方形的面積.【解析】四條邊分別向兩端各延長一倍，很容易可以觀察出，大正方形有9個小正方形組成，所以，大正方形的面積是：199平方米）.【穩(wěn)固】正六邊形ABCDEF的面積是1平方米，將六條邊分別向兩端各延長一倍，交于六個點，組成如以下圖的圖形，求這個圖形的面積.【解析】采用分割法，連接正六邊形的對角線，會發(fā)現(xiàn)，所有的三角形面積都一樣，一共有12個小三角形，原來正六邊形的面積是1平方米，由6個小三角形組成，所以現(xiàn)在的大圖形的面積是：122平方米）【例20】第九屆“中環(huán)杯小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動初賽）如圖，它是由15個邊長為1厘米的小正方形組成的.⑴請在原圖中沿正方形的邊線，把它劃分為5個大小形狀完全一樣的圖形，分割線用筆描粗.⑵分割后每個小圖形的周長是厘米.⑶分割后5個小圖形的周長總和與原來大圖形的周長相差厘米.【分析】（1）因為總共有15個小正方形，所以分成5個大小形狀一樣的圖形后每個圖形應(yīng)該有1553個）小正方形，如圖.⑵每個小圖形的周長為8厘米.⑶5個小圖形的周長和：8540厘米），原圖形的周長：44218厘米），所以相差401822厘米）.【例21】如何把以下圖中的三個圖形分割成兩個一樣的局部除了沿正方形的邊進展分割外，還可沿正方形的對角線進展分割）.【解析】要把圖形分成兩個一樣的局部，首先要保證分得的兩局部面積一樣，其次要保證分得的兩局部形狀一樣，從面積入手進展分割會使問題更容易解決.第一個圖形一共有6個小正方形，2個三角形，要分割成兩塊完全一樣的局部，每一局部都要有3個正方形、1個三角形，這樣很容易就可以解決這個問題了；同樣，對第二個圖形，一共有7個正方形，2個三角形，因為正方形的個數(shù)是奇數(shù)，所以，肯定有一個正方形被分成一樣的兩塊，對于這個圖形，我們很容易看出有一個正方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩局部，由對稱的原則，從對角線分開；第三個圖形更復(fù)雜一些，一共有6個正方形，6個三角形，分成的兩塊每一塊都要有3個正方形、3個三角形，因為最上面的兩個三角形組合成了一個大的三角形，所以右下方的兩個三角形不能分開，再根據(jù)對稱的原則，就容易解決這個問題了，具體分法見以下圖.【例22】（23年?小學(xué)生數(shù)學(xué)報?數(shù)學(xué)邀請賽）如圖，將一個等邊三角形分割成互相不重疊的23個較小的等邊三角形這些較小的等邊三角形的大小不一定都一樣），請在圖中畫出分割的結(jié)果.【解析】分割的方法不唯一，如下圖.【例23】（25年?小學(xué)生數(shù)學(xué)報?數(shù)學(xué)邀請賽）如圖，將一個正方形分割成互相不重疊的21個小正方形，這些小正方形的大小不一定一樣，請畫圖表示.【解析】分割的方法不唯一，如右圖所示.板塊二圖形的拼合【例24】用兩塊大小一樣的等腰直角三角形能拼成幾種常見的圖形.【解析】建議用等腰直角三角板，把不同的邊進展重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，見以下圖：【穩(wěn)固】用3個等腰直角三角形拼圖，要求邊與邊完全重合，能拼出幾種圖形.【解析】這種類型的題需要學(xué)生親自操作，建議教師準(zhǔn)備材料與學(xué)生互動.一共可以拼成如以下圖的幾種形狀:【穩(wěn)固】用同樣大小的四塊等腰直角三角板，能否拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一個平行四邊形五種圖形.假設(shè)能，畫出示意圖.【解析】能用四塊同樣大小的等腰直角三角板拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一個平行四邊形五種圖形.建議用等腰直角三角板，把不同的邊進展重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，具體拼法如下圖.【例25】下面哪些圖形自身用4次就能拼成一個正方形.【解析】用4塊圖（4）和圖（5）那樣的圖形顯然能夠拼成一個大正方形.其實用圖（1）、圖（2）、圖（3）也能拼成一個大正方形，拼法見以下圖.【例26】用下面的3個圖形，拼成右邊的大正方形.【解析】首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一共只有16個，只能組成44的正方形，使用目標(biāo)倒推法，在右邊的大正方形中拼圖，仍然使用染色法，相當(dāng)于把圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼合了，如以下圖：【穩(wěn)固】用“四連塊拼成一個正方形，按編號畫入右邊圖中.【解析】首先數(shù)一數(shù)所有的空格數(shù)，一共只有16個，只能組成44的正方形，目標(biāo)倒推，在右邊的大正方形中拼圖，仍然使用染色法，相當(dāng)于把圖形往右邊的大正方形中放，這樣就很容易拼成了，注意標(biāo)號的位置，具體如以下圖所示：【例27】有6個完全一樣的，你能將它們拼成下面的形狀嗎.【解析】利用染色法以及圖形的對稱性，對稱軸兩側(cè)都有三個小圖形，按照下面的順序標(biāo)號即可完成.【例28】保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽）三種塑料板的型號如圖：（A）（B）（C）已有A型板30塊，要購置B、C兩種型號板假設(shè)干，拼成55正方形10個，B型板每塊價格5元，C型板每塊價格為4元.請你考慮要各買多少塊，使所花的總錢數(shù)盡可能少，則購置B、C兩種板要花多少元.【解析】要使花的錢盡可能的少，已有30個A型板最好能用上，而價格較貴的B型板盡可能少用，因為A型與B型的面積都為3，所以在拼成的55的正方形中，除了。型外，余下的面積應(yīng)能被3整除.有25449或254121能被3整除知，只能用4塊C型板或1塊C型板，考慮盡可能多地使用A型板，有如以下圖1、圖2的拼法：圖1圖2圖1的拼法要花445226（元），圖2的拼法要花459（元），因為只有30塊A型板，所以在10快55的正方形中，圖2的拼法只能有4塊，剩下6塊用圖1拼法，共需：94266192（元）【例29】試用圖a中的8個相等的直角三角形，拼成圖b中的空心正八邊形和圖c中的空心正八角星.【解析】把一個直角三角形的斜邊與另一個直角三角形的一條直角邊重合，同時，斜邊上的一個銳角頂點與直角頂點重合，像這樣依次擺放下去，便可得空心正八邊形.假設(shè)把一個直角三角形的斜邊與另一個直角三角形的直角邊的一局部重合，但頂點均不重合，依次擺放下去，便可由這八個相等的直角三角形組成空心正八角星.板塊三圖形的剪拼【例30】試將一個正方形分成一樣的四塊，然后用這四塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形.【解析】要用分成的四塊組成三角形，則剪成得圖形一定是三角形，這樣平均分成四等分，當(dāng)然這種分法有好幾種.組成圖形的時候我們可以換位思考，看如何將三角形、平行四邊形、梯形分成大小相等的三角形.如下圖：【例31】把兩個小正方形剪開以后拼成一個大正方形.【解析】因為大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，所以大正方形的邊長不能等于兩個小正方形的邊長和，而是等于小正方形的對角線的長，所以要沿著兩個小正方形的對角線剪開再進展拼接，如右圖.【例32】將以下圖分成4個形狀、大小都一樣的圖形，然后拼成一個正方形.【解析】總共有36塊小正方形，所以最后拼成的大正方形邊長有6個單位，具體切拼方法如下：【例33】試將一個49的長方形分割成兩個大小相等、形狀一樣的圖形，然后拼成一個正方形.【解析】長方形格數(shù)9436個），所以正方形的邊長應(yīng)為6個格，因此可以把長方形上半局部成3個格、6個格，下半局部成6個格、3個格，分成相等的兩塊，合起來正好拼成一個邊長為6個格的正方形，如右以下圖.【穩(wěn)固】長方形的長和寬各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形狀都一樣的兩塊，并使它們拼成一個正方形.【解析】長方形面積9436平方厘米），所以正方形的邊長應(yīng)為6厘米，因此可以把長方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的兩塊，合起來正好拼成一個邊長為6厘米的正方形，如右以下圖.【例34】將以下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形.【解析】圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，則拼成的正方形的邊長應(yīng)該是4.因為圖形是缺角長方形，長為6,寬為3,應(yīng)將寬加1，長減去2便可得一個正方形，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3，向上平移使寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移使長為4）.如右以下圖所示.【例35】將圖1分成4個形狀、大小都一樣的圖形，然后拼成一個正方形.圖1圖2圖3【解析】經(jīng)過計數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，圖形是由16個完全一樣的正方形組成，所以拼成的正方形每排都有4個這樣的小正方形，共有4排把大圖形分成完全一樣的4個圖形，每個圖形的面積都是小正方形的4倍.現(xiàn)在來考慮形狀.由于這個圖形具有對稱的特點，很容易想到先將它分成兩個完全一樣的圖形，只要沿大圖形中間的那條豎線剪開即可，其中上面的一個是圖2,再想方法把已經(jīng)分成的兩個圖形各分成兩個形狀、大小都一樣的圖形即可.下面以上面的圖為例，繼續(xù)探討分割的方法.如果把上圖中每個小正方形的邊長看作1個單位，則這個圖形中的最長邊有4個單位，其次為3；顯然，要把它分成完全一樣的兩個圖形，每個圖形的最長邊只能為3，具體分法見圖3,用同樣的方法，可以將與上面的圖形完全一樣的下面的一個圖形分成兩個形狀、大小都一樣的圖形，如右上圖.【例36】小龍的媽媽在街上賣邊角布料的地攤上，買回了一塊形狀是等腰直角三角形的綢布，想用它來做長方形的窗簾，為了不把布剪的太碎，裁剪的塊數(shù)就要盡可能的少，請問小龍的媽媽應(yīng)該怎樣剪拼呢.【解析】要使裁剪的塊數(shù)少，就要充分利用等腰直角三角形的特點，還要盡可能多的讓長方形的邊與三角形的邊重合，假設(shè)拼好的長方形以：^為長，現(xiàn)在要把△ADE補到△CGE的位置上，這就要求這兩個三角形完全一樣，顯然，只要取D、E分別為AB、AC的中點即可?所以首先連接AB的中點D和AC的中點￡，將左ADE沿DE剪開，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。即可.如以下圖所示.【例37】試將任意一個三角形分成三塊，然后拼成一個長方形.【解析】方法一：三角形與長方形的不同在于：角、邊的個數(shù)不同，把三角形變?yōu)樗倪呅?，需要加一個角，加一條邊，而且長方形四個角都是直角，自然能想到在三角形中做兩條垂線，并且過三角形兩條邊的中點，這樣才能拼出一個長方形，如左以下圖.方法二：因為由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形很簡單，所以只需要把三角形先分割、拼湊成平行四邊形，作三角形的中位線，旋轉(zhuǎn)180。即可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，然后拼成長方形，如右以下圖.方法一：方法一：、方法二：』—方法一：【穩(wěn)固】試將任意一個矩形分成兩塊，然后拼成一個三角形.方法一:方法二:方法一:方法二:【解析】方法一：考慮到矩形沿對角線可以分成兩個一樣的三角形，兩個完全一樣的三角形即可拼成一個大的三角形，如左上圖所示.方法二：連接矩形一個角與一邊中點的連線，將分割出的三角形沿中點處旋轉(zhuǎn)180。即可，如右上圖所示.【穩(wěn)固】試將任意一個矩形分成三塊，然后拼成一個三角形.方法一：方法一：【解析】將例題逆推即可.【例38】把一個正方形分成8塊，再把它們拼成一個正方形和一個長方形，使這個正方形和長方形的面積相等.【解析】連接正方形的對角線，把正方形分成了4個相等的等腰直角三角形，再連接各腰中點，又把它們分成4個小等腰直角三角形和4個等腰梯形.如圖⑴所示），出于分成正方形、長方形面積相等的要求考慮：分別取出兩個小等腰直角三角形和兩個梯形，就能一一拼出所要求的正方形和長方形了如圖⑵、⑶所示）.⑴⑵⑶【例39】有一塊長8米、寬3米的長方形地毯，現(xiàn)在要把它移到長6米、寬4米的新房間里.請找出一種剪裁方法，使剪后的各塊拼合后正好能鋪滿房間的地面，為了使剪后的地毯盡量完整，就要使剪裁的塊數(shù)盡可能地少，應(yīng)怎樣剪拼.【解析】地毯的面積為8324平方米，新房間的面積為6424平方米，兩者雖然長、寬不相等，但面積相等.通過比照不難發(fā)現(xiàn)：地毯的長比房間的長多2米，房間的寬比地毯的寬多1米，因此，我們可以把地毯看做由12個21平方米）的小長方形組成的大長方形，如左以下圖所示，要到達(dá)題目的要求，只要使原地毯的長縮短一小格.即減少2米，使原地毯的寬增加一小格，即增加1米，我們可以沿對角線的方向，把它剪成階梯形的兩塊，并使它們的形狀和大小完全一樣，如中間圖，然后把它們錯位互相拼接在一起，即陰影局部先向上平行移動1米，再向右平行移動2米，即得右以下圖.如何把一個長20厘米、寬12厘米的長方形切成兩塊，拼成一個長16厘米、寬15厘米的新長方【例40】如何把一個長20厘米、寬12厘米的長方形切成兩塊，拼成一個長16厘米、寬15厘米的新長方形.圖d圖e【解析】因為原長方形比新長方形的長多4厘米，新長方形比原長方形的寬多3厘米，因此我們把原長方形分成20個長4厘米，寬3厘米的小長方形.因為新長方形的長為16厘米，所以原長方形的長應(yīng)減少一個小長方形，而新長方形的寬為15厘米，所以原長方形的寬應(yīng)增加一個小長方形.可以沿對角線的方向，把它切成k階梯狀的兩塊，并使他們的形狀和大小完全一樣，然后把它們相互錯位交在一起，即白色局部往上爬了一個臺階，這樣便拼成了一個新的長方形.具體操作中可按圖d中的粗線把長方形分成兩塊，一移一錯一對，便可得到如下圖e的長為16厘米，寬為15厘米的新長方形.【例41】長方形長24厘米，寬15厘米.把它剪成兩塊，使它們拼成一個長20厘米，寬18厘米的長方形.【解析】長方形面積2415360平方厘米)，拼成的長方形面積2018360平方厘米)，面積相等，只是長、寬不等，但它們都可以分成30個4x3的小長方形，拼成的長方形的一半應(yīng)有15個43的小長方形，即5432115.所以才有如上圖的剪切方法.【例42】如以下圖長方形的長、寬分別為120厘米、90厘米，正中央開有小長方形孔，長為80厘米，寬為10厘米，要拼成面積為1平方厘米的正方形.問如何切分，能使劃分的塊數(shù)最少.【解析】切分前面積為1209080101平方厘米)，應(yīng)與拼成后的正方形面積相等.拼成后正方形的邊長x1厘米.因為：1120209010.假設(shè)上圖切成兩塊如下左圖，然后將右塊向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就拼成了一個正方形，切分線不可能